知識講解-單調(diào)性與最大（?。┲?基礎

1、.單調(diào)性與最大小值 編稿：丁會敏審稿：王靜偉 【學習目的】1.理解函數(shù)的單調(diào)性定義；2.會判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性【要點梳理】要點一、函數(shù)的單調(diào)性 1增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設函數(shù)fx的定義域為A，區(qū)間假如對于內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有fx1<fx2，那么就說fx在區(qū)間上是增函數(shù)；假如對于內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1<x2時，都有fx1>fx2，那么就說fx在區(qū)間上是減函數(shù).要點詮釋：1屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上；2任意兩個自變量且；3都有；4圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖

2、象從左向右是下降的.2單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間1單調(diào)區(qū)間的定義假如函數(shù)fx在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)fx在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì).要點詮釋：單調(diào)區(qū)間與定義域的關系-單調(diào)區(qū)間可以是整個定義域，也可以是定義域的真子集；單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描繪函數(shù)性質(zhì)的；不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間；有的函數(shù)不具有單調(diào)性.2解析式，如何判斷一個函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？根本方法：觀察圖形或根據(jù)定義.3函數(shù)的最大小值一般地，設函數(shù)的定義域為，假如存在實數(shù)滿足：1對于任意的，都有或；2 存在，使得，那么，我們稱是函數(shù)的最大值或最小值.

3、要點詮釋：最值首先是一個函數(shù)值，即存在一個自變量，使等于最值；對于定義域內(nèi)的任意元素，都有或，“任意兩字不可?。皇购瘮?shù)獲得最值的自變量的值有時可能不止一個；函數(shù)在其定義域某個區(qū)間內(nèi)的最大值的幾何意義是圖象上最高點的縱坐標；最小值的幾何意義是圖象上最低點的縱坐標.4.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟1取值.設是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；2變形.作差變形變形方法：因式分解、配方、有理化等或作商變形；3定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；4得出結(jié)論.5.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法1定義法；2圖象法；3對于復合函數(shù)，假設在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么在區(qū)間或者上是單調(diào)函數(shù)；假設與單調(diào)性一樣同時為增或同時為減，那么

4、為增函數(shù)；假設與單調(diào)性相反，那么為減函數(shù)要點二、根本初等函數(shù)的單調(diào)性 1正比例函數(shù)當k>0時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).2一次函數(shù)當k>0時，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當k<0時，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).3反比例函數(shù)當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間.4二次函數(shù)假設a>0，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；假設a<0，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)要點三、一些常見結(jié)論1假設是增函數(shù)，那么為減函數(shù)；假設是減函數(shù)，那么為增函數(shù)；2假設和均為增或減函數(shù)，那

5、么在和的公共定義域上為增或減函數(shù)；3假設且為增函數(shù)，那么函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)； 假設且為減函數(shù)，那么函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).【典型例題】類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明【高清課堂：函數(shù)的單調(diào)性 356705 例1】例1.：函數(shù)1討論的單調(diào)性.2試作出的圖象.【思路點撥】此題考察對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.【解析】1設x1，x2是實數(shù)集上的任意實數(shù)，且x1<x2，那么當時，x1-x2<0，1<x1x2，故，即fx1-fx2<0x1<x2時有fx1<fx2上是增函數(shù).當-1<x1<x2<0 x1-x2<0，0&l

6、t;x1x2<10<x1x2<1 故，即fx1-fx2>0x1<x2時有fx1>fx2上是減函數(shù).同理：函數(shù)是減函數(shù), 函數(shù)是增函數(shù).2函數(shù)的圖象如下【總結(jié)升華】1證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；2如何比較兩個量的大小？作差3如何判斷一個式子的符號？對差適當變形舉一反三：【變式1】 證明函數(shù)在上是增函數(shù).【解析】此題考察對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.證明：設x1，x2是區(qū)間上的任意實數(shù)，且x1<x2，那么，即在上是增函數(shù)類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2. 判斷以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；1y=x2-3|x|+2； 2【思路點撥】 對進展討論

7、，把絕對值和根號去掉，畫出函數(shù)圖象?！敬鸢浮?fx在上遞減，在上遞減，在上遞增.2fx在上遞增.【解析】1由圖象對稱性，畫出草圖fx在上遞減，在上遞減，在上遞增.2圖象為fx在上遞增.舉一反三：【變式1】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1y=|x+1|； 23 ；4y=|x2-2x-3|.【答案】1函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為-1，+；2上為減函數(shù)；3單調(diào)增區(qū)間為：-，0，單調(diào)減區(qū)間為0，+【解析】1畫出函數(shù)圖象，函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為-1，+；2定義域為，其中u=2x-1為增函數(shù)，在-，0與0，+為減函數(shù)，那么上為減函數(shù)；3定義域為-，00，+，單調(diào)增區(qū)間為：-，0，單調(diào)減區(qū)間為0，+；【高

8、清課堂：函數(shù)的單調(diào)性 356705 例3】4先畫出y=x2-2x-3，然后把軸下方的部分關于軸對稱上去，就得到了所求函數(shù)的圖象，如以下圖所以y=|x2-2x-3|的單調(diào)減區(qū)間是-，-1，1，3；單調(diào)增區(qū)間是-1，1，3，+.【總結(jié)升華】1數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2關于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關.3復合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性解決.關注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化Þ復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化Þ復合函數(shù)為減函數(shù).類型三、單調(diào)性的應用比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值例

9、3. 函數(shù)是定義域為的單調(diào)增函數(shù)1比較與的大??；2假設，務實數(shù)的取值范圍【思路點撥】抽象函數(shù)求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號脫掉得到關于字母的不等式再求解?！敬鸢浮?；2或【解析】1因為，所以，由，是單調(diào)增函數(shù)，所以2因為是單調(diào)增函數(shù)，且，所以，解得或例4. 求以下函數(shù)的值域：1； 1x5，10； 2x-3，-2-2，1；2 ； 3 ； 4.【思路點撥】1可應用函數(shù)的單調(diào)性；2中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；3由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；4單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問題得到解決，需注意此時t的范圍.【答案】11，2；2；3；4【解析】12個單位，再上移2個單位得到，如圖1fx在5，10上單增，；2；2 ；3經(jīng)觀察知，；4令.舉一反三：【變式1】當?shù)亩x域為以下區(qū)間時，求函數(shù)的最大值和最小值.10，3；2-1，1；33，+.【答案】1在區(qū)間0，3上，當時，；當時，.2在區(qū)間-1，1上，當時，；當時，.3在區(qū)間3，+上，當時，；在這個區(qū)間上無最大值.【總結(jié)升華】由本例可知，作出二次函數(shù)的圖象后，利用圖象的形象直觀很容易確定二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，由單調(diào)性不難求出二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.因此，確定二次函數(shù)在所給的閉區(qū)間上的單調(diào)性是求二次函數(shù)