高考一輪復(fù)習(xí)教案-函數(shù)的奇偶性與周期性精編版

1、最新資料推薦量新考綱第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性與周期性的含義.抓主知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x) = f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x) - - f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱易誤提醒1 .判斷函數(shù)的奇偶性，易忽視判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.2 .判斷函數(shù)f(x)的奇偶性時(shí)，必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x,均有f(x) = f(x),而不能說存

2、在 xo使 f(一x0) = f(xo)、f( xo)=f(xo).3 .分段函數(shù)奇偶性判定時(shí)，利用函數(shù)在定義域某一區(qū)間上不是奇偶函數(shù)而否定函數(shù)在 整個(gè)定義域上的奇偶性是錯(cuò)誤的.必記結(jié)論1 .函數(shù)奇偶性的幾個(gè)重要結(jié)論：(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有 f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(|x|).(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即 f(x)=0, xCD,其中定義域 D是關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.(4)奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相 反的單調(diào)性.2.有關(guān)對(duì)稱性的結(jié)論：(1

3、)若函數(shù)y= f(x+a)為偶函數(shù)，則函數(shù) y=f(x)關(guān)于x= a對(duì)稱.若函數(shù)y=f(x+ a)為奇函數(shù)，則函數(shù) y= f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.(2)若f(x)=f(2a x),則函數(shù)f(x)關(guān)于x= a對(duì)稱.若f(x)+f(2a x) = 2b,則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a, b)對(duì)稱.自測(cè)練習(xí)1 .函數(shù) f(x)= lg(x+ 1)+lg(x 1)的奇偶性是()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)2 . (2015石家莊一模)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)xC (0, +8)時(shí)，f(x)=log2x,則f(-柩 =().1JA.2B.2C.2D.- 23.若函數(shù)f(x) =

4、 x2|x+a|為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a=.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的周期性1 .周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有 儂+ T)=f(x)，那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱 T為這個(gè)函數(shù)的周期.2 .最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫作f(x)的最小正周期.必記結(jié)論 定義式f(x+T) = f(x)對(duì)定義域內(nèi)的x是恒成立的.若 f(x+a)= f(x+b),則函數(shù)f(x)的周期為T=|a-b|.若在定義域內(nèi)滿足1 一1f(x+ a) = -f(x), f(x+ a) = -f(x+a) = -7a>

5、0).則 f(x)為周期函fx fx數(shù)，且T = 2a為它的一個(gè)周期.對(duì)稱性與周期的關(guān)系:(1)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a和直線x= b對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a b|是它的一個(gè)周期.(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a b|是它 的一個(gè)周期.(3)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線x= b對(duì)稱，則函數(shù) f(x)必為周期函數(shù)，4|a-b| 是它的一個(gè)周期.自測(cè)練習(xí)14.函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+ 2) = f,研考向考點(diǎn)-函數(shù)奇偶性的判斷I電養(yǎng)噩題組訓(xùn)練判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1) f(

6、x)=1-x2 +/X2i; (2)f(x) = ,32x + g3;(3)f(x)=3x 3 x；4-x2(4心上尚。3x2+ x,(5)f(x)= ；2_x,x>0, x<0.»尊肆方法函數(shù)奇偶性的判定的三種常用方法1 .定義法：mF是奇函數(shù) 他不是梅廉敏.站能一)2 .圖象法：面才關(guān)于旗點(diǎn)對(duì)酬附為奇南3.性質(zhì)法:, /附為偶函數(shù)(1) 奇十奇 是奇,(2) “偶+偶”是偶,“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇W?”是偶;“偶一偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶引禺”是偶;(3) “奇偶”是奇，“奇W禺”是奇考點(diǎn)二函數(shù)的周期性信北黑舞典殿悟法O 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

7、且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x + 2) = f(x).當(dāng)xC 0,2 時(shí)，f(x)=2x- x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)xC 2,4時(shí)，求f(x)的解析式；(3)計(jì)算 f(0) + f(1)+f(2)+- + f(2 017).判斷函數(shù)周期性的兩個(gè)方法(1)定義法.(2)圖象法.演煉沖關(guān)1已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x>0,都有f(x+2) = 且當(dāng)xC 0,2) fx時(shí)，f(x)=log2(x+ 1),則求 f( 2 015)+f(2 017)的值為.考點(diǎn)三函數(shù)奇偶性、周期性的應(yīng)用B能總先高考對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會(huì)單純地考查某一個(gè)性質(zhì)，而是對(duì)奇偶性

