高三年級數(shù)學(xué)空間向量一輪復(fù)習(xí)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第十三章 空間向量考綱導(dǎo)讀1理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘2了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念；掌握空間向量的坐標(biāo)運算空間向量定義、加法、減法、數(shù)乘運算數(shù)量積坐標(biāo)表示：夾角和距離公式求距離求空間角證明平行與垂直3掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握用直角坐標(biāo)計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式知識網(wǎng)絡(luò)高考導(dǎo)航理解空間向量的夾角的概念；掌握空間向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)和運算律；了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義；掌握空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式；能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直第1課時 空間向量及其運算基礎(chǔ)過關(guān)空間向量是平

2、面向量的推廣在空間，任意兩個向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為平面向量因此，空間向量的加減、數(shù)乘向量運算也是平面向量對應(yīng)運算的推廣本節(jié)知識點是：1空間向量的概念，空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算和數(shù)量積；(1) 向量：具有 和 的量(2) 向量相等：方向 且長度 (3) 向量加法法則： (4) 向量減法法則： (5) 數(shù)乘向量法則： 2線性運算律(1) 加法交換律：ab (2) 加法結(jié)合律：(ab)c (3) 數(shù)乘分配律：(ab) 3共線向量(1)共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相 或 (2) 共線向量定理：對空間任意兩個向量a、b(b0)，ab等價于存在實數(shù)，使 (3) 直線的向量參數(shù)方程：

3、設(shè)直線l過定點A且平行于非零向量a，則對于空間中任意一點O，點P在l上等價于存在，使 4共面向量(1) 共面向量：平行于 的向量(2) 共面向量定理：兩個向量a、b不共線，則向量P與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對()，使P 共面向量定理的推論： 5空間向量基本定理(1) 空間向量的基底： 的三個向量(2) 空間向量基本定理：如果a，b，c三個向量不共面，那么對空間中任意一個向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 空間向量基本定理的推論：設(shè)O，A，B，C是不共面的的四點，則對空間中任意一點P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使 6空間向量的數(shù)量積(1) 空間向量的夾角： (2) 空間向量的長度或模：

4、 (3) 空間向量的數(shù)量積：已知空間中任意兩個向量a、b，則a·b 空間向量的數(shù)量積的常用結(jié)論：(a) cosa、b ； (b) ïaï2 ；(c) ab (4) 空間向量的數(shù)量積的運算律：(a) 交換律a·b ； (b) 分配律a·(bc) 典型例題例1已知正方體ABCDA1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDD1C1的中心，若，求xy的值.解：易求得變式訓(xùn)練1. 在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是( )A-abc Babc ABCDA1C1B1Ca-bcD-a-bc解：A例2. 底面為正三角形的斜棱柱A

5、BCA1B1C1中，D為AC的中點，求證：AB1平面C1BD.證明：記則,共面.B1平面C1BD, AB1/平面C1BD.變式訓(xùn)練2：正方體ABCDEFGH中，M、N分別是對角線AC和BE上的點，且AMEN(1) 求證：MN平面FC； (2) 求證：MNAB； (3) 當(dāng)MA為何值時，MN取最小值，最小值是多少？解：(1) 設(shè)(2) (3) 設(shè)正方體的邊長為a,也即，例3. 已知四面體ABCD中，ABCD，ACBD， G、H分別是ABC和ACD的重心求證：(1) ADBC； (2) GHBD證明：(1) ADBC因為ABCD，而所以ADBC(2) 設(shè)E、F各為BC和CD的中點欲證GHBD，只需

6、證GHEF，() 變式訓(xùn)練3：已知平行六面體，E、F、G、H分別為棱的中點求證：E、F、G、H四點共面解：，所以共面，即點E、F、G、H共面例4. 如圖，平行六面體AC1中，AE3EA1，AFFD，AG，過E、F、G的平面與對角線AC1交于點P，求AP:PC1的值DFAGBB1C1D1A1CEP解：設(shè)又E、F、G、P四點共面， APPC1316變式訓(xùn)練4：已知空間四邊形OABC中，M為BC的中點，N為AC的中點，P為OA的中點，Q為OB的中點，若ABOC，求證證明：法一：故法二：·()·()·0小結(jié)歸納1立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過向量運算來證明對于

