高等數(shù)學(xué)D2_1導(dǎo)數(shù)的概念

1、第二章微積分學(xué)的創(chuàng)始人微積分學(xué)的創(chuàng)始人: : 德國數(shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具 ( (從微觀上研究函數(shù)從微觀上研究函數(shù)) )導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)思想最早由法國導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家Ferma在研究在研究極值問題中提出極值問題中提出. .英國數(shù)學(xué)家英國數(shù)學(xué)家 Newton一、引例一、引例二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)第一節(jié)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念

2、導(dǎo)數(shù)的概念 第二章第二章 一、引例一、引例1. 1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)位置的函數(shù)為)(tfs 0t則則 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt 221tgs so)(0tf)(tft自由落體運(yùn)動(dòng)自由落體運(yùn)動(dòng) xyo)(xfy C曲線曲線)(:xfyCNT0 xM在在M點(diǎn)處的切線點(diǎn)處的切線x割線割線MN的極限位置的極限位置MT( (當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)) )割線割線MN的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx切線切線MT 的斜率

3、的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 兩個(gè)問題的兩個(gè)問題的共性共性: :so0t)(0tf)(tft瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限. .類似問題還有類似問題還有: :加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強(qiáng)度電流強(qiáng)度是是速度增量與時(shí)間增量速度增量與時(shí)間增量之比的極限之比的極限是是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限之比的極限是是質(zhì)量增量與長度增量質(zhì)量

4、增量與長度增量之比的極限之比的極限是是電量增量與時(shí)間增量電量增量與時(shí)間增量之比的極限之比的極限變化率問題變化率問題二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義)(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在, ,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy記作記作: :;0 xxy; )(0 xf;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xfxyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)則稱函數(shù)若若的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo), , 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x

5、的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù))(tfsso0t)(0tf)(tft在在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度時(shí)刻的瞬時(shí)速度0t lim0ttv)()(0tftf0tt曲線曲線)(:xfyC在在 M 點(diǎn)處的切線斜率點(diǎn)處的切線斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx)(0tf)(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在若上述極限不存在, ,在點(diǎn)在點(diǎn) 不可導(dǎo)不可導(dǎo). . 0 x若若,lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間I內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo)內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo), ,

6、此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù)此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導(dǎo)函數(shù). .記作記作: :;y; )(xf;ddxy.d)(dxxf注意注意: :)(0 xf0)(xxxfxxfd)(d0就說函數(shù)就說函數(shù)就稱函數(shù)在就稱函數(shù)在I內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). . 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為無窮大無窮大. .Cxf)( (C 為常數(shù)為常數(shù)) )的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 解解: :yxCCx0lim0即即0)(C)N()(nxxfn.處的導(dǎo)數(shù)在ax 解:axafxf)()(axlim)(afaxaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx說明：說明：對(duì)一般冪函數(shù)xy( 為常數(shù)為常數(shù)

7、) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11 x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）（以后將證明）hxhxhsin)sin(lim0 xxfsin)( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 解解: :, xh 令則則)(xfhxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxcos)(sin類似可證得類似可證得xxsin)(cosh)1(lnxhxxfln)( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). . 解解: : )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即即x

8、x1)(ln0limhh1x1xx10limh)1(lnxhhxelnx1x1xhhh 1lim0或或則令,0hxt原式htfhtfh2)()2(lim0)(lim0tfh)(0 xf 是否可按下述方法作:xxf)(在在x = 0不可導(dǎo)不可導(dǎo). . 證證: :hfhf) 0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在不存在, , .0不可導(dǎo)在即xx)(0 xf存在存在, ,求極限求極限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: :原式原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf)(210 xf)(0 xf)( 2 )(0hhx

9、f)(0 xf三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線曲線)(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為的切線斜率為)(tan0 xf 若若, 0)(0 xf曲線過曲線過上升上升; ;若若, 0)(0 xf曲線過曲線過下降下降; ;xyo0 x),(00yx若若, 0)(0 xf切線與x軸平行,稱為稱為駐點(diǎn)駐點(diǎn); ;),(00yx),(00yx0 x若若,)(0 xf切線與切線與x x軸垂直軸垂直. .曲線在點(diǎn)曲線在點(diǎn)處的處的),(00yx切線方程切線方程: :)(000 xxxfyy法線方程法線方程: :)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,

10、)(0時(shí) xf整理課件1111例例7.7.問曲線問曲線3xy 哪一點(diǎn)有垂直切線哪一點(diǎn)有垂直切線? ? 哪一點(diǎn)處哪一點(diǎn)處的切線與直線的切線與直線131 xy平行平行? ? 寫出其切線方程寫出其切線方程解解: :)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得, 1x對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng), 1y則在點(diǎn)則在點(diǎn)(1,1),(1,1)處與直線處與直線131 xy平行的切線方程分別為平行的切線方程分別為),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原點(diǎn)故在原點(diǎn)(0,0)(0,0)有垂直切線有垂直切線處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定

