錐形束CT解析算法進(jìn)展的研究

1、錐形束CT解析算法進(jìn)展的研究· 摘要  近年來錐形束CT解析法重構(gòu)有了突破性進(jìn)展，螺旋CT的非移變?yōu)V波反投影（FBP）算法首先由Katsevich提出，并得到不斷完善。隨后，這一重構(gòu)系統(tǒng)被推廣至普適軌道，同時(shí)，在此基礎(chǔ)上又衍生出反投影濾波（BPF）的新思路。本文提出了錐形束CT爭(zhēng)析算法發(fā)展中的關(guān)鍵問題，并作了深入剖析，對(duì)比了FBP與BPF算法的優(yōu)缺點(diǎn)，指出了未來研究發(fā)展的要點(diǎn)。        關(guān)鍵詞  錐形束CT；解析算法；濾波反投影算法；反投影濾波算法；Katsevich類算法  &

2、#160;     錐形束CT的解析算法一直是三維體積CT領(lǐng)域的重要課題。錐形束重構(gòu)屬于弱病態(tài)問題1，數(shù)值計(jì)算方面的困難重重。理論上的公式雖然嚴(yán)格完備，卻難以應(yīng)用于實(shí)際設(shè)備，所以當(dāng)前的CT設(shè)備仍采用2.5維的Z軸堆疊的空間重構(gòu)。        真正意義下的三維體積重構(gòu)研究在近年有了突破性進(jìn)展。2002年Katsevich提出了基于螺旋軌道的移不變?yōu)V波反投影（FBP）算法24，錐形束重構(gòu)研究由此進(jìn)入新階段。Katsevich類的重構(gòu)系統(tǒng)從數(shù)值仿真到系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的研究工作廣泛展開，文獻(xiàn)5基于實(shí)際探測(cè)器幾何形態(tài)詳細(xì)

3、地討論了Katsevich法重構(gòu)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)。隨后，為改進(jìn)重構(gòu)精度Katsevich提出了3PI算法6。同樣是源于Katsevich類算法，Pan小組引入Hilbert變換（HT）提出重構(gòu)的新思路，即反投影濾波（FBP）算法7，8。相比FBP算法，BPF在橫向截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)情形下仍能獲取更好的重構(gòu)效果，因而在感興趣區(qū)域重構(gòu)方面有著廣闊的應(yīng)用前景。另一方面，螺旋軌道情形下的重構(gòu)公式與一些定理也被推廣到普適軌道的通用系統(tǒng)911。新軌道的開拓與基于新軌道重構(gòu)算法實(shí)現(xiàn)也是當(dāng)下重要的研究?jī)?nèi)容12，13。        本文提出了錐形束CT解析算法發(fā)

4、展中的若干關(guān)鍵問題，地比了FBP與BPF算法的優(yōu)缺點(diǎn)，指出了未來發(fā)展的研究要點(diǎn)。        1  Katsevich類FBP算法        1.1  錐形束重構(gòu)公式的困難  在Katsevich之前，錐形束FBP重構(gòu)算法的主要困難是：錐形束變換和三維Radon變換不對(duì)等14，而通過等價(jià)關(guān)系變換過程15中，存在一個(gè)非一一映射的變換，從而變換后的重構(gòu)公式表達(dá)為濾波反投影的形式時(shí)，濾波的過程是移變的。其中錐形束變換（或稱Xray變換）表達(dá)為：

5、     P為錐形束投影算子，為實(shí)軸上某區(qū)間，S2為三維實(shí)空間中單位球。        2002年，Katsevich首先在螺旋軌道的情形下給出了非移變的FBP重構(gòu)算法公式。這一公式的建立是基于螺旋軌道特性，并在濾波方向上有了很大的改進(jìn)。        1.2  Katsevich螺旋CT非移變FBP算法          螺旋CT FBP初始公式 

6、; 設(shè)螺旋軌道C：=R3：x=Rcos，y=Rsin，z=（h/2），Katsevich的公式利用了螺旋軌道一個(gè)重要性質(zhì)：對(duì)于軌道內(nèi)的任一重構(gòu)點(diǎn)x-，必然存在唯一的連接軌道上兩源點(diǎn)的線段。該線段稱為PIline記為LPI（x-），其對(duì)應(yīng)的軌道曲線為CPI（x-）。給定重構(gòu)點(diǎn)（x-），對(duì)CPI（x-）上各源點(diǎn)（，x-）的投影數(shù)據(jù)g（，）做濾波得到gF后，就可以再通過反投影重構(gòu)出該點(diǎn)的密度f（x-），即：     關(guān)鍵問題就是對(duì)于每個(gè)源點(diǎn)（，x-）如何濾波得到相應(yīng)的gF。Fatsevich最先提出的濾波算法2包含了兩個(gè)方向上的濾波，記（，x-）指向x-的單位

7、矢量為x（，x-），則：     其中ek（，x-）=1，2表示與濾波有關(guān)的兩方方向，e1（，x-）與（，x-）處的切線方向及x（，x-）兩個(gè)矢量方向垂直，e2（，x-）與CPI（x-）相切，且與x（，x-）共面。其重構(gòu)的最終結(jié)果是這兩部分反投影的均值。          改進(jìn)的螺旋CT FBP算法  隨后Katsevich濾波方向選擇上做了改進(jìn)，僅采用一個(gè)方向?yàn)V波，從而有效地減少了計(jì)算量3（圖1）。對(duì)于給定點(diǎn)x-和某源點(diǎn)（0，x-），（*，x-）和（0+*）/2，x-確定的

