高中排列組合問(wèn)題的解答技巧和記憶方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上排列組合問(wèn)題的解題策略一、相臨問(wèn)題捆綁法例17名學(xué)生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？二、不相臨問(wèn)題選空插入法例2 7名學(xué)生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？三、復(fù)雜問(wèn)題總體排除法例3.(1996年全國(guó)高考題)正六邊形的中心和頂點(diǎn)共7個(gè)點(diǎn)，以其中3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有多少個(gè).四、特殊元素優(yōu)先考慮法 例4 (上海高考題) 1名老師和4名獲獎(jiǎng)學(xué)生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法 種例5（全國(guó)高考題）乒乓球隊(duì)的10名隊(duì)員中有3名主力隊(duì)員，派5名隊(duì)員參加比賽，3名主力隊(duì)員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊(duì)員選2名安排在第二、四位置，那么不

2、同的出場(chǎng)安排共有 - 種.五、多元問(wèn)題分類(lèi)討論法例6（北京春招）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（ ） A42 B30 C20 D12例7（全國(guó)高考試題）如圖， 一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）六、混合問(wèn)題先選后排法 例8（2012年北京高考）12名同學(xué)分別到三個(gè)不同的路口進(jìn)行車(chē)流量的調(diào)查，若每個(gè)路口4人，則不同的分配方案共有（ ）例9（2013年北京高考試題）從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種

3、，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ） A24種 B18種 C12種 D6種 七相同元素分配檔板分隔法例10把10本相同的書(shū)發(fā)給編號(hào)為1、2、3的三個(gè)學(xué)生閱覽室，每個(gè)閱覽室分得的書(shū)的本數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。請(qǐng)用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？總之，解決排列組合問(wèn)題的基本規(guī)律，即：分類(lèi)相加，分步相乘，排組分清，加乘明確；有序排列，無(wú)序組合；正難則反，間接排除等。其次，我們?cè)谧プ?wèn)題的本質(zhì)特征和規(guī)律，靈活運(yùn)用基本原理和公式進(jìn)行分析解答的同時(shí)，還要注意講究一些解題策略和方法技巧，使一些看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。下面介紹幾種常用

4、的解題方法和策略。一特殊元素（位置）的“優(yōu)先安排法”：對(duì)于特殊元素（位置）的排列組合問(wèn)題，一般先考慮特殊，再考慮其他。例1、 用0，2，3，4，5，五個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有（ ）。 A 24個(gè) B.30個(gè) C.40個(gè) D.60個(gè)二總體淘汰法：對(duì)于含否定的問(wèn)題，還可以從總體中把不合要求的除去。如例1中，也可用此法解答:五個(gè)數(shù)字組成三位數(shù)的全排列有A53個(gè)，排好后發(fā)現(xiàn)0不能排首位，而且數(shù)字3，5也不能排末位，這兩種排法要排除，故有A53-3A42+ C21A31=30個(gè)偶數(shù)。三合理分類(lèi)與準(zhǔn)確分步含有約束條件的排列組合問(wèn)題，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事情發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到

5、分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。四相鄰問(wèn)題用捆綁法：在解決對(duì)于某幾個(gè)元素要求相鄰的問(wèn)題時(shí)，先整體考慮，將相鄰的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再考慮大元素內(nèi)部各元素間順序的解題策略就是捆綁法例2、有8本不同的書(shū)；其中數(shù)學(xué)書(shū)3本，外語(yǔ)書(shū)2本，其它學(xué)科書(shū)3本若將這些書(shū)排成一列放在書(shū)架上，讓數(shù)學(xué)書(shū)排在一起，外語(yǔ)書(shū)也恰好排在一起的排法共有( )種(結(jié)果用數(shù)值表示)注：運(yùn)用捆綁法解決排列組合問(wèn)題時(shí)，一定要注意“捆綁”起來(lái)的大元素內(nèi)部的順序問(wèn)題五不相鄰問(wèn)題用“插空法”：不相鄰問(wèn)題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它們隔開(kāi)解決此類(lèi)問(wèn)題可以先將其它元素排好，再將所指定的不相鄰的

6、元素插入到它們的間隙及兩端位置，故稱(chēng)插空法例3、用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)，要求1與2相鄰，2與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰。這樣的八位數(shù)共有( )個(gè)(用數(shù)字作答) 注：運(yùn)用“插空法”解決不相鄰問(wèn)題時(shí)，要注意欲插入的位置是否包含兩端位置六順序固定用“除法”：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。例4、6個(gè)人排隊(duì)，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”順序排的排隊(duì)方法有多少種？例5、4個(gè)男生和3個(gè)女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。七分排問(wèn)題

7、用“直排法”：把幾個(gè)元素排成若干排的問(wèn)題，可采用統(tǒng)一排成一排的排法來(lái)處理。例6、7個(gè)人坐兩排座位，第一排3個(gè)人，第二排坐4個(gè)人，則不同的坐法有多少種？八逐個(gè)試驗(yàn)法：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。例7.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ）A6 B.9 C.11 D.23九、構(gòu)造模型 “隔板法”對(duì)于較復(fù)雜的排列問(wèn)題，可通過(guò)設(shè)計(jì)另一情景，構(gòu)造一個(gè)隔板模型來(lái)解決問(wèn)題。例8、方程a+b+c+d=12有多少組正整數(shù)解？十.正難則反排除法例9、從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型與乙型電視

