知識(shí)講解-單調(diào)性與最大（?。┲?基礎(chǔ)

1、.單調(diào)性與最大小值 編稿：丁會(huì)敏審稿：王靜偉 【學(xué)習(xí)目的】1.理解函數(shù)的單調(diào)性定義；2.會(huì)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的單調(diào)性 1增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)锳，區(qū)間假如對于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1<fx2，那么就說fx在區(qū)間上是增函數(shù)；假如對于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有fx1>fx2，那么就說fx在區(qū)間上是減函數(shù).要點(diǎn)詮釋：1屬于定義域A內(nèi)某個(gè)區(qū)間上；2任意兩個(gè)自變量且；3都有；4圖象特征：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左向右是上升的，減函數(shù)的圖

2、象從左向右是下降的.2單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間1單調(diào)區(qū)間的定義假如函數(shù)fx在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)fx在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱為函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì).要點(diǎn)詮釋：單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系-單調(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的真子集；單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描繪函數(shù)性質(zhì)的；不能隨意合并兩個(gè)單調(diào)區(qū)間；有的函數(shù)不具有單調(diào)性.2解析式，如何判斷一個(gè)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？根本方法：觀察圖形或根據(jù)定義.3函數(shù)的最大小值一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，假如存在?shí)數(shù)滿足：1對于任意的，都有或；2 存在，使得，那么，我們稱是函數(shù)的最大值或最小值.

3、要點(diǎn)詮釋：最值首先是一個(gè)函數(shù)值，即存在一個(gè)自變量，使等于最值；對于定義域內(nèi)的任意元素，都有或，“任意兩字不可??；使函數(shù)獲得最值的自變量的值有時(shí)可能不止一個(gè)；函數(shù)在其定義域某個(gè)區(qū)間內(nèi)的最大值的幾何意義是圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).4.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟1取值.設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；2變形.作差變形變形方法：因式分解、配方、有理化等或作商變形；3定號(hào).判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；4得出結(jié)論.5.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法1定義法；2圖象法；3對于復(fù)合函數(shù)，假設(shè)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么在區(qū)間或者上是單調(diào)函數(shù)；假設(shè)與單調(diào)性一樣同時(shí)為增或同時(shí)為減，那么

4、為增函數(shù)；假設(shè)與單調(diào)性相反，那么為減函數(shù)要點(diǎn)二、根本初等函數(shù)的單調(diào)性 1正比例函數(shù)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).2一次函數(shù)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).3反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間.4二次函數(shù)假設(shè)a>0，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；假設(shè)a<0，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)要點(diǎn)三、一些常見結(jié)論1假設(shè)是增函數(shù)，那么為減函數(shù)；假設(shè)是減函數(shù)，那么為增函數(shù)；2假設(shè)和均為增或減函數(shù)，那

5、么在和的公共定義域上為增或減函數(shù)；3假設(shè)且為增函數(shù)，那么函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)； 假設(shè)且為減函數(shù)，那么函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).【典型例題】類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明【高清課堂：函數(shù)的單調(diào)性 356705 例1】例1.：函數(shù)1討論的單調(diào)性.2試作出的圖象.【思路點(diǎn)撥】此題考察對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.【解析】1設(shè)x1，x2是實(shí)數(shù)集上的任意實(shí)數(shù)，且x1<x2，那么當(dāng)時(shí)，x1-x2<0，1<x1x2，故，即fx1-fx2<0x1<x2時(shí)有fx1<fx2上是增函數(shù).當(dāng)-1<x1<x2<0 x1-x2<0，0&l

6、t;x1x2<10<x1x2<1 故，即fx1-fx2>0x1<x2時(shí)有fx1>fx2上是減函數(shù).同理：函數(shù)是減函數(shù), 函數(shù)是增函數(shù).2函數(shù)的圖象如下【總結(jié)升華】1證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；2如何比較兩個(gè)量的大??？作差3如何判斷一個(gè)式子的符號(hào)？對差適當(dāng)變形舉一反三：【變式1】 證明函數(shù)在上是增函數(shù).【解析】此題考察對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間上的任意實(shí)數(shù)，且x1<x2，那么，即在上是增函數(shù)類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2. 判斷以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；1y=x2-3|x|+2； 2【思路點(diǎn)撥】 對進(jìn)展討論

7、，把絕對值和根號(hào)去掉，畫出函數(shù)圖象?！敬鸢浮?fx在上遞減，在上遞減，在上遞增.2fx在上遞增.【解析】1由圖象對稱性，畫出草圖fx在上遞減，在上遞減，在上遞增.2圖象為fx在上遞增.舉一反三：【變式1】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1y=|x+1|； 23 ；4y=|x2-2x-3|.【答案】1函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為-1，+；2上為減函數(shù)；3單調(diào)增區(qū)間為：-，0，單調(diào)減區(qū)間為0，+【解析】1畫出函數(shù)圖象，函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為-1，+；2定義域?yàn)?，其中u=2x-1為增函數(shù)，在-，0與0，+為減函數(shù)，那么上為減函數(shù)；3定義域?yàn)?，00，+，單調(diào)增區(qū)間為：-，0，單調(diào)減區(qū)間為0，+；【高

8、清課堂：函數(shù)的單調(diào)性 356705 例3】4先畫出y=x2-2x-3，然后把軸下方的部分關(guān)于軸對稱上去，就得到了所求函數(shù)的圖象，如以下圖所以y=|x2-2x-3|的單調(diào)減區(qū)間是-，-1，1，3；單調(diào)增區(qū)間是-1，1，3，+.【總結(jié)升華】1數(shù)形結(jié)合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2關(guān)于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點(diǎn)與對稱軸相關(guān).3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性解決.關(guān)注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化Þ復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化Þ復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).類型三、單調(diào)性的應(yīng)用比較函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值例

9、3. 函數(shù)是定義域?yàn)榈膯握{(diào)增函數(shù)1比較與的大??；2假設(shè)，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍【思路點(diǎn)撥】抽象函數(shù)求字母取值范圍的題目，最終一定要變形成的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把符號(hào)脫掉得到關(guān)于字母的不等式再求解。【答案】1；2或【解析】1因?yàn)椋?，由，是單調(diào)增函數(shù)，所以2因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，且，所以，解得或例4. 求以下函數(shù)的值域：1； 1x5，10； 2x-3，-2-2，1；2 ； 3 ； 4.【思路點(diǎn)撥】1可應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性；2中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；3由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；4單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉(zhuǎn)化為熟悉二次函數(shù)情形，問題得到解決，需注意此時(shí)t的范圍.【答案】11，2；2；3；4【解析】12個(gè)單位，再上移2個(gè)單位得到，如圖1fx在5，10上單增，；2；2 ；3經(jīng)觀察知，；4令.舉一反三：【變式1】當(dāng)?shù)亩x域?yàn)橐韵聟^(qū)間時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.10，3；2-1，1；33，+.【答案】1在區(qū)間0，3上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.2在區(qū)間-1，1上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.3在區(qū)間3，+上，當(dāng)時(shí)，；在這個(gè)區(qū)間上無最大值.【總結(jié)升華】由本例可知，作出二次函數(shù)的圖象后，利用圖象的形象直觀很容易確定二次函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，由單調(diào)性不難求出二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.因此，確定二次函數(shù)在所給的閉區(qū)間上的單調(diào)性是求二次函數(shù)