8、、周期性、 單調(diào)性的綜合考查.歸納起來常見的命題探究角度有：1 .已知奇偶性求參數(shù).2 .利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式.3 .周期性與奇偶性綜合.4 .單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合.探究一已知奇偶性求參數(shù)1. (2015高考全國(guó)卷I )若函數(shù)f(x) = xln(x+/a+ x2)為偶函數(shù)，則 a=.探究二利用單調(diào)性、奇偶性求解不等式2. (2015高考全國(guó)卷H )設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1 + |x|)-,則使得f(x)>f(2x1)成立的x的1 + x取值范圍是()A. 3-, 1 I!B.(-3 ju (1 , +8)C. (- 3，3)D(8, Y)ug +8)探究三周期性與奇偶性

9、相結(jié)合3. (2015石家莊一模)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若 f(1)<1, f(5) =2a32a3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()a+ 1A. (-1,4) B. (-2,0) C. (1,0)D. (-1,2)探究四單調(diào)性、奇偶性與周期性相結(jié)合4.已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4) = f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則()A. f(25)<f(11)<f(80)B. f(80)<f(11)<f(25)C. f(11)<f(80)<f(25)D. f(25)<f(80)<f(11)»現(xiàn)律方法函

10、數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的三種常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象 的對(duì)稱性.(2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換, 將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的 區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.2.構(gòu)造法在函數(shù)奇偶性中的應(yīng)用思想方法系列IIXIANG 卜ANGFA XLIi|fX+ 1 2+ sin x【典例】設(shè)函數(shù)f(x)=(的最大值為 M,最小值為m,則M + m=x十思路點(diǎn)撥直接求解函數(shù)的最大值和最小

11、值很復(fù)雜不可取，所以可考慮對(duì)函數(shù)整理化 簡(jiǎn)，構(gòu)造奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的最大值與最小值之和為零求解.方法點(diǎn)評(píng)在函數(shù)沒有指明奇偶性或所給函數(shù)根本不具備奇偶性的情況下，通過觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其局部通過變式可構(gòu)造出奇偶函數(shù)，這樣就可以根據(jù)奇偶函數(shù)特有的性質(zhì)解決問題.跟蹤練習(xí)已知 f(x) = x5+ax3+bx 8,且 f(2)=10,則 f(2)等于()A. 26B. 18 C. 10D. 10國(guó).跟蹤檢寤繇4A組考點(diǎn)能力演練1. (2015陜西一檢)若f(x)是定義在R上的函數(shù)，則“f(0) = 0”是“函數(shù)f(x)為奇函數(shù)” 的()A.必要不充分條件C.充分不必要條件B.充要條件D.既不充分也不

12、必要條件1 x2 . (2015 唐山一模)已知函數(shù) f(x) = -x+log2；-1十xA. 2B. 2C. 0D. 2log2-33 .設(shè)f(x)是定義在R上的周期為4x2- 2, - 2W xW 03 的函數(shù),當(dāng) xC 2,1)時(shí)，f(x)=；lx, 0<x<1則 fg ,=()A. 0B. 11 C.2D. - 14.在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f(x+ 3)=f(x),當(dāng) 0<xw 1 時(shí)，f(x)=2x,則 f(2 015)=()_11A. - 2B. 2C. -2D.25 .設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0, +8)上是增函數(shù)，且f(1)=0,則不等式xf(x)f

13、( x)<0的解集 為()A . x|1<x<0,或 x>1B . x|x<1,或 0Vx<1C. x|x< - 1 ,或 x>1D . x|- 1<x<0,或 0Vx<16 .已知f(x)是定義在 R上的偶函數(shù)，f(2)=1,且對(duì)任意的 xCR,都有f(x+3) = f(x), 貝U f(2 017) =.7 .函數(shù)f(x)= 0+1.+a兀奇函數(shù)，則 a=.x8 .已知函數(shù)f(x)在實(shí)數(shù)集R上具有下列性質(zhì)：直線x=1是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸；f(x+2) = f(x);當(dāng) 1 Wx1<x2W3 時(shí)，f(x2)f(xi

14、)(x2 x1)<0,則 f(2 015), f(2 016), f(2 017)從大到小的順序?yàn)?.x2+2x, x>0,9 .已知函數(shù)f(x) = 0 0, x=0,是奇函數(shù).2x + mx, x<0求實(shí)數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1, a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.10 .函數(shù)y=f(x)(xw0)是奇函數(shù)，且當(dāng)xC (0, +8)時(shí)是增函數(shù)，若f(1)=0,求不等式B組高考題型專練1. (2014高考新課標(biāo)全國(guó)卷I)設(shè)函數(shù)f(x), g(x)的定義域都為 R,且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是A. f(x)g(x)是偶函數(shù)B.