8、機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有( )種 A140種 B80種 C70種 D35種十一逐步探索法：對(duì)于情況復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問(wèn)題需要認(rèn)真分析，探索出其規(guī)律例10、從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有多少種。十二一一對(duì)應(yīng)法：例11.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍，要比賽幾場(chǎng)？離散型隨機(jī)變量及其分布列 典型例題考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)1.設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：101P0.512qq2則q等于 ()A1 B1± C1 D12已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(Xk)，k1,2，則P(

9、2X4)等于()A. B. C. D.3(2010·荊門(mén)模擬)由于電腦故障，使得隨機(jī)變量X的分布列中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失(以“x，y”代替)，其表如下：X123456P0.200.100. x50.100.1y0.20則丟失的兩個(gè)數(shù)據(jù)依次為_(kāi)題組二求離散型隨機(jī)變量的分布列4.一袋中裝有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，求X的分布列5 設(shè)一汽車(chē)在前進(jìn)途中要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，汽車(chē)在每個(gè)路口遇到綠燈(允許通行)的概率為，遇到紅燈(禁止通行)的概率為.假定汽車(chē)只在遇到紅燈或到達(dá)目的地時(shí)才停止前進(jìn)，表示停車(chē)時(shí)已經(jīng)通過(guò)的路口數(shù)，求：(1)的分布

10、列；(2)停車(chē)時(shí)最多已通過(guò)3個(gè)路口的概率題組三超幾何分布問(wèn)題6.(2010·隨州模擬)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X4)的值為 ()A. B. C. D.7在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是 ()AP(X2) BP(X2) CP(X4) DP(X4)8（天津高考改編)在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的

11、分布列；(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率題組四離散型隨機(jī)變量及其分布列的綜合應(yīng)用9.拋擲2顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X是一個(gè)隨機(jī)變量，則P(X4)_.10一個(gè)袋中裝有若干大小相同的黑球、白球和紅球，已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是.(1)若袋中共有10個(gè)球；求白球的個(gè)數(shù)；從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X分布列條件概率與事件的獨(dú)立性典例精析題型一條件概率的求法 【例1】一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從09中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢(qián)時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求：(1)任意按最后

12、一位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率.題型二相互獨(dú)立事件的概率【例2】三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分別為，且他們是否破譯出密碼互不影響.(1)求恰有二人破譯出密碼的概率；(2)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個(gè)大？說(shuō)明理由.題型三綜合問(wèn)題【例3】某公司招聘員工，指定三門(mén)考試課程，有兩種考試方案.方案一：三門(mén)課程中至少有兩門(mén)及格為考試通過(guò)；方案二：在三門(mén)課程中隨機(jī)選取兩門(mén)，這兩門(mén)都及格為考試通過(guò).假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門(mén)指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門(mén)課程考試是否及格相互之間沒(méi)有影響.(1)分別求該

13、應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過(guò)的概率；(2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過(guò)的概率的大小，并說(shuō)明理由. 離散型隨機(jī)變量及其分布列典例精析題型一離散型隨機(jī)變量的分布列【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.30.3求：(1)2X1的分布列；(2)|X1|的分布列.題型二兩點(diǎn)分布【變式訓(xùn)練2】 若離散型隨機(jī)變量的分布列為：01P9c2c38c(1)求出c；(2)是否服從兩點(diǎn)分布？若是，成功概率是多少？題型三超幾何分布【例3】 有10件產(chǎn)品，其中3件次品，7件正品，現(xiàn)從中抽取5件，求抽得次品數(shù) X 的分布列.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布典例精析題型一相互獨(dú)立事件同時(shí)

14、發(fā)生的概率【例1】甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為.(1)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；(2)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率.【變式訓(xùn)練1】甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為.(1)求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率； (2)求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率.題型二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)【例2】(2010天津)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是

15、，且各次射擊的結(jié)果互不影響.(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率.【變式訓(xùn)練2】袋子A中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸出一個(gè)紅球的概率是.從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止.(1)求恰好摸5次停止的概率；(2)記5次之內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為，求P(2).題型三二項(xiàng)分布【例3】 一名學(xué)生每天騎車(chē)上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率為.(1)設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2)設(shè)Y為這名學(xué)生在首次遇到紅

16、燈前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)，求Y的分布列；(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.【變式訓(xùn)練3】某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18、19、20層?？?若該電梯在底層載有5位乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為，用表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù).求隨機(jī)變量的分布列.12.10離散型隨機(jī)變量的期望與方差典例精析題型一期望與方差的性質(zhì)的應(yīng)用【例1】袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(hào).(1)求的分布列、期望和方差；題型二期望與方差在風(fēng)險(xiǎn)決策中的應(yīng)用【例2】 甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天

17、加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為、，和的分布列如下：012P012P試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較.【變式訓(xùn)練3】(2010北京市東城區(qū))已知將一枚質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為.(1)求拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率；(2)拋擲這樣的硬幣三次后，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望E().正態(tài)分布典例精析 題型一研究正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值【例1】 某正態(tài)曲線(xiàn)的密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體位于區(qū)間4，2的概率.【變式訓(xùn)練1】設(shè)XN(1,22)，試求：(1)P(1X3)；(2)P(X5).題型二利用正態(tài)總體密度函數(shù)估計(jì)某區(qū)間的概率【例2】 已知某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)XN(60,82)(單位：分)，此次考生共有1萬(wàn)人，估計(jì)在60分到68分之間約有多少人？【變式訓(xùn)練2】某人乘車(chē)從A地到B地，所需時(shí)間(分鐘)服從正態(tài)分布N(30,100)，求此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率.（2013年高考北京卷（理）下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染,某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市,并停留2天.()求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率;