11、理定理1.1.處連續(xù)在點(diǎn)xxf)(證證: : 設(shè))(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)x處可導(dǎo)處可導(dǎo), ,)(lim0 xfxyx存在存在, ,因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函數(shù)所以函數(shù))(xfy在點(diǎn)在點(diǎn)x連續(xù)連續(xù). .注意注意: : 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo). .反例反例: :xyxyoxy在在x = 0處連續(xù)處連續(xù), ,但不可導(dǎo)但不可導(dǎo). .即在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某個(gè)右的某個(gè)右 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù)五、單側(cè)導(dǎo)數(shù))(xfy若極限若極限xxfxxfxyxx)()(limlim0000則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在 處的右處的右 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)

12、數(shù), ,0 x記作記作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左)(左左)0(x)0( x)(0 xf 0 x例如例如, ,xxf)(在在x = 0處有處有, 1) 0 (f1) 0 (fxyoxy 有定義有定義, ,存在存在, ,定理定理2.2.函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)0 x)(xfy,)()(00存在與xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為在點(diǎn)在點(diǎn)處處右右 導(dǎo)數(shù)存在導(dǎo)數(shù)存在0 x定理定理3.3.函數(shù)函數(shù))(xf)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x必必右右 連續(xù)連續(xù). .(左左) ( (左左) )若函數(shù)若函數(shù))(xf)(af)(

13、bf與都存在都存在, ,則稱則稱)(xf顯然顯然: :)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上可導(dǎo)上可導(dǎo),)(baCxf在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,),(ba在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上可導(dǎo)上可導(dǎo). .,ba可導(dǎo)的可導(dǎo)的充分必要條件充分必要條件是是且內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.1.導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): :3.3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: :4.4.可導(dǎo)必連續(xù)可導(dǎo)必連續(xù), ,但連續(xù)不一定可導(dǎo)但連續(xù)不一定可導(dǎo); ;5.5.已學(xué)求導(dǎo)公式已學(xué)求導(dǎo)公式: :不連續(xù)不連續(xù), ,一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo). .直接用導(dǎo)數(shù)定義直接用導(dǎo)數(shù)定義; ;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. . )(C )(x )

14、(sinx )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(lnx;0;1x;cosx;sinxx1增量比的極限增量比的極限; ;切線的斜率切線的斜率; ;思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.1.函數(shù)函數(shù) 在某點(diǎn)在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf)(xf區(qū)別區(qū)別: :)(xf是函數(shù)是函數(shù), ,)(0 xf是數(shù)值是數(shù)值; ;聯(lián)系聯(lián)系: :0)(xxxf)(0 xf注意注意: :有什么區(qū)別與聯(lián)系有什么區(qū)別與聯(lián)系? ? )()(00 xfxf？與導(dǎo)函數(shù)與導(dǎo)函數(shù))(0 xf 存在存在, , 則則._)()(lim000hxfhxfh,) 0 (, 0) 0 (0kff則則._)(lim0

15、 xxfx)(0 xf0k),(x時(shí)時(shí), ,恒有恒有,)(2xxf問問)(xf是否在是否在0 x可導(dǎo)可導(dǎo)? ?解解: : 由題設(shè)由題設(shè))0(f00)0()(xfxfx0由夾逼準(zhǔn)則由夾逼準(zhǔn)則0)0()(lim0 xfxfx0故故)(xf在在0 x可導(dǎo)可導(dǎo), ,且且0)0( f0,0,sin)(xxaxxxf, ,問問a取何值時(shí)取何值時(shí), ,)(xf在在),(都存在都存在, ,并求出并求出. )(xf 解解: :) 0 (f00sinlim0 xxx1) 0 (f00lim0 xxaxa故故1a時(shí), 1) 0 ( f此時(shí)此時(shí))(xf在在),(都存在都存在, , )(xf0,cosxx0,1x顯然該

16、函數(shù)在顯然該函數(shù)在x = 0連續(xù)連續(xù). .解解: : 因?yàn)橐驗(yàn)?(xf 存在存在, ,且且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f)(xf在在 0 x處連續(xù)處連續(xù), ,且且xxfx)(lim0存在，存在，證明證明: :)(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo). .證：因?yàn)樽C：因?yàn)閤xfx)(lim0存在，存在， 則有則有0)(lim0 xfx又又)(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,0) 0 (f所以所以xxfx)(

17、lim0即即)(xf在在0 x處可導(dǎo)處可導(dǎo). .xfxfx) 0 ()(lim0) 0 (f故故整理課件牛頓牛頓(1642 1727)(1642 1727)偉大的英國數(shù)學(xué)家偉大的英國數(shù)學(xué)家, , 物理學(xué)家物理學(xué)家, , 天文天文學(xué)家和自然科學(xué)家學(xué)家和自然科學(xué)家. .他在數(shù)學(xué)上的卓越他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分. .16651665年他提出正年他提出正流數(shù)流數(shù)( (微分微分) )術(shù)術(shù), , 次年又提出反流數(shù)次年又提出反流數(shù)( (積分積分) )術(shù)術(shù), , 并于1671年完成年完成流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)一書一書 (1736(1736年出版年出版).). 他還著有還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和和廣義算術(shù)廣義算術(shù)等