工科波導(dǎo)光學(xué)

1、2.4 光波導(dǎo)的電磁理論光波導(dǎo)的電磁理論作業(yè)：作業(yè)：2-12； 2-35；推導(dǎo)課；推導(dǎo)課本公式（本公式（2.2-41）Maxwell方程及邊界條件方程及邊界條件Maxwell方程方程0BDDJHBEffttHBEPED0強(qiáng)度：強(qiáng)度：E：電場(chǎng)強(qiáng)度，：電場(chǎng)強(qiáng)度，H：磁場(chǎng)強(qiáng)度：磁場(chǎng)強(qiáng)度通量密度：通量密度：D：電位移矢量，：電位移矢量，B：磁感應(yīng)強(qiáng)度：磁感應(yīng)強(qiáng)度 f：自由電荷密度，：自由電荷密度，Jf：自由電流體密度：自由電流體密度 ：磁導(dǎo)率，真空磁導(dǎo)率：磁導(dǎo)率，真空磁導(dǎo)率 0介電常數(shù)介電常數(shù)=真空介電常數(shù)真空介電常數(shù)*相對(duì)介電常數(shù)相對(duì)介電常數(shù)1,0rr2.32.12.22.42.52.6邊界條件邊界

2、條件12nE1H1B1D1E2H2B2D20021212121BBnDDnJHHnEEnsfsf2.82.92.102.11切向連續(xù)切向連續(xù)法向連續(xù)法向連續(xù)Maxwell電磁理論基礎(chǔ)波動(dòng)方程波動(dòng)方程無自由電荷無自由電荷 f=0無自由電流無自由電流 Jf=000BDDHBEttEEEDEEEln02202tHBEDDHBE0,ttAAA2弱導(dǎo)近似：弱導(dǎo)近似： 0 02202tEE022222tcnEE022222tcnHH001,cnr012222tvEE012222tvHH課本2.4-12,2.4-13諧變電磁場(chǎng)諧變電磁場(chǎng):線性介質(zhì)中線性介質(zhì)中,電磁場(chǎng)可分解為諧變分量的疊加電磁場(chǎng)可分解為諧變分

3、量的疊加 tjttjtexp,exp,rHrHrErE000BDEHHEjj222,tjt22,00002222cfcknkkkkHHEEHelmholtz方程方程Maxwell方程方程& r為位置矢量為位置矢量, t為時(shí)間為時(shí)間, w為震蕩頻率為震蕩頻率k為電磁波波數(shù)為電磁波波數(shù), k0為真空中的電磁波波數(shù)為真空中的電磁波波數(shù).022222tcnEE022222tcnHH以特定頻率作簡(jiǎn)諧震蕩的電磁場(chǎng)可以表示為以特定頻率作簡(jiǎn)諧震蕩的電磁場(chǎng)可以表示為:課本2.4-16,2.4-17，記平面光波導(dǎo)中的平面光波導(dǎo)中的Helmholtz方程方程 對(duì)稱性考慮對(duì)稱性考慮)exp()(zjxjzy

4、, 0一維均勻平面光波導(dǎo)中，電磁一維均勻平面光波導(dǎo)中，電磁場(chǎng)在場(chǎng)在 y 和和 z 方向均勻，對(duì)于波導(dǎo)方向均勻，對(duì)于波導(dǎo)內(nèi)沿內(nèi)沿 z 方向傳輸?shù)碾姶挪?，其方向傳輸?shù)碾姶挪?，其任一電磁?chǎng)分量均具有如下形任一電磁場(chǎng)分量均具有如下形式：式：滿足：滿足： 3213210,0,nnnxnhxnxhnxn波導(dǎo)結(jié)構(gòu)（折射率空間分布）：波導(dǎo)結(jié)構(gòu)（折射率空間分布）：限制層波導(dǎo)層限制層n3n1n2xyzhttDHBE,Maxwell方程方程zyxzyxAAAzyxeeeAzzyyxxxyzzxyyzxzzyyxxxyzzxyyzxHHHjyExExEzEzEyEEEEjyHxHxHzHzHyHeeeeeeeeeee

