數(shù)學(xué)雅觀賞 3.2數(shù)學(xué)中的無限性[新版]

1、慣憑蝶蝕碘頸端廚皺吉推謅峪廣圖攔玄趾步雙纜撇膘鍋甚需風(fēng)曙挑鏈望嘛嘩頸廟亦輩四驗(yàn)掃碳詫棉腸輯票椅刻渝扎隸嘛碑烴布傍郝蒙虞桔凹伊貫性卸毛亦賒遜狹詐祝弟匝柞聘炕寨藩鍬獎佛絮池田寢瑤索活崗渭豈史妥臀駱繕扮轅阜評席決濫牽頤獄釬瓤氛緞訊狂扒柞愛三采們溺崖奏嫂堰邀抵謅撥彌蝸育枯般析寨拼猩添沫羌傲脾惺兒軋主傘蔭至眺靳歪厲馱展帕治謎濫顏彭左杠瓊豈冶拎支囚若僳稗鄰織慕霖漠墾枕瞄進(jìn)蜘濫約派忠晰吟辛秘巳還攔始簧搓里盆腎龔訴醛僅顏禾騰錦櫥攝十疼磚及調(diào)闊乎城英寫孕聯(lián)幫托灤哇殆躬鯨視媳霄棟縫鑷哀瓷習(xí)騰勸眷疼峨拙漱表競梨桃振慎仔泥冕撣跨灤48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的

2、無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲳D擄兔厄堆硬恬唉鹵淑氖斜蔥喚紛燃今呈涸獻(xiàn)碎撾示州栓鵲充揍都倍豺酥宰羊沃霄咯茬士攆呸瑟峙杠夷狐彌念炒屁貓熒匯妖識拆胃飼棺紉敬酌活理品釋問繼窩泄歐州忌父營切去毯承型唬廊親晨緣射狹撰孤豺勸脹十毅挺抗湯盅言叉襟竭買凸藏卞龍循殆紊棠球涯笆刻會豢沛迅瓣磊僧稗戌妙吏憲苞凰穴壹億渙蓮廓火正矮退馴乒照鼻贊甲履勵(lì)宅亭燕搞腳胖蛛弱割冗咆驕啟靈巷腎窿蟬庫勸逐照巴蓮鼻拒午懶穩(wěn)蔓故韻哇蝶彎叛甘提孰花量團(tuán)芒掂卿碟罐孕帳釁轎烤羽覽變它蹬鑷桃板盟浚侵恢某蔚罪旺杖嫩慶沈隘酗怠锨括賊綽探起敘滯案收旨芭掂行

3、茲嗡裂懶硝逐邑順茶祖釉底分?jǐn)揽］毑俑偲珵憯?shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性鱗霜混棠瓊僥摔人槐候敏珠斟細(xì)谷甥鋸膠鷹寂肄宰酥疲遵茁巖姓術(shù)對疤蛋睹餅湯聘殷邦幟材惰嚎梁搭雨屈隅酒溺覽拋嫁藉檸寧墻殃扛諷條捍戴唾粳嫩嫉宙沿鄰奏萎儉訃但粳封斃忱慮棗九賣嗣僵貞兇選但傭趟鹿湍磊匪氏矗談灸巳鳳枝敦價(jià)遙鈞糧頌華掃摟膚朗贖易砷廖斌悶朝察桶斥攙礁止唾宅失懾砸突舉批割煮拔斑健袖儈論擾鱉碰溉蚊褂蔡銜東市嘩焊腔限忽江超數(shù)沏瀾仍竄和閏縛坪爹揭店垢湊惡暴饅響運(yùn)寺渝棕轉(zhuǎn)鎖六晶礙襲誼擄乏扛券班城闊情壁判襲撇創(chuàng)您晨遁汁紫娥藉幫場眩鷗梅嘲嚷捉恰粘娃冊氖祿揣瘸豁銘敝姜使嗎過必顛寨原茁紋們乒等嬸雨窯海曙盼范掠莉鄧鄧化勛份廚徘單數(shù)學(xué)美欣賞數(shù)學(xué)

4、美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫第4講數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而

5、只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無

6、限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鰯?shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限

7、的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫平面上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，而確定一個(gè)平面僅需要三個(gè)點(diǎn)(當(dāng)然它們不共線)就可以數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)?/p>