15、|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C. f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D. |f(x)g(x)|是奇函數(shù)1 A./2. (2014 高考安徽卷)設(shè)函數(shù) f(x)(xCR)滿足 f(x+ m=f(x) + sin x.當(dāng) 0Wx<Tt時(shí),f(x)=0,B.13C.3.(2015高考廣東卷)下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()C.y=寸1 + x2_. 1B . y= x+xxD . y= x+ e4.(2015高考天津卷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)= 2"m|1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log 0.53), b=f(log25),c=f(2m),則a, b, c的大小關(guān)

16、系為()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a5. (2015高考湖南卷)設(shè)函數(shù) f(x)= ln(1 +x)- ln(1 -x),則 貽)是()A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)C.偶函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)答案：x+1>01.解析：由( 知x>1,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).x1>0答案：C-12 .解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(->/2)=f(72)= 109272 =2,故選B.答

17、案：B3 .解析：. f( x) =f(x)對(duì)于x C R恒成立，.|x+ a|=|x+a|對(duì)于xC R恒成立，兩邊平方整理得ax= 0對(duì)于xC R恒成立，故 a= 0.答案：0114.解：f(x+2)=;，-f(x+ 4)= - = f(x),華)f(x+2).11.f(5) = f(1)=- 5, .-.f(f(5) = f(-5)=f(3)=-=-. f 1 51答案：15考點(diǎn)一,x2-1>0, g 1解：(1)由 2>0 得*= ±，f(x)的定義域?yàn)?1,1.又 f(1)+f( 1)=0, f(1)-f(-1)=0,即 f(x) = if( x).f(x)既是奇

18、函數(shù)又是偶函數(shù).一，31 (2)二,函數(shù)f(x)=V3-2x+ /2x3的定義域?yàn)?寸,不關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，2函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).(3) .f(x)的定義域?yàn)?R, f(-x)= 3 x- 3x= - (3x-3 x) = - f(x),所以f(x)為奇函數(shù).4-x2>0,口 _ 一 一 r 一(4) ;由 S得一2WxW2 且 xw0.卜+ 3|- 3”，f(x)的定義域?yàn)?,0)U (0,2,.f(x)=4=j4m |x+ 3|-3 (x+3 尸3x ' f(x) = f(x) ,f(x)是奇函數(shù).2 .(5)易知函數(shù)的定義域?yàn)?一8, 0)U(0, +8

19、),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又當(dāng) x>0時(shí)，f(x)=x +X,則當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,故 f( X)= X2 x= f(x);當(dāng) x<0 時(shí)，f(x)=x2x,貝U當(dāng) x>0 時(shí)，x<0 ,故f( x) = x2+x= f(x),故原函數(shù)是偶函數(shù).M 解(1) f(x+ 2)=f(x),.-.f(x+4)=- f(x+2)=f(x).，f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當(dāng) xC 2,0時(shí)，一xC 0,2,由已知得f( x) = 2( x) (x)2= 2x x2.又 f(x)是奇函數(shù)，f(-x)= - f(x)= - 2x-x2 , f(x) = x2+ 2x.又

20、當(dāng) xC 2,4時(shí)，x-4 -2,0,.f(x-4) = (x- 4)2 + 2(x- 4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(x) = f(x- 4) = (x- 4)2+ 2(x- 4) = x2- 6x+ 8.從而求得 x e 2,4時(shí)，f(x)= x2- 6x+ 8.(3)f(0) = 0, f(2)=0, f(1)=1, f(3) = 1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，f(0) +f(1) + f(2) + f(3) = f(4) + f(5) + f(6) + f(7)=f(2 008) + f(2 009) + f(2 010) + f(2011)= f(2 012) + f

21、(2 013) + f(2 014) + f(2 015) = 0,.f(0) + f(1)+f(2)+-+f(2 017) = f(0) + f(1) = 0+ 1=1.1斛析：當(dāng) x>0 時(shí)，f(x+2) = -,f x.f(x+4)=f(x),即 4 是 f(x)(x> 0)的一個(gè)周期. f(2 017)=f(1) = log22=1,一一一 1,f(-2 015) = f(2 015) = f(3) =府=1, .f(2 015) + f(2 017)=0.答案：01.解析：由題意得 f(x) = xln(x+ *Va + x2) = f( x) = xln("V