8、平面過點(diǎn)x-，該平面記為Kplane，法線方向記為u（0，*），這一濾波方向由u（0，*）矢量決定的。改進(jìn)的濾波法就是用e（，x-）:=（，x-）×u（，x-）替代（3）中的ek（，x-），即：     若采用平板探測(cè)器，那么（4）中的表達(dá)式cos（，x-）+sine（，x-）指出了濾波就是沿Kplane和投影面的交線。在實(shí)際算法實(shí)現(xiàn)時(shí)，先將投影所得的矩陣上的數(shù)據(jù)沿濾波方向重排為行向量，再對(duì)各個(gè)行向量作濾波。特別地，（4）式體現(xiàn)了這一濾波具有Hilbert變換的形態(tài)。        &

9、#160; 普適軌道的FBP算法  為改進(jìn)精確的重構(gòu)效果，Katsevich又提出了3PI算法，拓展了掃描角度，但是這一拓展使得上述情形中的u（0，*）并不唯一了，必須引入權(quán)因子處理多個(gè)i（0，*），0iM的積分。類同于3PI算法中的權(quán)因子的思路，Katsevich提出了普適軌道的濾波反投影的重構(gòu)公式，所謂的PIline演化為Mline，CPI（x-）上的反投影積分對(duì)應(yīng)為CMline（x-）。其中（，x，e）相應(yīng)的權(quán)因子，m對(duì)應(yīng)于k（，x）的不連續(xù)點(diǎn)，而cm（，x）是不連續(xù)點(diǎn)處的階躍值。然而（5）還不是萬能公式，在應(yīng)用于具體的軌道時(shí)，仍需處理諸如“如何確定Kplane”、“如何設(shè)置權(quán)

10、因子”等問題。2 基于HT的BPF算法 2.1 BPF算法 改進(jìn)后的Katsevich算法啟發(fā)了新算法的產(chǎn)生?？紤]交換（5）中兩個(gè)積分的順序，即先做反投影，再做濾波，Pan小組指出了這樣的變換是成立的，并由此提出了反投影濾波（BPF）的新思路（圖2）。（x-）由gb（x-）做Hilbert變換得到，其中K（x-，x-）為Hilbert變換核，e（x-）為關(guān)于x-的PIline的方向；gb（x-）是投影g（x-，）的加權(quán)反投影積分，即： 這說明BPF算法中的Hilbert變換對(duì)應(yīng)的濾波是沿PIline方向的，重構(gòu)是在PIline上實(shí)現(xiàn)的。那么，若僅需重構(gòu)物體的某局部，可以只計(jì)算與該區(qū)域相交的各條

11、PIline線段上的各點(diǎn)的密度即可。 2.2 BPF算法與FBP算法的性能比較 若投影數(shù)據(jù)集完備，這兩種算法是一致的，不過實(shí)際系統(tǒng)中的投影數(shù)據(jù)集在橫向與縱向常常是截?cái)嗟?，兩種算法在處理縱向截?cái)鄶?shù)據(jù)方面都具有良好的魯棒性，但在橫向截?cái)鄷r(shí)存在差異。 FBP算法的濾波沿Kplane與投影面的交線，也就是說某個(gè)點(diǎn)x-的重構(gòu)涉及Kplane上所有的其他點(diǎn)。若探測(cè)器在橫向較為狹窄，就會(huì)導(dǎo)致橫向數(shù)據(jù)截?cái)啵谥貥?gòu)中形成偽影。另一方面，BPF法的公式中蘊(yùn)含了優(yōu)越的局部特性（圖2），gb（x-）僅與CPI（x-）上各源點(diǎn)的x-點(diǎn)處投影的結(jié)果有關(guān)，Hilbert變換沿LPI（x-）方向，也是僅依賴于x-。這一局部特

12、性使得BPF在橫向及縱向截?cái)嗤队皵?shù)據(jù)情形下人都能獲取更好的重構(gòu)效果，在感興趣區(qū)域（ROI）重構(gòu)方面有著廣闊的應(yīng)用前景。 3 進(jìn)一步研究要點(diǎn) BPF算法的提出與完善給ROI方向的研究開拓了廣闊的領(lǐng)域，其發(fā)展必定同時(shí)關(guān)注最小數(shù)據(jù)集重構(gòu)與高分辨率的冗余掃描重構(gòu)。前者有助于最大可能降低放射線源劑量及減小探測(cè)器的面積。 另一方面，探求與ROI相匹配的重構(gòu)軌道也是今后研究的要點(diǎn)之一。比如在臟器官的CT掃描中，若采用更靈活的源點(diǎn)軌道，使其幾何特征與臟器官在體內(nèi)不同的位置與形態(tài)相匹配，有希望提高重構(gòu)系統(tǒng)的性能。 4 結(jié)論 近年來錐形束CT解析法重構(gòu)有了突破性進(jìn)展，Katsevich提出了螺旋軌道CT的非移變?yōu)V

13、波反投影（FBP）公式及其改進(jìn)形式。隨后，這一重構(gòu)系統(tǒng)推廣至普適軌道。在此基礎(chǔ)上Pan變換了反投影與濾波的積分順序，基于Hilbert變換建立了反投影濾波（BPF）算法。兩者在濾波方式上存在著較大的不同，F(xiàn)BP算法相對(duì)完善，數(shù)值計(jì)算精度較高，而BPF所具有的局部特性使其在ROI領(lǐng)域中有著曠闊的應(yīng)用前景?；阱F形束CT的ROI研究將成為今后該領(lǐng)域的研究要點(diǎn)，包括最小數(shù)據(jù)集重構(gòu)、冗余數(shù)據(jù)處理、自適應(yīng)軌道等方面內(nèi)容。參考文獻(xiàn) 1 Adel Faridani.Introduction to the mathematics of computed tomography.Inverse Problems，

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