基本不等式題型總結(jié)

1、基本不等式.基本不等式(a 0,b0),常用 a b 2 JOB升級(jí)版:2,2a bab a,b R選擇順序：考試中，優(yōu)先選擇原公式，其次是升級(jí)版.考試題型【題型1】 基本不等式求最值求最值使用原則：一正 二定三相等一正： 指的是注意a,b范圍為正數(shù)。二定： 指的是ab是定值為常數(shù)三相等：指的是取到最值時(shí) a b典型例題：1-例1 .求y x（x 0）的值域2x分析：x范圍為負(fù)，提負(fù)號(hào)（或使用對(duì)鉤函數(shù)圖像處理）1、入八解：y ( x ) Q x 02xx e 2 (x) (2-2x得到y(tǒng) （,、2例2 .求y2x (x 3)的值域2在(0,1)上是單減函數(shù)，所以t 23,(注：3是將t 1代入

2、得到)x 31解：y 2x(添項(xiàng)，可通過減3再加3,利用基本不等式后可出現(xiàn)定值)x 312(x 3) 6x 3Q x 3 x 3 0 2(x 3) 2 2x 3y 2s/2 6, 即 y272 6,2例3.求y sin x (0 x )的值域sin x分析：sinx的范圍是(0,1),不能用基本不等式，當(dāng)y取到最小值時(shí)，sinx的值是J2,但J2不在范圍內(nèi)解：令 t sinx, t (0,1) y t 2是對(duì)鉤函數(shù)，利用圖像可知:y (3,)注意：使用基本不等式時(shí)，注意 y取到最值，x有沒有在范圍內(nèi),如果不在，就不能用基本不等式 ，要借助對(duì)鉤函數(shù)圖像來求 值域。例4.求yx2 2x 1X2(x

3、2）的值域分析：先換元，令t x 2,t 0,其中x t 2加 (t 2)2 2(t 2) 1 t2 6t 11八解：y t - 6ttty 8,)11Qt0 t-2 t-6 8tt總之：形如y2cxdxax b(a0,c 0）的函數(shù)，一般可通過換元法等價(jià)變形化為y t : （p為常數(shù)）型函數(shù)，要注意t的取值范圍；【失誤與防范】1 .使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對(duì)其前提“一正、二定、三相等”的忽視.要利用基本不等式求最值，這三個(gè)條件缺一不可.2 .在運(yùn)用重要不等式時(shí)，要特別注意“拆” “拼” “湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正” “定” “等”的條件.3 .連續(xù)使用公式時(shí)取 等

4、號(hào)的條件很嚴(yán)格，要求同時(shí)滿足任何一次的字母取值存在且一致.【題型2】條件是a b或ab為定值，求最值（值域）（簡(jiǎn)）例5.若x 0,y 0且x y 18,則xy的最大值是.解析：由于x 0,y 0,則x y 2向，所以2瓜 18,則xy的最大值為81例6.已知x,y為正實(shí)數(shù)，且滿足 4x 3y 12,則xy的最大值為 .解析：Q4x 3y 2,/4x 3y 473xy 12,xy 3當(dāng)且僅當(dāng)4x 3y， 即4x 3y 1232 時(shí)，xy2取得最大值3.例7,已知m 0,n 0 ,且mn 81,則m n的最小值為.解析：Q m 0,n 0, m n 2Zmn 18,當(dāng)且僅當(dāng)m n 9時(shí)，等號(hào)成立.

5、總結(jié)：此種題型：和定積最大，積定和最小11、，. 一 一 .、【題型3】 條件是a b或，為定值，求最值（范圍）（難）a b方法：將1整體代入11例8.已知x 0, y 0且x y 1,則一 一的最小值是x y解析：Q x y 11111 y xy x(x y)() 2 2 2 1一一4x yx y x y xy所以最小值是4例 9.已知 a 0,b 0, a b 2,則 y1 4一的取小值是 a ba b解析：Qa b 2 1214,14-a b則()()a b a b 2口擔(dān)在2。衛(wèi)在52b 2a2 2ab 2 2a b 2 2ab所以最小值是921例10.已知x 0,y 0 ,且一 x2

6、 Ac一1,求x 2y的最小值是 y1則x 2y (x22y 2x , 2y 2x-)(x 2y) 1 4 5 219yx y x y從而最小值為9【題型4】 已知a b與ab關(guān)系式，求取值范圍例11.若正數(shù)a,b滿足ab a b 3,求ab及a b的取值范圍.解析：把a(bǔ)b與a b看成兩個(gè)未知數(shù)，先要用基本不等式消元解：求ab的范圍（需要消去a b ：孤立條件的a ba b 2J0B將a b替換） Qab a b 3 a b ab 3, a b 2 . ab ab 3 2Vab （消a b結(jié)束，下面把a(bǔ)b看成整體，換元，求 ab范圍）令 t JOb （t 0）,則 ab 3 2 JOE 變成 t2 3 2t解得t 3或t1 （舍去），從而ab 9a b o求a b的范圍（需要消去ab ：孤立條件的ab ab （）2 將ab替換）22Q ab a b 3 abab ,'22 a