高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第二輪---重點(diǎn)難點(diǎn)專項(xiàng)突破14--數(shù)列綜合應(yīng)用問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上難點(diǎn)14 數(shù)列綜合應(yīng)用問(wèn)題縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問(wèn)題.這就要求同學(xué)們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.難點(diǎn)磁場(chǎng)()已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值 (t0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表達(dá)式；(2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+

2、1g(x)為多項(xiàng)式，nN*),試用t表示an和bn；(3)設(shè)圓Cn的方程為(xan)2+(ybn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,);rn是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個(gè)圓的面積之和，求rn、Sn.案例探究例1從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫(xiě)出an,bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，旅游

3、業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn).錯(cuò)解分析：(1)問(wèn)an、bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆；(2)問(wèn)是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差.技巧與方法：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂，(2)問(wèn)中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧.解：(1)第1年投入為800萬(wàn)元，第2年投入

4、為800(1)萬(wàn)元，第n年投入為800(1)n1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入為an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400(1+)，第n年旅游業(yè)收入400(1+)n1萬(wàn)元.所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為bn=400+400(1+)+400(1+)k1=400()k1.=1600()n1(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此bnan0，即：1600()n140001()n0，令x=()n，代入上式得：5x27x+20.解此不等式，得x，或x1(舍去).即()n，由此得n5.至少經(jīng)過(guò)5年，旅游業(yè)的

5、總收入才能超過(guò)總投入.例2已知Sn=1+,(nN*)設(shè)f(n)=S2n+1Sn+1,試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式：f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立.命題意圖：本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問(wèn)題，需較強(qiáng)的綜合分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.屬級(jí)題目.知識(shí)依托：本題把函數(shù)、不等式恒成立等問(wèn)題組合在一起，構(gòu)思巧妙.錯(cuò)解分析：本題學(xué)生很容易求f(n)的和，但由于無(wú)法求和，故對(duì)不等式難以處理.技巧與方法：解決本題的關(guān)鍵是把f(n)(nN*)看作是n的函數(shù)，此時(shí)不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f(n)的最小值大于logm(m1)2log(m1)m2.解：

6、Sn=1+.(nN*)f(n+1)f(n)f(n)是關(guān)于n的增函數(shù)f(n) min=f(2)=要使一切大于1的自然數(shù)n，不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2此時(shí)設(shè)logm(m1)2=t 則t0于是解得0t1 由此得0logm(m1)21 解得m且m2.錦囊妙計(jì)1.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問(wèn)題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),又要有良好的思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力；解答應(yīng)用性問(wèn)題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.2.縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個(gè)應(yīng)用題

7、，重點(diǎn)過(guò)三關(guān)：(1)事理關(guān)：需要讀懂題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力.(2)文理關(guān)：需將實(shí)際問(wèn)題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.(3)事理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中；要求考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問(wèn)題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()已知二次函數(shù)y=a(a+1)x2(2a+1)x+1，當(dāng)a=1，2，n，時(shí)，其拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)依次為d1,d2，,dn,則 (d1+d2+dn)的值是( )A.1 B.2C.3D.4二、填空題

8、2.()在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個(gè)點(diǎn)，若1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，則OP1P2的面積是_.3.()從盛滿a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用水加滿；這樣倒了n次，則容器中有純酒精_升.4.()據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會(huì)議政府工作報(bào)告：“2001年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到95933億元，比上年增長(zhǎng)7.3%，”如果“十五”期間(2001年2005年)每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么到“十五”末我國(guó)國(guó)內(nèi)年生產(chǎn)總值約為_(kāi)億元.三、解答題5.()已知數(shù)列an滿足條件：a1

9、=1,a2=r(r0),且anan+1是公比為q(q0)的等比數(shù)列，設(shè)bn=a2n1+a2n(n=1,2,).(1)求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN*)成立的q的取值范圍；(2)求bn和，其中Sn=b1+b2+bn；(3)設(shè)r=219.21，q=，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.6.()某公司全年的利潤(rùn)為b元，其中一部分作為獎(jiǎng)金發(fā)給n位職工，獎(jiǎng)金分配方案如下：首先將職工按工作業(yè)績(jī)(工作業(yè)績(jī)均不相同)從大到小，由1到n排序，第1位職工得獎(jiǎng)金元，然后再將余額除以n發(fā)給第2位職工，按此方法將獎(jiǎng)金逐一發(fā)給每位職工，并將最后剩余部分作為公司發(fā)展基金.(1)設(shè)ak(1kn)為第