7、垂直，一般是利用aba·b0進(jìn)行證明對于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明2運用向量求解距離問題，其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線段所對向量，然后計算這個向量對應(yīng)的模而計算過程中只要運用好加法法則，就總能利用一個一個的向量三角形，將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來，從而求得結(jié)果3利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角，而求兩個向量的夾角則可以利用公式cos 4異面直線間的距離的向量求法：已知異面直線l1、l2，AB為其公垂線段，C、D分別為l1、l2上的任意一點，為與共線的向量，則.5設(shè)平面的一個法向量

8、為，點P是平面外一點，且Po，則點P到平面的距離是d.第2課時 空間向量的坐標(biāo)運算基礎(chǔ)過關(guān)設(shè)a，b(1) a±b (2) a (3) a·b (4) ab ；ab (5) 設(shè)則 ， AB的中點M的坐標(biāo)為 典型例題例1. 若(1,5,1)，(2,3,5)（1）若(k+)(3)，求實數(shù)k的值；（2）若(k+)(3)，求實數(shù)k的值；（3）若取得最小值，求實數(shù)k的值解：(1)；(2)； (3)變式訓(xùn)練1. 已知為原點，向量，求解：設(shè)，即解此方程組，得。，。例2. 如圖，直三棱柱，底面中，CACB1，棱，M、N分別A1B1、A1A是的中點(1) 求BM的長； (2) 求的值； xyz

9、B1C1A1CBAMN(3) 求證：解：以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系.(1) 依題意得B（0，1，0），M（1，0，1）.(2) 依題意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.(3) 證明：依題意得C1（0，0，2），N. 變式訓(xùn)練2. 在四棱錐PABCD中， 底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB，BC1，PA2，E為PD的中點(1) 在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE面PAC，并求出N點到AB和AP的距離； (2) 求(1) 中的點N到平面PAC的距離ABCPED·解：(1) 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BDP，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別

10、是A(0, 0, 0)、B(, 0, 0)、C(, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, , 1)，依題設(shè)N(x, 0, z)，則(x, , 1z)，由于NE平面PAC， 即，即點N的坐標(biāo)為(, 0, 1)，從而N到AB、AP的距離分別為1，.(2) 設(shè)N到平面PAC的距離為d，則d.CDBAPE例3. 如圖，在底面是棱形的四棱錐中，點E在上，且:2:1(1) 證明 平面；(2) 求以AC為棱，與為面的二面角的大??；(3) 在棱PC上是否存在一點F，使平面？證明你的結(jié)論解：（1）證明略；（2）易解得；（3）解 以A為坐標(biāo)原點，直線分別為y軸、z軸，過A點垂直于平面P

11、AD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)為所以，設(shè)點F是棱上的點，其中，則令得解得，即時，亦即，F(xiàn)是PC的中點時，共面，又平面，所以當(dāng)F是PC的中點時，平面ZADGEFCBxy例4. 如圖，多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEFG所截而得，其中AB4，BC1，BE3，CF4.(1) 求和點G的坐標(biāo)；(2) 求GE與平面ABCD所成的角；(3) 求點C到截面AEFG的距離解：(1) 由圖可知：A(1，0，0)，B(1，4，0)，E(1，4，3)，F(xiàn)(0，4，4) 又，設(shè)G(0，0，z)，則(1，0，z)(1，0，1) z1 G(0，0，1)(2)平面ABCD的

12、法向量，設(shè)GE與平面ABCD成角為，則(3)設(shè)面AEFG，(x0，y0，z0)，而(1，0，1)，(0，4，3)取z04，則(4，3，4)即點C到截面AEFG的距離為變式訓(xùn)練4. 如圖四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG4，BGGC，GBGC2，E是BC的中點(1)求異面直線GE與PC所成的角的余弦值；PAGBCDFE(2)求點D到平面PBG的距離；(3)若F點是棱PC上一點，且DFGC，求的值解：(1)以G點為原點，為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1

