第五章截面的幾何性質(zhì)

1、第五章 截面的幾何性質(zhì) 概述： 討論的問(wèn)題：介紹與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量(靜矩、慣性矩、慣性積）的定義及計(jì)算方法；平行移軸公式，轉(zhuǎn)軸公式等。 在實(shí)際工程中發(fā)現(xiàn)，同樣的材料，同截面積，由于橫截面的形狀不同，構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度有明顯不同，如一張紙（或作業(yè)本），兩端放在鉛筆上，明顯彎曲，更不能承載東西了.但把同一張紙折成波浪狀（象石棉瓦狀） ，這時(shí)紙的兩端再擱在鉛筆上，不僅不彎曲，再放上一支鉛筆,也不彎曲.可見(jiàn),材料截面的幾何形狀對(duì)強(qiáng)度、剛度是有一定影響的，研究截面幾何性質(zhì)的目的就是解決如何用最少的材料，制造出能承擔(dān)較大荷載的桿件的問(wèn)題的. 51 截面的靜矩和形心截面的靜矩和形心 一、靜矩的定義

2、設(shè)平面圖形，取zoy坐標(biāo)系，取面積元dA，坐標(biāo)為（z,y），整個(gè)截面對(duì)z、y軸的靜矩為： 整個(gè)截面對(duì)z軸的靜矩； 整個(gè)截面對(duì)y軸的靜矩；AzydAsdAyczcyyzzoAyzdAs 若將 理解為垂直于紙面的力， 便是對(duì)z軸的力矩， 則為對(duì)z軸的合力矩，故稱為面積矩。 若形心坐標(biāo)為 ，靜矩也可寫(xiě)成： 性質(zhì)： 1、同一截面對(duì)不同軸的靜矩亦不同；靜矩可以是正、可以是負(fù)或零； 2、單位： ； 3、當(dāng)坐標(biāo)軸原點(diǎn)過(guò)形心， ；dAydAzsccyz ,ASyASzzcyc,cyAAzydAsczAAyzdAs0, 0yzccssyz33,cmmm 反之，若 ，坐標(biāo)軸原點(diǎn)必過(guò)截面形心。 二、形心位置的計(jì)算二

3、、形心位置的計(jì)算 形心位置： 對(duì)面積連續(xù)分布的（非組合圖形）圖形：0yxssAydAAsyAzdAAszAzcAycASyASzzcyc, 對(duì)組合圖形：iiiciiciiiiccAAyyAAzzi；iiciyAzSiciizAys個(gè)分圖形的形心坐標(biāo)；第、個(gè)分圖形的面積；第iyziAcicii 例1，求四分之一圓截面對(duì)z,y軸的形心位置 解：取如圖示的坐標(biāo)系, 先求yxss ,dyzyydAsAzdR2320cossin33R344323RRRAsyzcdyRyzzoydzyzzdAsAzdzRyzzoydRdyRyRzcossincosdRRRsinsincosdRo232sincos34RA

4、szyc233sin31oR 三、組合截面的靜矩 例1：如圖由兩個(gè)矩形截面組合成的T形截面，y軸為對(duì)稱軸， 對(duì)z，y軸的靜矩。 解：因?yàn)槭墙M合圖形,又關(guān)于軸對(duì)稱， 故有：,5027022mmA）；，（0021zzAzSiiciy2211AyAyAysiciiz,)(10625.2350270302270303001525mm,3030021mmA50yzo30030270 5-2 慣性矩和慣性積慣性矩和慣性積 一、慣性矩的定義 -面積對(duì)坐標(biāo)軸的二次矩. 設(shè)一平面圖形，取一元面積 ，坐 標(biāo)為(z,y)，距原點(diǎn)的距離為 ，方位 角為 ，定義： 平面圖形對(duì)z,y軸的慣性積;而 dA;2dAyIAz;

