非線性大作業(yè)-二階機械臂

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上南京航空航天大學非線性系統(tǒng)控制大作業(yè)二階機械臂的非線性反饋設計姓 名： XXX學 號： XXX專 業(yè)： XXX2011年6月10日專心-專注-專業(yè)實驗對象：二階機械臂的非線性反饋設計一 二階機械臂的動力學控制模型圖1 模型在垂直平面內(nèi)的投影機械臂操作端的位置方程為（1）（2）上述方程的Jacobian矩陣為機械臂的動力學方程為（3）其中，為總的驅(qū)動力矩矢量，為轉(zhuǎn)動角度矢量；為轉(zhuǎn)動慣量矩陣，為Coriolis離心轉(zhuǎn)矩，為重力矢量。、的數(shù)學表達式如下：（4）（5）（6）其中定義狀態(tài)變量（7）設（8）則機械臂模型的狀態(tài)方程可以寫成（9）系統(tǒng)輸出方程為（10）二 二階機械臂模

2、型線性化1）計算式（4）、（5）、（6）中各參數(shù)的值：，、。2）計算系統(tǒng)相對階：有上面的表達式可知，的后兩列全為0，的前兩行全為0（），因此同理，對輸出，有矩陣非奇異，故系統(tǒng)在某個的鄰域內(nèi)，系統(tǒng)的相對階為。3）選擇變換坐標為（11）4）將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為標準型（12）輸出為（13）5）利用狀態(tài)反饋陣使系統(tǒng)成為一個完全可控的線性系統(tǒng)，令其中通過反饋和坐標映射，系統(tǒng)可變?yōu)锽runovsky標準型即（14）記三 二階機械臂的最優(yōu)控制是Brunovsky標準型線性系統(tǒng)中的控制輸入，擬運用LQR方法進行求解，確定最優(yōu)控制律，使系統(tǒng)實際輸出盡可能逼近理想輸出。該問題屬于無限時間、定常輸出跟蹤問題。首先定義性能指

3、標（15）式中，為、為的正定對稱常數(shù)矩陣，為誤差輸出向量，是期望輸出。根據(jù)二次型最優(yōu)控制理論，可以知道當性能指標最小時，輸入應為其中，為常值伴隨向量，為正定矩陣，滿足如下Riccati方程（16）最優(yōu)控制信號依賴于狀態(tài)變量和Riccati方程的解，在靜態(tài)狀態(tài)變量下假設時，可使系統(tǒng)的狀態(tài)趨近于0，是=0時的常值矩陣，在此種情況下，Riccati方程被簡化為上式被稱作Riccati Algebraic方程。取利用Matlab工具求解Riccati方程得則正定，滿足Riccati方程。利用Matlab進行LQR求解，得而與求解Riccati方程所得結(jié)果一致。四 控制對象的MATLAB仿真在Simul

4、ink仿真環(huán)境下搭建完整控制系統(tǒng)，如Error! Reference source not found.所示：圖2 Simulink仿真框圖選擇期望輸入信號為輸入信號給定的理想輸出軌跡線設定為長半軸為0.7，短半軸為0.3，焦點在軸上的橢圓形軌跡。利用上面搭建的Simulink仿真圖運行程序，可得到給定軌跡曲線、跟蹤軌跡曲線、誤差軌跡曲線。圖3 軌跡跟蹤曲線圖4 跟蹤誤差曲線圖3中青色粗線為期望軌跡，紅色帶方塊虛線為機械臂實際運動軌跡；圖4中紅色實線為方向跟蹤誤差，藍色點劃線為方向跟蹤誤差。由圖3、圖4的軌跡跟蹤曲線和跟蹤誤差曲線可以看出，實際輸出很接近理想輸出，而且在響應速度上也很快。跟蹤誤