10、k位職工所得獎(jiǎng)金金額，試求a2,a3，并用k、n和b表示ak(不必證明)；(2)證明akak+1(k=1,2,n1),并解釋此不等式關(guān)于分配原則的實(shí)際意義；(3)發(fā)展基金與n和b有關(guān)，記為Pn(b),對(duì)常數(shù)b，當(dāng)n變化時(shí)，求Pn(b).7.()據(jù)有關(guān)資料，1995年我國(guó)工業(yè)廢棄垃圾達(dá)到7.4108噸，占地562.4平方公里，若環(huán)保部門(mén)每年回收或處理1噸舊物資，則相當(dāng)于處理和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可節(jié)約開(kāi)采各種礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門(mén)1996年回收10萬(wàn)噸廢舊物資，計(jì)劃以后每年遞增20%的回收量，試問(wèn)：(1)2001年回收廢舊物資多少噸？(2)從1996年至2001年可節(jié)約開(kāi)采礦石多少噸(精確到

11、萬(wàn)噸)？(3)從1996年至2001年可節(jié)約多少平方公里土地？8.()已知點(diǎn)的序列An(xn，0),nN,其中x1=0,x2=a(a0),A3是線段A1A2的中點(diǎn)，A4是線段A2A3的中點(diǎn)，An是線段An2An1的中點(diǎn)，.(1)寫(xiě)出xn與xn1、xn2之間關(guān)系式(n3);(2)設(shè)an=xn+1xn，計(jì)算a1,a2,a3，由此推測(cè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式，并加以證明；(3)求xn.參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：(1)設(shè)f(x)=a(x)2，由f(1)=0得a=1.f(x)=x2(t+2)x+t+1.(2)將f(x)=(x1)x(t+1)代入已知得：(x1)x(t+1)g(x)+anx+bn=xn+1，上式對(duì)任意

12、的xR都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得：且t0，解得an=(t+1)n+11，bn=1(t+1n)(3)由于圓的方程為(xan)2+(ybn)2=rn2，又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上，又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=an+1an=(t+1)n+1設(shè)rn的公比為q，則得q=t+1，代入得rn=Sn=(r12+r22+rn2)=(t+1)2n1殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：當(dāng)a=n時(shí)y=n(n+1)x2(2n+1)x+1由x1x2=，得dn=，d1+d2+dn答案：A二、2.解析：由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得：2x1=x2+1,x1+

13、x2=5解得x1=2,x2=3.又由1，y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,P1(2,2),P2(3,4).=(3,4)答案：13.解析：第一次容器中有純酒精ab即a(1)升，第二次有純酒精a(1)，即a(1)2升，故第n次有純酒精a(1)n升.答案：a(1)n4.解析：從2001年到2005年每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值構(gòu)成以95933為首項(xiàng)，以7.3%為公比的等比數(shù)列，a5=95933(1+7.3%)4(億元).答案：三、5.解：(1)由題意得rqn1+rqnrqn+1.由題設(shè)r0,q0,故從上式可得：q2q10，解得q,因q0,故0q;(2).b1=

14、1+r0，所以bn是首項(xiàng)為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而bn=(1+r)qn-1.當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n(1+r),從上式可知，當(dāng)n20.20，即n21(nN*)時(shí)，Cn隨n的增大而減小，故1CnC21=1+=2.25當(dāng)n20.20，即n20(nN*)時(shí)，Cn也隨n的增大而減小，故1CnC20=1+=4綜合兩式知，對(duì)任意的自然數(shù)n有C20CnC21,故Cn的最大項(xiàng)C21=2.25，最小項(xiàng)C20=4.6.解：(1)第1位職工的獎(jiǎng)金a1=，第2位職工的獎(jiǎng)金a2=(1)b，第3位職工的獎(jiǎng)金a3=(1)2b，第k位職工的獎(jiǎng)金ak= (1)k1b;(2)akak+1=(1)k1b0，此獎(jiǎng)金分配方案體現(xiàn)了

15、“按勞分配”或“不吃大鍋飯”的原則.(3)設(shè)fk(b)表示獎(jiǎng)金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，則f1(b)=(1)b,f2(b)=(1)2b,fk(b)=(1)kb.得Pn(b)=fn(b)=(1)nb,故.7.解：設(shè)an表示第n年的廢舊物資回收量，Sn表示前n年廢舊物資回收總量，則數(shù)列an是以10為首項(xiàng)，1+20%為公比的等比數(shù)列.(1)a6=10(1+20%)5=101.25=24.883225(萬(wàn)噸)(2)S6=99.299299.3(萬(wàn)噸)從1996年到2000年共節(jié)約開(kāi)采礦石2099.31986(萬(wàn)噸)(3）由于從1996年到2001年共減少工業(yè)廢棄垃圾499.3=397.2(萬(wàn)噸)，從1996年到2001年共節(jié)約：3 平方公里.8.解：(1)當(dāng)n3時(shí)，xn=;由此推測(cè)an=