5、2dAzIAyzydAIAzydAIdAdAyzIIAAAyz2222定義：.極慣性矩dAyyzzo 二、性質(zhì) 1、 恒為正， 可正、可負(fù)、也可以為零，其正負(fù)值與坐標(biāo)軸的位置有關(guān)。 2、單位：（長(zhǎng)度）4； 例4-4 ： 計(jì)算直徑為d的圓截面對(duì)形心軸z,y的慣性矩和慣性積。 解：用平面極坐標(biāo)yzII 、zyIdAyIAz2dddoo2222sinddodo2232sin zdd）、yz(）、（yzydd2cos1214120204).,(rdddA.cos;sinzydA446424dd 由于對(duì)稱： 極慣性矩：對(duì)過(guò)形心的一對(duì)軸的慣性積 因坐標(biāo)軸是對(duì)稱軸，如對(duì)左右的 （如上圖）， 結(jié)論：截面如有一

6、根對(duì)稱軸，則截面對(duì)這根軸與另一根與之垂直的軸的 .4641dIIyz432122dIIIIIyzyz0sincos22ddzydAIodozydA0ydAzzydA0zyI 對(duì)矩形截面，過(guò)形心軸的慣性矩： 若為組合圖形，對(duì)z軸，y軸的慣性矩： 因 , 元面積對(duì)z軸的慣性矩就等于將各元面積對(duì)z軸的慣性矩求和，因質(zhì)量連續(xù)分布，求和則為積分。3121bhIz3121hbIyybzohziizII，yiiyIIdAyIz2 應(yīng)用于圓環(huán)的情形,可看成兩個(gè)圓形截面， ，yzyzIIIIIII2221.16432322124444DdDdDIIIyz式中的），（其他如表4.1. *慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑）的概念

7、： 如以r表示某一截面對(duì)某軸的慣性半徑，定義 例43中的矩形截面：zzIAr2AIrzzyyIAr2AIryyhhhhbbhAIrzz289. 03212123Azryyrzoybzoh 補(bǔ)充例子：試計(jì)算圓弧右上方陰影部分面積的慣性積 解：因?yàn)閼T性矩與慣性積等于各微 元面積的慣性矩或慣性積之和， 所 以 .zyIrzyABCDzyzyIIIryzBACD.884444rrrIzy ;8212104220000200222222ryrryrryrArrzyrdyyrydyzyzdzydyyzdydzyzdAI）（;4040rrAABCDzyrzydydzzydAI 5-3慣性矩和慣性積的平行移軸

8、公式慣性矩和慣性積的平行移軸公式 一、公式 如圖示：任一平面過(guò)形心c的坐標(biāo)系 ，截面對(duì)該軸的為 ,與 平行的坐標(biāo)系為 ，截面對(duì)該 軸的為 由圖知： , zyyzIII,zoydAycbyzza o z y z yzoyyoz.yzyzIII、zbzyaydAbzdAzIAAy22dAbzbdAdAzAAA222AbIy20AbIIyy2 結(jié)論：截面對(duì)與形心軸平行的任意 軸 的慣性矩等于截面對(duì)過(guò)形心軸y 的慣性矩加上 . 同理可得： 平行移軸定理：截面對(duì)平行于形心軸的其它任意軸平行移軸定理：截面對(duì)平行于形心軸的其它任意軸的慣性矩等于該截面對(duì)形心軸的慣性矩加上其面積乘以的慣性矩等于該截面對(duì)形心軸的

9、慣性矩加上其面積乘以兩軸之間距離的平方。兩軸之間距離的平方。yAb2AaIIzz2dAaybzdAyzIAyzdAabbydAzadAzydAAAAAAbaIccyz00AabIIccyzyz 意義:提供了計(jì)算平面圖形對(duì)平行于形心軸的其它軸的 的方法;也可反算對(duì)形心軸的慣性矩及慣性積。 例子: 求矩形截面對(duì)邊界軸z 軸的慣 性矩和截面對(duì)z軸的慣性半徑. 解： yzyzIII,123bhIzhbhIIzz2233331412bhbhbhybzhc z y.289.0321577.033313hhrhhhbbhAIrzzz二、組合截面的慣性矩及慣性積公式: 例子:求下平面圖形的 解：圖由一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓組成,設(shè)矩形 的慣性矩為 ，每個(gè)半圓的為 , 半圓對(duì)過(guò)形心 軸的慣性矩 ,ziyiizyyii