5、差曲線的幅值很?。ㄆ椒€(wěn)運行階段），能夠滿足性能指標要求。因此，應用上述控制方法可以達到很好的控制效果。五 實驗感想實際生活生產(chǎn)中，所面臨的系統(tǒng)極少會是純粹的線性系統(tǒng)，可以肯定地說，任何投入實際生產(chǎn)運行的系統(tǒng)都會或多或少地具有非線性因素。所謂的線性系統(tǒng)只是為了研究對象的控制問題所作的合理簡化。因此，對非線性系統(tǒng)理論的了解和學習，有助于培養(yǎng)正確的認識觀，同時掌握一些實際有效的處理非線性問題的方法。在本次大作業(yè)中，控制對象是具有很強非線性的二階機械臂。實驗利用坐標變換陣和非線性反饋陣，結(jié)合LQR最優(yōu)控制理論，實現(xiàn)了多輸入-多輸入系統(tǒng)的精確線性化，完成了對系統(tǒng)很好的控制效果，達到了最初的設定目標。通過

6、本課程的學習，對非線性系統(tǒng)有了進一步深入的認識和理解，掌握了反饋線性化、自適應觀測器設計等內(nèi)容，能夠?qū)唵蔚姆蔷€性系統(tǒng)進行實際分析和控制律設計。這對我們以后課題的研究具有很大的促進作用。另外，本課程為雙語教學，在學習過程中，通過上課和查閱了相關英文文獻，使自己的專業(yè)英語水平和專業(yè)知識都得到了提高。在課程教學中，姜老師除了講授課件知識，還為我們拓展了很多很實用的知識，比如對控制領域內(nèi)的重要學術會議、國內(nèi)外核心期刊和國內(nèi)外知名院士的介紹，使學生的學術科研和文獻查閱有了更強的目標性，獲益良多。【仿真程序見附件】附件/*alphax.m*/function a_out = a(u)x1=u(1); x

7、2=u(2); x3=u(3); x4=u(4);a_x1 = -125/*(74217*cos(x1)+*cos(x1)*cos(x2)-*cos(x1+x2)/(-sin(x1+x2)*cos(x1)+sin(x1)*cos(x1+x2)*(-54/125*cos(x1)-54/125*cos(x1+x2)*x3-54/125*cos(x1+x2)*x4)*x3+(-54/125*cos(x1+x2)*x3-54/125*cos(x1+x2)*x4)*x4+(-54/125*sin(x1)-54/125*sin(x1+x2)*(-/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663

8、/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2)+40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2)-54/125*sin(x1+x2)*(40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2

9、)-*(54044+55663*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2)-125/*(74217*sin(x1)+*sin(x1)*cos(x2)-*sin(x1+x2)/(-sin(x1+x2)*cos(x1)+sin(x1)*cos(x1+x2)*(-54/125*sin(x1)-54/125*sin(x1+x2)*x3-54/125*sin(x1+x2)*x4)*x3+(-54/125*sin(x1+x2)*x3-54/125*sin(x1+x2)*x4)*x4+(54/12

10、5*cos(x1)+54/125*cos(x1+x2)*(-/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2)+40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2)+54/125*cos(x1+x2)*(40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*s

11、in(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2)-*(54044+55663*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2);a_x2 = 125/*(-74217*cos(x1)+*cos(x1+x2)*cos(x2)/(-sin(x1+x2)*cos(x1)+sin(x1)*cos(x1+x2)*(-54/125*cos(x1)-54/125*cos(x1+x2)*x3-54/125*cos(x1+x2)*x4

12、)*x3+(-54/125*cos(x1+x2)*x3-54/125*cos(x1+x2)*x4)*x4+(-54/125*sin(x1)-54/125*sin(x1+x2)*(-/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2)+40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2)-54/125*sin(x1+x2)*

13、(40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2)-*(54044+55663*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2)+125/*(-74217*sin(x1)+*sin(x1+x2)*cos(x2)/(-sin(x1+x2)*cos(x1)+sin(x1)*cos(x1+x2)*(-54/

14、125*sin(x1)-54/125*sin(x1+x2)*x3-54/125*sin(x1+x2)*x4)*x3+(-54/125*sin(x1+x2)*x3-54/125*sin(x1+x2)*x4)*x4+(54/125*cos(x1)+54/125*cos(x1+x2)*(-/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2)+40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496