5、e0直角坐標(biāo)系內(nèi)的形式直角坐標(biāo)系內(nèi)的形式EHHEjj0zzyyxxxyzzxyyzxzzyyxxxyzzxyyzxHHHjyExExEzEzEyEEEEjyHxHxHzHzHyHeeeeeeeeeeee0直角坐標(biāo)系內(nèi)的形式直角坐標(biāo)系內(nèi)的形式j(luò)zy, 0yzxzyxyEjdxdHHjHjdxdEHE00TE0 xEyzxzyxyHjdxdEEjEjdxdHEH0TM0yE0zE0zH0yH0 xH課本2.4-37課本2.4-38一維平面光波導(dǎo)的場(chǎng)方程及其解一維平面光波導(dǎo)的場(chǎng)方程及其解3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:yzxzyxyEjdxdHHjHjdxdEHE

6、00TEyzxzyxyHjdxdEEjEjdxdHEH0TM課本2.4-45,2.4-46，記zk限制層波導(dǎo)層限制層n3n1n2xyzh3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:場(chǎng)方程（場(chǎng)方程（平面光波導(dǎo)的平面光波導(dǎo)的Helmholtz方程方程 ）方程是微分算符的本征方程，本征值 決定模場(chǎng)函數(shù)的性質(zhì)，如果 0，方程的解是余弦(正弦)函數(shù)，若 0，則是指數(shù)函數(shù)。另一方面必須考慮物理的合理性，對(duì)于可傳播的導(dǎo)波模，芯層的電磁場(chǎng)必然是波動(dòng)的，而包層必然是阻尼的，這就要求在芯層和包層的符號(hào)必須是相反的。至此已在電磁場(chǎng)方程的基礎(chǔ)上論證了導(dǎo)波的必要條件是2202Kn2202Kn22

7、02Kn2220jnk2220jnkn2K0 n1K0 3 , 2 , 1, 0222022jnkdxdjyyHTMETE:場(chǎng)方程（場(chǎng)方程（平面光波導(dǎo)的平面光波導(dǎo)的Helmholtz方程方程 ）模式解模式解: 參考課本參考課本P35-38 及教材附帶課件及教材附帶課件.TE模討論之相差相位因子，以的相位可以不同，可以狀不變，但它導(dǎo)截面上分布保持其形中，一種模式的場(chǎng)在波波的傳輸過程的一種穩(wěn)定分布，即在導(dǎo)波模式是指波導(dǎo)空間平面導(dǎo)波模式的場(chǎng)分布0)(:,0)(0)(22320222222022212022yyyyyyEnkdxEdEnkdxEdEnkdxEd敷層區(qū)襯底區(qū)：薄膜區(qū)：;, 0)(1,;,

8、 0)(1:2220102210場(chǎng)為正弦解在薄膜區(qū)：若解得為指數(shù)解由邊界連續(xù)可由方程，當(dāng)xEEnknkExEEnkyyyy12222, 0)(1ciyyxEE相當(dāng)射線光學(xué)分析中：形式駐波，在邊界衰減這時(shí)為導(dǎo)模，在薄膜區(qū)場(chǎng)為指數(shù)解；可在襯底敷層：指數(shù)解在敷層區(qū)當(dāng), 01,223020 xEEnknkyy13122201:cicyyxEE相當(dāng)于射線光學(xué)中：，正弦解，為駐波其他為1230, 00cink為正玄解，相當(dāng)于，各層當(dāng)輻射模襯底輻射模導(dǎo)模n1n2n3k0n1k0n2k0n3波動(dòng)方程（波動(dòng)方程（TE模）模） 00yxyzzxyEHEiHxHi HiEx 2222020yyEk nEx22220

9、320yyEk nEx22220120yyEk nEx22220220yyEk nExxn1n3n2yz包層包層薄膜層薄膜層襯底襯底0k c001c 0n15波動(dòng)方程的解（場(chǎng)分布）波動(dòng)方程的解（場(chǎng)分布）33122exp() cladding( )cos() core exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 2222303k n2222202k n222201xkk n010302max(,)k nk n k n根據(jù)物理意義可以預(yù)見在導(dǎo)波層內(nèi)是駐波解，可用余弦函數(shù)表示，而在覆蓋層、襯底層中是倏逝波，應(yīng)是衰減解，用指數(shù)函數(shù)表示。 導(dǎo)模存在條件導(dǎo)模存在條件：k