22、a+ x2 x),所以 Ma+ x2+ x =答案：12.解析:函數(shù) f(x)=ln(1 +1|xGf(-x)= f(x),故f(x)為偶函數(shù),又當(dāng)x (0, 十一18)時(shí),f(x)=ln(1 +x)-2, f(x)是單倜遞增的，故 f(x)>f(2x1)? f(|x|)>f(|2x- 1|),.|x|>|2x1十x11|,斛得"<x<1 ,故選A. 3答案：A3 .解析：f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù), .f(5) = f(5-6) = f(-1)=f(1),. f(1)<1, f(5) =2a3a+ 1 ''2a二3 &

23、lt;1，即 aT40，解得一1<a<4,故選 A. a十ia十i答案：A4 .解析:f(x)滿足 f(x- 4) = f(x),f(x8)=f(x), .函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則 f( 25)=f(1), f(80) = f(0), f(11) = f(3).由f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，且滿足 f(x4) = f(x),得f(11) = f(3) = f(1) = f(1). , f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，f(x)在區(qū)間 2,2上是增函數(shù)，.f(- 1)<f(0)<f(1),即 f(-25)<f(80)<f

24、(11).答案：D【典例】解析易知f(x)=1 +2x+ sin xx2+12x sin x設(shè) g(x) = f(x) 1 = x2+1 ,則g(x)是奇函數(shù).,f(x)的最大值為 M,最小值為 m,g(x)的最大值為 M 1,最小值為 m-1, . .M 1 + m 1=0). M + m= 2.答案2解析：由 f(x)= x5+ ax3 + bx 8 知 f(x) + 8 = x5 + ax3+ bx,令F(x)=f(x) + 8可知F(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(-x) + F(x) = 0.F(-2) + F(2)=0,故 f(-2)+8 + f(2) + 8=0.f(2) = - 26.答案：

25、A 21 .解析：f(x)在R上為奇函數(shù)？ f(0)=0; f(0)=0? /f(x)在R上為奇函數(shù)，如f(x)=x ,故選A.答案：A2 .解析：由題意知，f(x)1 = x+log212， f(-x)-1=x+ log，2 = x- log2r =-1 + x1 -x1+x(f(x) 1),所以 f(x) 1 為奇函數(shù)，則 fg ji+f 2 'r 1 = 0,所以 fgj+f1一 2 芹 2.答案：A3 .解析：因?yàn)閒(x)是周期為3的周期函數(shù)，所以fj| ;= f ；+3 ''廠(一2 ；= 4X 2)-2 =-1,故選D.答案：D4 .解析：由 f(x+ 3)

26、= f(x)得函數(shù)的周期為 3,所以 f(2 015)=f(672X 3- 1) = f(-1) = - f(1) =2,故選A.答案：A5 .解析：:奇函數(shù) f(x)在(0, 十 °°)上是增函數(shù)，f(-x)= - f(x),xf(x)-f(-x)<0 , .1.xf(x)<0, 又 f(1)=0,/ 'f(-1)=0,/ 0:從而有函數(shù)f(x)的圖象如圖所示：|則有不等式xf(x)-f(-x)<0的解集為x| 1<x<0 或 0<x<1,選 D.答案：D6 .解析：由 f(x+3) = f(x)得函數(shù) f(x)的周期 T

27、=3,則 f(2 017)=f(1) = f(-2),又 f(x)是定 義在R上的偶函數(shù),所以f(2 017) = f(2)= 1.答案：17 .解析：由題意知，g(x)= (x+ 1)(x+ a)為偶函數(shù)，a=1.答案：18 .解析：由f(x+2)= f(x)得f(x+ 4) = f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，由知f(x) 在1,3上是減函數(shù).所以 f(2 015) = f(3), f(2 016) = f(0) = f(2), f(2 017) = f(1),所以 f(1)>f(2)> f(3), 即 f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)

28、.答案：f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)9 .解：(1)設(shè) x<0,則一x>0,所以 f( x) = ( x)2+ 2( x)= x2 2x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(-x) = - f(x),于是 x<0 時(shí)，f(x) = x2+2x= x2+ mx,所以 m= 2.(2)要使f(x)在-1, a2上單調(diào)遞增，a 2> 1 1 )結(jié)合f(x)的圖象知口一2"所以1<aW3,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3.10 .解:.y=f(x)是奇函數(shù)，f(-1)=-f(1)=0.又 y=f(x)在(0, + 8)上是增函數(shù),1. y=f(x)在(一00, 0)上是增函數(shù)，口 H111+ 17.1- 17即 0<xg2尸1,解得 2<