拉丁超立方抽樣

1、拉丁超立方抽樣從蒙特卡羅誤差估計(jì)中，我們可以看到，大多數(shù) 統(tǒng)計(jì)量的估計(jì)值的斂散性都與亠有關(guān)。特別的，對(duì) y/N于均值的估計(jì)量，我們發(fā)現(xiàn)：而問(wèn)題在于厶是否能被改善。值得注意的是蒙特卡 y/N羅方法的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)就是他的斂散性依賴于獨(dú)立的 隨機(jī)參數(shù)個(gè)數(shù)，而接下來(lái)我們將要看到的是一種完全 不同的抽樣方式：拉丁超立方抽樣（LHS）。但首先， 我們要先了解一下分層抽樣的相關(guān)內(nèi)容。分層抽樣我們考慮一維的單個(gè)變量輸入問(wèn)題：y = f（x）, x 是一個(gè)隨機(jī)變量。分層抽樣通過(guò)如下的步驟來(lái)進(jìn)行：1）定義參與計(jì)算機(jī)運(yùn)行的抽樣數(shù)目M2）將x等概率地分成若干個(gè)區(qū)域 "bin”，xo<xl<x2&

2、lt;xy<x<xn+l-<xN使得 P（xn<x<xn+1） = l:3）樣本一次落入哪一個(gè)bin屮取決丁該bin的概率密度函數(shù)，樣本0使得且概率為P（兀邸 VXV£）S,1N 1此時(shí)，均值的估計(jì)量可表示為:NW-刃27?=1等等分層抽樣的謀岸估計(jì)我們只考慮均值y的標(biāo)準(zhǔn)誤差，有：這里，同等于第i個(gè)bin中y的均值。（再_）等式右邊第一項(xiàng)同蒙特卡羅方法的標(biāo)準(zhǔn)誤差一樣，第 一項(xiàng)為附加項(xiàng)，它使方差變小。所以，較之基于隨機(jī) 抽樣的蒙特卡羅方法，分層抽樣降低了誤差的方差。多維分層抽樣對(duì)于有多個(gè)隨機(jī)變量的輸入，分層抽樣需要 將輸入的樣本空間等概率地化為N個(gè)區(qū)域，而

3、這操作 起來(lái)是很困難的。（注意：僅僅在每一維上等概劃分是 不行的）考慮一個(gè)二維的情形：2 bins2 bins假設(shè)珀，勺是均勻分布的（即二向同性的），則有：N =2x2 = 4 bins對(duì)于一般N”個(gè)bins,考慮一個(gè)d維輸入問(wèn)題，我們發(fā) 現(xiàn)有：N=（Nj舉個(gè)例子，對(duì)于8維輸入且每維上有2個(gè)bins,N = 2S= 256 bins或者，每維有3個(gè)bins,TV =38 =6561 bins顯然，抽樣數(shù)目隨著每維bins的數(shù)目的增加而迅速增 加。拉丁超立方抽樣拉丁超立方抽樣是另一種多維分層抽樣方法，下 面我們介紹它的工作原理：1）定義參與計(jì)算機(jī)運(yùn)行的抽樣數(shù)目M2）把每一次輸入等概率地分成N列，

4、xiO<xil<xi2<xi3-<xin且有 P（X <x<x+1） = -3）對(duì)每一列僅抽取一個(gè)樣本，各列中樣本bin的位置 是隨機(jī)的。N = 4個(gè)樣本 的2維問(wèn)題X.k丄 *«*i.，亢U &二耳芒AJ）/相對(duì)于單純的分層抽樣，拉丁超立方抽樣的最大優(yōu)勢(shì) 就在于任何大小的抽樣數(shù)目都能容易地產(chǎn)生。至于估計(jì)均值，通常的做法是：_1 Ny和孚的一般情況下，這種估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差不能認(rèn)為是對(duì)標(biāo)準(zhǔn) 蒙特卡洛抽樣方法的改進(jìn)。但實(shí)際上，拉丁超立方抽 樣對(duì)均值和方差的估計(jì)和蒙特卡羅方法相比，在效果 上至少是一樣的，且常常會(huì)顯著改善。問(wèn)題:因?yàn)槔〕⒎匠闃訕?biāo)準(zhǔn)誤差的理論估計(jì)并不 是''貼緊”的，（例如：實(shí)際的均值遠(yuǎn)好于由誤差估計(jì) 得到的值），邊界必然是很悲觀的。盡管一般來(lái)講誤差估計(jì)對(duì)于拉丁超立方抽樣不是很理想，但有個(gè)特別的例子表明拉丁超立方抽樣較Z蒙特卡羅方法有潛在的 改進(jìn)。我們來(lái)看看這個(gè)例子：假設(shè)y是關(guān)于輸入變量的線性函數(shù)y 土小分別利/=1用蒙特卡羅抽樣和拉丁超立方抽樣方法，再對(duì)均值進(jìn) 行估計(jì)，結(jié)果都是：y=£/（*）而標(biāo)準(zhǔn)誤差分別是：MC：LHS：拉丁超立方抽樣的標(biāo)準(zhǔn)誤差 1=蒙特卡洛抽樣的標(biāo)準(zhǔn)課差N2我們