15、*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2)+54/125*cos(x1+x2)*(40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2)-*(54044+55663*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2);a_out = a_x1;a_x2;/*betax.m*/funct

16、ion b_out = b(u)x1=u(1); x2=u(2);bx1=125/*(74217*cos(x1)+*cos(x1)*cos(x2)-*cos(x1+x2)/(-sin(x1+x2)*cos(x1)+sin(x1)*cos(x1+x2) ;bx2=125/*(74217*sin(x1)+*sin(x1)*cos(x2)-*sin(x1+x2)/(-sin(x1+x2)*cos(x1)+sin(x1)*cos(x1+x2);bx3=-125/*(-74217*cos(x1)+*cos(x1+x2)*cos(x2)/(-sin(x1+x2)*cos(x1)+sin(x1)*cos(x

17、1+x2);bx4=-125/*(-74217*sin(x1)+*sin(x1+x2)*cos(x2)/(-sin(x1+x2)*cos(x1)+sin(x1)*cos(x1+x2);b_out = bx1 ,bx2;bx3, bx4;/*hx.m*/function h_out = h(u)x1=u(1); x2=u(2);h_x = 54/125*cos(x1)+54/125*cos(x1+x2); 54/125*sin(x1)+54/125*sin(x1+x2);h_out = h_x;/*Gx.m*/function g_out = g(u)x2=u(2);g_x31= -/(-+*c

18、os(x2)+*cos(x2)2) ;g_x32=40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2);g_x41=40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2);g_x42= -*(54044+55663*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2);g_out = 0 0; 0 0; g_x31 g_x32; g_x41 g_x42 ;/*Fx.m*/function f_out = f(u)x1=u(1); x2=u(2); x3=u(3); x4=u(4);f_x = x3; x4; -/(-

19、+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*cos(x1+x2)+40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2); 40992*(74217+*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(55663/85248*sin(x2)*(x3*x4+1/2*x42)-77017/416*cos(x1)-88305/664*

20、cos(x1+x2)-*(54044+55663*cos(x2)/(-+*cos(x2)+*cos(x2)2)*(-55663/70496*sin(x2)*x12-88305/664*cos(x1+x2);f_out = f_x;/*fai_out.m*/function fai_out = fai(u)x1=u(1); x2=u(2); x3=u(3); x4=u(4);fai_x = 54/125*cos(x1)+54/125*cos(x1+x2); (-54/125*sin(x1)-54/125*sin(x1+x2)*x3-54/125*sin(x1+x2)*x4; 54/125*sin

21、(x1)+54/125*sin(x1+x2); (54/125*cos(x1)+54/125*cos(x1+x2)*x3+54/125*cos(x1+x2)*x4 ;fai_out = fai_x;%系統(tǒng)線性化/*linearization.m*/M1=15.19; M2=11.36; L1=0.432; L2=0.432; g=9.81;syms x1 ; syms x2 ; syms x3 ; syms x4;a1=(1/3)*M1*L12+(1/3)*M2*L22+M2*L12;a2=M2*L1*L2;a3=(1/3)*M2*L22;a4=0.5*M1*g*L1+M2*g*L2;a5=0

22、.5*M2*g*L2;M_x= a1+a2*cos(x2) a3+a2*cos(x2); a3+a2*cos(x2) a3 ;N_x= -(a2*sin(x2)*(x3*x4+x42/2); (a2*sin(x2)*x12/2 ;G_x=a4*cos(x1)+a5*cos(x1+x2); a5*cos(x1+x2) ;D_x = M_x;E_x = -( N_x +G_x );D_xni = inv(D_x);f_x = x3; x4; D_xni*E_x;g_x = 0 0; 0 0; D_xni;h1_x = L1*cos(x1)+L2*cos(x1+x2);h2_x = L1*sin(x1)+L2*sin(x1+x2);h_x =h1_x; h2_x;Lgh1_x = diff(h1_x,x1) diff(h1_x,x2) d