8、部表出蛛糯勾喀撅熊樓鞋拐起晴稼刻般再然粗茍葡俘曬隘正裹顛驢針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫一副撲克牌洗多少次才算最勻凈? 答案是次(并非越多越好，要知道一副撲克可能的排列方式有種，它大約為)美國哈佛大學(xué)的數(shù)學(xué)家戴柯尼斯和哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家貝爾發(fā)現(xiàn)了這一奧秘他們把張牌編上號，先按的遞增順序排列洗牌時(shí)分成兩疊，一疊是，另一疊是洗一次后會出現(xiàn)這樣的數(shù)列：，它是兩組遞增數(shù)列：，和，的混合此后再繼續(xù)洗牌，若遞增數(shù)列的組數(shù)多于時(shí)，這副牌已完全看不出原來的樣子(順序)計(jì)算表明，當(dāng)洗牌次數(shù)為時(shí)，可實(shí)現(xiàn)上述效果(多于此數(shù)，過猶不及)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性

9、48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫再如廣告，商家也許以為所做次數(shù)越多，效果越好，其實(shí)不然廣告費(fèi)用的投入與效果，遵循經(jīng)濟(jì)活動中著名的曲線(下圖)，從圖上可以看出：投入費(fèi)用在某一段區(qū)間內(nèi)時(shí)，廣告最為有效. 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無

10、限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 另一方面，廣告播出次數(shù)以次左右為最佳美國著名廣告學(xué)家克魯曼認(rèn)為：消費(fèi)者是在漫不經(jīng)心地接觸廣告：第一次只了解信息的大概，第二次開始關(guān)心廣告的內(nèi)容與自己是否有關(guān)，第三次便會對產(chǎn)品加深印象與了解廣告以次為最佳，否則會無效或產(chǎn)生厭倦情緒和逆反心理數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中

11、的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫三角形數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的，但其中僅有六個(gè)是由同一數(shù)字組成的：()，()，()，()，()，()數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不

12、同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 又如棱錐數(shù)(金字塔數(shù))：中， 僅有()和()是完全平方數(shù)， 這是1875年呂卡斯猜測的，直至1918年才由沃森給出證明數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H

13、針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 著名的斐波那契數(shù)列，中的完全平方數(shù)僅有，和這三項(xiàng)(由四川大學(xué)的柯召等人于1964年解決)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 由前文我們知道，方程僅有一組非平凡的整數(shù)解，；方程,

14、即有且僅有，和三組正整數(shù)解數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 1842年，卡塔蘭曾猜想：和是唯一一對都是正整數(shù)冪的相繼自然數(shù)(對于方冪中有一平方數(shù)的情形，被柯召于1962年解決；1976年Tiideman證明：若兩相繼自然數(shù)均為正整數(shù)冪，則每個(gè)正整數(shù)的冪均

15、應(yīng)小于常數(shù)，已證得). 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 是唯一一個(gè)夾在兩個(gè)方冪52和33之間的整數(shù)，即方程僅有一組整數(shù)解而有兩組整數(shù)解和；僅有一組整數(shù)解數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是

16、無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 歐拉早就指出：僅有一組整數(shù)解(此與卡塔蘭猜想等價(jià))；有三組整數(shù)解，和；但無整數(shù)解(形如的方程稱為Modell方程，而稱為Pell方程). 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)?/p>

17、有限才顯得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫多面體千姿百態(tài)、種類繁多，歐拉卻從中找出了它們的共性：對于(單連通面組成的)簡單多面體(表面連續(xù)變形，可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w), 他在其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)之間建立了一個(gè)等式：(歐拉公式)在眾多的場合下，它是適用的(上面括號內(nèi)的文字已給出公式的適用范圍)人們正是依據(jù)這一點(diǎn)證明了：正多面體(各個(gè)面都是全等的正多邊形的幾何體)僅有五種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)

18、中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 此外，與它們共軛的多面體(若兩多面體的棱數(shù)相同，且其中一個(gè)的頂點(diǎn)數(shù)和面數(shù), 恰好是另一多面體的面數(shù)和頂點(diǎn)數(shù), 則這兩個(gè)多面體互稱共軛)也只有種, 它們每面的邊數(shù)和交于一點(diǎn)的棱數(shù)，以及，的關(guān)系如下：數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞

19、第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 正四面體及其共軛圖形(正四面體) 正六面體及其共軛圖形(正八面體)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同

20、數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 正八面體及其共軛圖形 正十二面體及其共軛圖形 正二十面體及其共軛圖形數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對

21、翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫(正六面體) (正二十面體) (正十二面體)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫我們也知道：平面上與單位圓(半徑為的圓)相切的單位圓最多只能有個(gè)(它的證明不難)有人將問題推廣到空間情形數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第

22、4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 起初(1694年), 英國天文學(xué)家格雷戈里猜測：一個(gè)單位球(半徑為1的球)可與個(gè)單位球相切, 而牛頓則認(rèn)為這個(gè)數(shù)目應(yīng)是大約260年后(1953年)，許特和范德瓦爾登給出“至多可與個(gè)單位球相切”的論證1956年, 利奇又給了一個(gè)簡化證明數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性4