13、，0)， (0，2，4)。，GE與PC所成的余弦值為 (2)平面PBG的單位法向量n(0，±1，0) ，點D到平面PBG的距離為n |. (3)設(shè)F(0，y，z)，則。，即， , 又，即(0，z4)(0，2，4)， z=1，小結(jié)歸納故F(0，1) ，。對于以下幾類立體幾何問題：(1) 共線與共面問題；(2) 平行與垂直問題；(3) 夾角問題；(4) 距離問題；(5) 探索性問題運用向量來解決它們有時會體現(xiàn)出一定的優(yōu)勢用空間向量解題的關(guān)鍵步驟是把所求向量用某個合適的基底表示，本節(jié)主要是用單位正交基底表示，就是適當(dāng)?shù)亟⑵鹂臻g直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示，然后進(jìn)行向量與向量的坐標(biāo)運算，最

14、后通過向量在數(shù)量上的關(guān)系反映出向量的空間位置關(guān)系，從而使問題得到解決在尋求向量間的數(shù)量關(guān)系時，一個基本的思路是列方程，解方程 空間向量章節(jié)測試題1在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，則點A到平面A1BC的距離為（）ABCD2在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,則AB1與C1B所成的角的大小為A.60ºB. 90º C.105º D. 75º3正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點，則直線ED與D1F所成角的大小是（）AB。C。D。4設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點，在正方體的

15、12條面對角線中，與截面A1ECF成60°角的對角線的數(shù)目是（）A0 B2 C4 D65棱長都為2的直平行六面體ABCDA1B1C1D1中，BAD=60°，則對角線A1C與側(cè)面DCC1D1所成角的正弦值為（）AB C D6在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是、AD的中點，那么異面直線OE和所成的角的余弦值等于（）A B C D7棱長為a的正四面體中，高為H，斜高為h，相對棱間的距離為d，則a、H、h、d的大小關(guān)系正確的是（）Aa>H>h>dBa>d>h>H Ca>h>d>H Da>h>H

16、>d8將正方形ABCD沿對角線BD折起，使平面ABD平面CBD，E是CD中點，則的大小為（）A. B. C. D.9三棱錐ABCD的高AH = 3，H是底面BCD的重心若AB=AC，二面角ABCD為60°，G是ABC的重心，則HG的長為（）A B C D10PA，PB，PC是從P引出的三條射線，每兩條的夾角都是60º，則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為（）AB。C。D。11已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為 。ABMDC12。如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點， A、B、M

17、是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是 .13正四棱錐P-ABCD的所有棱長都相等，E為PC中點，則直線AC與截面BDE所成的角為 14已知邊長為的正三角形ABC中，E、F分別為BC和AC的中點，PA面ABC，且PA=2，設(shè)平面過PF且與AE平行，則AE與平面間的距離為 AEDCBA1FD1C1B115如右下圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB= FB=1（1）求二面角C-DE-C1的正切值；（2）求直線EC1與FD1所成的余弦值16如圖，三棱錐PABC中， PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D

18、是PB上一點，且CD平面PAB (I) 求證：AB平面PCB； (II) 求異面直線AP與BC所成角的大小； (III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值QPDCBA17如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA平面AC，且PA=1（1）試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點P、B、D的坐標(biāo)；（2）問當(dāng)實數(shù)a在什么范圍時，BC邊上能存在點Q，使得PQQD？（3）當(dāng)BC邊上有且僅有一個點Q使得PQQD時，求二面角Q-PD-A的大小空間向量章節(jié)測試題答案1B。2B。3A。4C。提示：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方體的棱長為1，則A1

19、(1，0，0)，E(1，0)，C(0，1，0)設(shè)平面A1ECF的法向量為n=(x，y，z)，則由=0及=0，可得x=z=y，于是可取n=(1，1)，而且可計算得到這四個向量與向量n所成的角為30°，于是這四個向量與平面A1ECF所成的角為60°而其它的面對角線所在的向量均不滿足條件5 D。6C。7C。8A。9D。10 D11。12 。13設(shè)AC與BD相交于點O，則與所成的角即EOC為所求易得大小為45°1415（1）如圖，以A為原點，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0

20、)、C1(4，3，2)于是，設(shè)向量與平面C1DE垂直，則有其中z0取n0=(-1，-1，2)，則n0是一個與平面C1DE垂直的向量向量=（0，0，2）與平面CDE垂直，n0與所成的角為二面角C-DE-C1的平面角，（2）設(shè)EC1與FD1所成角為b，則16 (1) PC平面ABC,平面ABC，PCAB.CD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB二面角C-PA-B的大小的余弦值為 (2 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B為原點，如圖建立坐標(biāo)系則（,），（0,0,0）， C（,0），P（,2）=(,2)，=(,0,0)則=×+0+0=2 =