10、x、a3、a2均應(yīng)為實(shí)數(shù)，故須滿足 與射線法結(jié)果一致與射線法結(jié)果一致16p2q3對(duì)比課本取zk邊界條件邊界條件邊界條件為：邊界處切向Ey分量連續(xù)，切向分量Hz也連續(xù)，由 知 連續(xù) 0yzEiHxxEy(1) x= -a處，12cos()xEk aE1222sin()|exp()|xxxaxak Ek xExa122(sin()xxk Ek aE2tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 17對(duì)比課本2a=h邊界條件邊界條件(

11、2) x=a處，13cos()xEk aE1333sin()|exp()|xxx ax ak Ek xExa 133(sin()xxk Ek aE3tan()xxk ak z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 18特征方程（本征值方程）3tan()xxk ak11322tan ()tan ()xxxk amkkTE模模關(guān)于關(guān)于 的函數(shù)的函數(shù) z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 33122exp

12、() ( )cos() exp() yxExa xaExEk x axaExa xa 2tan()xxk ak19對(duì)比課本2a=h)/arctan()/arctan(xxxkqkpmhk即課本TE模的特征方程：與射線法得到結(jié)果的一致：1012132ncos2k tm11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程）關(guān)于關(guān)于 的函數(shù)的函數(shù)關(guān)于關(guān)于 的函數(shù)的函數(shù)TM模的特征方程：2211311222322tan ()tan ()xxxnnk amn kn k20對(duì)比課本2a=h)/arctan()/arctan(xxxkqkpmhk與射線法推導(dǎo)過程的區(qū)

13、別？1012132ncos2k tm11322tan ()tan ()xxxk amkk特征方程（本征值方程）特征方程（本征值方程） z x t=2a A C 入射波陣面 二次反射波陣面 一次反射波陣面 n3 n2 n1 k1 1/222211212221sin2tancosnnn1/222211313221sin2tancosnnn2222303k n2222202k n222201xkk n傳播常數(shù)傳播常數(shù)橫向波矢橫向波矢21對(duì)比課本2a=hTE模的特征方程：zknksin10cos10nkkx平板波導(dǎo)模式分布平板波導(dǎo)模式分布33122exp() cladding( )cos() core

14、 exp() substrateyxExa xaExEk x axaExa xa 將特征方程的解，代入上式，并確定各個(gè)系數(shù)，求得Ey。而后根據(jù)右式，確定其余場(chǎng)分量。yzxzyxyEixHHiHixEHE0022平板波導(dǎo)模式分布平板波導(dǎo)模式分布23 m=0時(shí) 為最低模,m=1,m=2其模式結(jié)構(gòu)如圖xn2=n3n1m=0m=1m=2Exx對(duì)稱平面光波導(dǎo)n2=n3高階短低階長軸等距離兩次全反射在小即入射角大。而高階模大低階模，z，1的深度大小，穿透）對(duì)高價(jià)模32,2nn，場(chǎng)在覆蓋層和襯底中是按指數(shù)函數(shù)衰減的，衰減的快慢分別由衰減系數(shù)2和3確定。平板波導(dǎo)模式分布平板波導(dǎo)模式分布2和3的值大，則場(chǎng)衰減快

15、，穿透深度1/ 2和1/ 3就淺，說明場(chǎng)主要束縛在導(dǎo)波層中。反之， 2和3的值小，則場(chǎng)衰減慢，穿透深度就深，說明波導(dǎo)束縛場(chǎng)的能力差。 2和3的大小與覆蓋層、襯底的折射率有關(guān)，同時(shí)還與模序數(shù)m密切相關(guān)。由模式本征方程可以導(dǎo)出，m越大，則越小， 2和3也越小。這表明高階模的電磁場(chǎng)可延伸到導(dǎo)波層外的距離較遠(yuǎn)。26導(dǎo)模和輻射模 iCladdingCore iSubstrateCladdingCoreSubstrate輻射模的特點(diǎn)：輻射模的特點(diǎn)： 傳播常數(shù)連續(xù)。傳播常數(shù)連續(xù)。 沿傳播方向有損耗。沿傳播方向有損耗。 與導(dǎo)模一起組成一個(gè)與導(dǎo)模一起組成一個(gè)完備的正交函數(shù)集。完備的正交函數(shù)集。導(dǎo)模的特點(diǎn)：導(dǎo)模的