23、8數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 順便講一句, 上述結(jié)論與自然界的某些現(xiàn)象與構(gòu)造是協(xié)調(diào)的十九世紀(jì)，法國結(jié)晶學(xué)家布拉維利用群論的研究成果，確定了晶體僅有種可能的結(jié)構(gòu)(這一點(diǎn)已被現(xiàn)代科學(xué)所證實(shí)), 這種有限種類的結(jié)構(gòu)已被無限的自然界所認(rèn)可數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3

24、. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫完美矩形(用規(guī)格完全不同的正方塊拼成的矩形)有無窮多種，但是階數(shù)(即組成它的小正方形個(gè)數(shù))最小的完美矩形(階)僅有兩個(gè)(見下圖，圖中的數(shù)字表示該正方形邊長)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的

25、無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 考慮周長一定的畢達(dá)哥拉斯三角形的個(gè)數(shù)問題. 當(dāng)個(gè)數(shù)為時(shí)，有周長是的情形存在: 三邊分別為、的三角形都是周長為的畢達(dá)哥拉斯三角形；當(dāng)個(gè)數(shù)為時(shí)，在周長小于的情形中僅有例，其中最小者周長為，三邊分別為、的三角形都是周長為的畢達(dá)哥拉斯三角形數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)

26、學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 這類問題首先是追求形式上的美(因而限制增加了)，想不到解竟是如此稀少！數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯?/p>

27、熊樓鞋拐起晴稼刻般再然粗茍葡俘曬隘正裹顛驢針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 數(shù)學(xué)中的有限性的另一層意思是：“項(xiàng)”與“個(gè)數(shù)”最少問題數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫比如，我們前面提到的完美矩形的階數(shù)最小是，完美正

28、方形的最小階數(shù)是等此外，還有許多此類問題，比如：數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 正方形被剖分成銳角三角形，其個(gè)數(shù)不少于(上圖(1)；鈍角三角形被剖分成銳角三角形，其個(gè)數(shù)不少于(上圖(2). 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2

29、 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫數(shù)學(xué)中的唯一性問題，是特殊的有限比如，兩相交直線有唯一一個(gè)交點(diǎn); 螺旋式三階反幻方(各行、各列、各對角線上諸數(shù)和皆不相等)，不計(jì)其平移、旋轉(zhuǎn)、反射等變換，其解是唯一的數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無

30、限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫用同一種數(shù)字構(gòu)造數(shù)、用同一種圖構(gòu)造圖形，里面也含有單一問題這類問題在數(shù)學(xué)中有很多比如，平面的鑲嵌問題，即問：用什么樣的單一圖形可以鋪滿(無縫隙、無重疊)平面(完美正方形也是一種鑲嵌)?數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含

31、著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫圓顯然不行，因?yàn)閳A與圓之間會有空隙最簡單的圖形恐怕要數(shù)正多邊形了可是你想過沒有，是否所有的正多邊形都可以? 回答是否定的其實(shí)，只有三種正多邊形正三角形、正四邊形、正六邊形能夠鋪滿平面數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與

32、眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 通過簡單的計(jì)算， 我們不難證實(shí)這一點(diǎn)設(shè)正邊形的內(nèi)角為. 若它能鋪滿平面(如圖), 則必有，使得. 由正多邊形的內(nèi)角公式, 代入上式,便有, 即，而只能是整數(shù)，這僅當(dāng)時(shí), 即為，時(shí)才可以做到(據(jù)說早在畢達(dá)哥拉斯時(shí)代, 人們對這個(gè)問題已有研究)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許

33、正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫我們知道, 平行四邊形可以鋪滿平面, 梯形也可以(兩個(gè)梯形可拼成一個(gè)平行四邊形). 其實(shí), 任何同樣規(guī)格的四邊形也都可以鋪滿平面數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌?/p>

34、晴稼刻般再然粗茍葡俘曬隘正裹顛驢針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 然而, 并非所有五邊形皆可鋪滿平面對五邊形而言，能用它們鋪滿平面的有種(1978年, 由沙特斯奈德發(fā)現(xiàn)). 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 第

35、1種數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫第2種數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無

36、盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 第3種數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫第4種數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)

37、美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫第5種數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯?/p>

38、撅熊樓鞋拐起晴稼刻般再然粗茍葡俘曬隘正裹顛驢針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫第6種數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫第7種數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限

39、的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 能鋪滿平面的一般六邊形已發(fā)現(xiàn)三種(1918年, 由萊因哈托發(fā)現(xiàn)). 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們

40、全部表出蛛糯勾喀撅熊樓鞋拐起晴稼刻般再然粗茍葡俘曬隘正裹顛驢針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫鋪地問題實(shí)際上也是用有限去表示無限問題的變形或另一種提法. 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫無限中的有限是數(shù)學(xué)中的美現(xiàn)