21、 異面直線AP與BC所成的角為 （3）設(shè)平面PAB的法向量為m= (x，y，z)=(0, ,0),=(,2)，則 即解得令z= -1,得 m= (，0，-1) 設(shè)平面PAC的法向量為n=(x¢, y¢, z¢).(0,0,2), =(,0)， 則 即解得 令x¢=1, 得 n= (1，1，0) z第10題答圖QPDCBAyxMN=. 二面角C-PA-B的大小的余弦值為17（1）以A為坐標(biāo)原點，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系如圖所示PA=AB=1，BC=a，P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，a，0）（2）設(shè)點Q（1，x，0），則由，

22、得x2-ax+1=0顯然當(dāng)該方程有實數(shù)解時，BC邊上才存在點Q，使得PQQD，故=a2-40因a>0，故a的取值范圍為a0（3）易見，當(dāng)a=2時，BC上僅有一點滿足題意，此時x=1，即Q為BC的中點取AD的中點M，過M作MNPD，垂足為N，連結(jié)QM、QN則M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）D、N、P三點共線，又，且，故于是故，MNQ為所求二面角的平面角，所求二面角為歷屆高考中的“空間向量與立體幾何”試題選講1.(2008海南、寧夏理)如圖，已知點P在正方體ABCDA1B1C1D1的對角線BD1上，PDA=60°。（1）求DP與CC1所成角的大??；（2）求DP與

23、平面AA1D1D所成角的大小。2.（2008安徽文）如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的 菱形，, , ,為的中點。（）求異面直線AB與MD所成角的大??；（）求點B到平面OCD的距離。3.（2005湖南文、理）如圖1，已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2。ABCDOO1ABOCO1D（）證明：ACBO1； （）求二面角OACO1的大小。4.（2007安徽文、理)如圖,在六面體中,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,四邊形是邊長為1的正方形,平面,平面ABCD，DD1=2。()求證:與AC共面，與BD共面. ()求證:平面 ()求二面角的大小

24、.5.(2007海南、寧夏理)如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點 （）證明：平面；（）求二面角的余弦值6.(2007四川理）如圖，是直角梯形，90°，1，2，又1，120°，直線與直線所成的角為60°. （）求證：平面平面; （）求二面角的大小;（）求三棱錐的體積.ABMNCl2l1H7.(2006全國卷文、理)如圖，、是互相垂直的異面直線,MN是它們的公垂線段.點A、B在上，C在上，。 （）證明ACNB；()若，求與平面ABC所成角的余弦值。8.（2006福建文、理）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（I）求證：平面BCD；

25、（II）求異面直線AB與CD所成角的大小；（III）求點E到平面ACD的距離。歷屆高考中的“空間向量與立體幾何”試題選講答案1解：如圖，以為原點，為單位長建立空間直角坐標(biāo)系則，連結(jié)，在平面中，延長交于設(shè)，由已知，由ABCDPxyzH可得解得，所以（）因為，所以即與所成的角為（）平面的一個法向量是因為，所以可得與平面所成的角為2解：作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(2) 設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得設(shè)點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值, , .所以點B到平面OCD的距離為3解:（I）證明 由題設(shè)

26、知OAOO1，OBOO1. 所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，則相關(guān)各點的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）,O1（0，0，）. 從而，所以ACBO1. （II）解：因為所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個法向量，由 得. 設(shè)二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，>，所以cos，>=4.解（向量法）：以D為原點，以DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

27、則有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（）證明：于是與AC共面，與BD共面.（）證明：內(nèi)的兩條相交直線， 又平面（）解：設(shè)于是設(shè)于是5證明：（）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解：以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則的中點，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為6解： （），又（）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）由題意有，設(shè)，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得平面的法向量取為設(shè)與所成的角為，則顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為（）解法一：由（）知，為正方形（）解法二：取平面的法向量取為，則點A到平面的距離，7解: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz.令MN=1, 則有A(1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),(