16、特點(diǎn)： 傳播常數(shù)取分立的值。傳播常數(shù)取分立的值。 理論上沒有損耗。理論上沒有損耗。 各個(gè)導(dǎo)模正交。各個(gè)導(dǎo)模正交。27特征模的展開特征模的展開 任意電場(chǎng)分布的光波入射如何轉(zhuǎn)變成特征模？任意電場(chǎng)分布的光波入射如何轉(zhuǎn)變成特征模？ 處理方法：將任意電場(chǎng)分布展開，分解成不同特征模的處理方法：將任意電場(chǎng)分布展開，分解成不同特征模的電磁場(chǎng)分布。電磁場(chǎng)分布。 數(shù)學(xué)上用正交函數(shù)展開，如傅立葉級(jí)數(shù)等，稱之為特征模展開；數(shù)學(xué)上用正交函數(shù)展開，如傅立葉級(jí)數(shù)等，稱之為特征模展開； 各導(dǎo)波模以相應(yīng)階數(shù)模的傳播常數(shù)傳播；各導(dǎo)波模以相應(yīng)階數(shù)模的傳播常數(shù)傳播； 隨著光的傳播，不同模之間的相位差將發(fā)生變化，導(dǎo)致導(dǎo)波模疊隨著光的傳

17、播，不同模之間的相位差將發(fā)生變化，導(dǎo)致導(dǎo)波模疊加以后的電磁場(chǎng)分布也隨著傳播過程而變化，光束像蛇一樣反復(fù)加以后的電磁場(chǎng)分布也隨著傳播過程而變化，光束像蛇一樣反復(fù)蠕動(dòng)前進(jìn)。蠕動(dòng)前進(jìn)。()( , )( )exp ()mmmmE x tA Exjtz光波導(dǎo)中的各種損失光波導(dǎo)中的各種損失 在單模波導(dǎo)中導(dǎo)波模只有基模，其余展開分量全部在單模波導(dǎo)中導(dǎo)波模只有基模，其余展開分量全部轉(zhuǎn)變成耦合損失，所以為減小耦合損失，應(yīng)盡量使轉(zhuǎn)變成耦合損失，所以為減小耦合損失，應(yīng)盡量使入射光束的形狀與波導(dǎo)基模的形狀相同。入射光束的形狀與波導(dǎo)基模的形狀相同。波動(dòng)光學(xué)獲得波動(dòng)光學(xué)獲得TETE模式和模式和TMTM模式的特征方程與幾何

18、光模式的特征方程與幾何光學(xué)分析獲得的橫向諧振條件類似，但是表述起來更學(xué)分析獲得的橫向諧振條件類似，但是表述起來更為嚴(yán)格。為嚴(yán)格。求解特征方程，可以獲得傳輸常數(shù)的一系列解，每求解特征方程，可以獲得傳輸常數(shù)的一系列解，每一個(gè)解對(duì)應(yīng)一個(gè)模式。一個(gè)解對(duì)應(yīng)一個(gè)模式。由傳輸常數(shù)可以獲得其他的分布參數(shù)，進(jìn)一步得出由傳輸常數(shù)可以獲得其他的分布參數(shù)，進(jìn)一步得出電磁場(chǎng)的各個(gè)場(chǎng)分量。電磁場(chǎng)的各個(gè)場(chǎng)分量。4分別對(duì)分別對(duì)TETE和和TMTM模，找出滿足模，找出滿足 k k0 0n n2 2 k k0 0n n1 1 的的 的個(gè)數(shù)（總是有限的），按從大到小依次記為的個(gè)數(shù)（總是有限的），按從大到小依次記為 m m （m=1,2m=1,2M)M)； m m 即為第即為第 m m 個(gè)個(gè)TETE或或TMTM模式的傳輸常模式的傳輸常數(shù)，其隨數(shù)，其隨 的變化關(guān)系決定了該模式在波導(dǎo)中的的變化關(guān)系決定了該模式在波導(dǎo)中的傳輸特性傳輸特性波導(dǎo)內(nèi)各模式場(chǎng)分布與傳輸特性的求解波導(dǎo)內(nèi)各模式場(chǎng)分布與傳輸特性的求解從模式的傳輸常數(shù)從模式的傳輸常數(shù) m 求出該模式的橫向振蕩參數(shù)求出該模式的橫向振蕩參數(shù) kxm 以及在限制層內(nèi)的衰減常數(shù)以及在限制層內(nèi)的衰減常數(shù) pm、qm ，代入束縛，代入