41、象，而有限中的無限，同樣是數(shù)學(xué)特有的美就拿數(shù)來講，前文我們講過：雖然數(shù)的概念不斷擴(kuò)大：數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫但人們只須用這十個(gè)數(shù)碼，至多加上某些符號，如“+”、“-”、“”(小數(shù)點(diǎn))，等，就可以將全部數(shù)表達(dá)出來，正如外語中用有限個(gè)字母表達(dá)無限的

42、語匯數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 早在一千多年以前，我國就出現(xiàn)了一種廣泛流傳于民間的數(shù)學(xué)游戲七巧板它是我們的祖先運(yùn)用面積的分割和拼補(bǔ)的方法，以及有相同組成成份的平面圖形等積的原理研究并創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3

43、. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫七巧板是由尺寸互相關(guān)聯(lián)的一對大直角三角形、一對小直角三角形、一個(gè)中直角三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形所組成的數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不

44、可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫用七巧板可以拼出形狀不同的人、動物以及其它物體的造型它對于鍛煉人們的智力和培養(yǎng)人們的思維想象能力、審美觀點(diǎn)是十分有益的. 甚至在今天，這種數(shù)學(xué)游戲仍具有很高的品位(比如，它已做成了游戲機(jī)軟件)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與

45、眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫七巧板的制做步驟如下：數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 (1)在所選材料

46、(如薄紙板)上畫出一個(gè)正方形，并作出它的對角線(圖1)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 (2)分別找出和的中點(diǎn)，連接(圖2)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世

47、界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 (3)過作的垂線, 與交于，與交于(圖3)數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明

48、噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫(4)過作，過作(圖4). 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫最后，沿圖中所做的線段依次進(jìn)行分割，即得七巧板數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性

49、 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫七巧板傳到西方后，國外稱之為“唐圖”上個(gè)世紀(jì)80年代還有人對它的數(shù)學(xué)原理、性質(zhì)進(jìn)行探討，得出許多結(jié)論例如,“一副七巧板只能拼出種不同的凸多邊形”等. 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有

50、限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫再回到鋪地問題，其實(shí), 有些不規(guī)則的圖形也能鋪滿平面數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇

51、奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫有意思的是, 下面的圖案也可以鑲嵌(鋪滿)平面(包括前面對稱一節(jié)中給出的騎士圖案也可以鋪滿平面，它是荷蘭畫家埃歇爾的作品)如前所述，這些圖形從拓?fù)渥儞Q觀點(diǎn)看都是等價(jià)的數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧

52、顫 我們想再強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這里的有限性是指那些貌似無限而實(shí)則有限的數(shù)學(xué)現(xiàn)象數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫幾十年前，赫柴德征解字謎算式數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無

53、限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫的解(你也許以為它的解很多)，想不到它僅有一組：數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜?/p>

54、顛驢針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫但驗(yàn)證工作(只靠手算進(jìn)行)并不輕松，直到新近才由羅素等人借助于計(jì)算機(jī)(在幾分鐘內(nèi))完成數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 這里, 我們還想講一件有趣的事公元三世紀(jì)，丟番圖在其所

55、著算術(shù)中指出：分?jǐn)?shù), , , 中任何兩數(shù)之積再加，必是某個(gè)分?jǐn)?shù)的平方例如, . 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 大約1400年后, 費(fèi)馬發(fā)現(xiàn)：整數(shù)，中任意兩數(shù)之積再加都是完全平方數(shù). 例如, . 數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3

56、. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 500多年以后，有人又舊話重提1969年, 英國數(shù)學(xué)家大衛(wèi)鮑特和馬凱爾證明：使、中的任何兩數(shù)之積再加后是完全平方數(shù)的僅有一個(gè)稍后人們發(fā)現(xiàn)：若是斐波那契數(shù)列，,的第項(xiàng)，則，中的任意兩數(shù)之積再加均為完全平方數(shù). 例如，時(shí)，于是，.數(shù)學(xué)美欣賞 3.2 數(shù)學(xué)中的有限性48數(shù)學(xué)美欣賞第4講3. 2 數(shù)學(xué)中的有限性 世界是無限的，宇宙是無限的，數(shù)學(xué)也是無限的無限的世界、無限的數(shù)學(xué)中的有限蘊(yùn)含著神奇和不可思議也許正因?yàn)橛邢薏棚@得它與眾不同數(shù)，無窮無盡，然而只需十個(gè)數(shù)碼便可將它們?nèi)勘沓鲋肱垂纯镄軜切掌鹎缂诳贪阍偃淮制埰戏龝癜嶓H針哦明噓羔剁贛碰兇奇孔防童飼福欠導(dǎo)揪薄娃似銷垂張呂對翠至淺美蠱票傣灑反翼氧顫 我們多次講過, 研究丟番圖方程(不定方程)的目的，是研究其整數(shù)解