方波分解為多次正弦波之和

1、武漢理工大學(xué)專業(yè)課程設(shè)計3（信號與線性系統(tǒng)）課程設(shè)計說明書目錄1 技術(shù)要求12 基本原理13 建立模型描述24 模塊功能分析或源程序代碼25 調(diào)試過程及結(jié)論45.1調(diào)試過程45.2 結(jié)論56 心得體會77參考文獻(xiàn)8方波分解為多次正弦波之和的設(shè)計1 技術(shù)要求已知某一周期性方波，用matlab仿真軟件演示諧波合成情況，討論參數(shù)對分解和合成波形的影響。2 基本原理根據(jù)三角傅里葉級數(shù)： t1t1+Tcos2ntdt=t1t1+Tsin2ntdt=T2 （1） t1t1+Tcosmtcosntdt=t1t1+Tsinmtsinntdt=0,mn （2） t1t1+Tsinmtcosntdt=0 m、n為

2、任何整數(shù) （3）對于任何一個周期為T的周期信號f（t），都可以求出它在上述各函數(shù)中的分量，從而將此函數(shù)在區(qū)間（t1，t1+T）內(nèi)表示為ft=a02+a1cost+a1cos2t+ancosnt+b1sint+b2sin2t+ +bnsinn+=a02+n=1ancosnt+bnsin(nt) （4）這就是函數(shù)f(t)在上述區(qū)間內(nèi)的三角傅里葉級數(shù)表達(dá)式。方波函數(shù)表達(dá)式：ft=1 0<t<T/2 ft T/2<t<T （5）先把這個函數(shù)展開為三角級數(shù)，為此就要求出分量系數(shù)a和b。 a0=2T0Tf(t)dt=2T0T2dt-T2Tdt=0 （6） an=2T0Tf(t)co

3、s(nt)dt=2T0T2cosntdt-T2Tcosnt=0 （7） bn=2T0Tf(t)sin(nt)dt=2T0T2sinntdt-T2Tsinntdt=4n 當(dāng)n為奇數(shù)0 當(dāng)n為偶數(shù) （8）因此，該非周期性方波在區(qū)間（0，T）內(nèi)可以表示為 ft=4sint+13sin3t+15sin5t+ （9）3 建立模型描述分別作出各次諧波的波形根據(jù)公式（9）令=1利用Matlab畫出方波波形與方波比較將各波形圖疊加作圖分別作出不同次諧波疊加后的波形得出結(jié)論：方波可以分解為多次正弦波之和4 模塊功能分析或源程序代碼figure(1)ts=0.0001;t=0:ts:4*pi;%t的取值范圍為0到

4、4*pi，間隔0.0001取一個點f=1/ts;N=length(t);y1=square(0.32*pi*t);%產(chǎn)生一個方波plot(t,y1);title('產(chǎn)生一個方波');pausehold onfigure(2)subplot 321y2=4/pi*sin(t);%頻率為1（f=1/2*pi）的正弦基波%plot(t,y2);title('正弦基波')subplot 322y3=4/pi*(sin(3*t)/3);%三次諧波plot(t,y3);title('三次諧波')subplot 323y4=4/pi*(sin(5*t)/5);

5、%五次諧波plot(t,y4);title('五次諧波')subplot 324y5=4/pi*(sin(7*t)/7);%七次諧波plot(t,y5);title('七次諧波')subplot 325y6=4/pi*(sin(9*t)/9);%九次諧波plot(t,y6);title('九次諧波');pausefigure(3)subplot 221y7=4/pi*(sin(t)+sin(3*t)/3);%將前兩次諧波疊加plot(t,y7);title('前兩次諧波疊加')subplot 222y8=4/pi*(sin(t)+

6、sin(3*t)/3+sin(5*t)/5);%將前三次諧波疊加plot(t,y8);title('前三次諧波疊加')subplot 223y9=4/pi*(sin(t)+sin(3*t)/3+sin(5*t)/5+sin(7*t)/7+sin(9*t)/t);%將前五次諧波疊加plot(t,y9);title('前五次諧波疊加')%重新定義y，把各次波形數(shù)據(jù)存為一個三維數(shù)組y=zeros(10,max(size(t);x=zeros(size(t);for k=1:2:15 x=x+4/pi*(sin(k*t)/k);y(k+1)/2,:)=x;end%將各波

7、形疊合繪出pause,figure(4),plot(t,y(1:9,:),title('各波形疊合')5 調(diào)試過程及結(jié)論5.1調(diào)試過程在調(diào)試過程中，編寫方波時由于當(dāng)時沒有注意方波掃描的精確度，將ts的數(shù)值選取的過于大了而導(dǎo)致方波的波形出現(xiàn)了大的失真，經(jīng)過反復(fù)幾次的調(diào)試后終于得出了一個比較理想的方波圖形。由于在設(shè)計之初是要將方波與后來要形成的多次正弦波疊加后的波形放到一起，所以對于方波周期的選取以及方波振幅的確定也嘗試了好多次。最終才將這兩個數(shù)值確定下來。本事課程設(shè)計的目的是要證明方波能夠分解為多次正弦波之和，所以程序的設(shè)計目的在于體現(xiàn)分解的過程以及最后n次諧波疊加后所形成的波形

8、是否為方波。根據(jù)上述公式9得出的方波表達(dá)式，令=1后分別畫出y=4/pi*sin(t)的正弦基波、y=4/pi*(sin(3*t)/3)的三次諧波、y=4/pi*(sin(5*t)/5)的五次諧波、y=4/pi*(sin(7*t)/7)的七次諧波以及y=4/pi*(sin(9*t)/9)的九次諧波，為了能夠充分的顯示風(fēng)波分解為多次正弦波之和的過程，又分別作出了前兩、三、五次諧波疊加的波形。最后為了能夠完美的證明方波分解為多次正弦波之和，利用了一個for循環(huán)語句畫出了經(jīng)過前n次諧波疊加后的波形（其中令n=15），并且與之前程序最開始畫出的方波波形相互疊加。由于經(jīng)過三角級數(shù)傅里葉分解得到的方波表達(dá)

9、式是一個非周期性函數(shù)，故只有當(dāng)無限次諧波疊加后才能形成正真的方波，所以本次的實驗是存在一定的誤差的，本想在程序中作出其誤差的圖形表示以及計算出不同次數(shù)的方波疊加形成的方波所造成的誤差，但由于知識以及能力有限，經(jīng)過多次嘗試無果后放棄了計算誤差這部分項目。造成了一定的遺憾。5.2 結(jié)論經(jīng)過此次的實驗，充分的證明了方波能夠分解為多次正弦波之和，疊加次數(shù)越多誤差越小越接近方波真實的波形。所得波形如下所示：圖5-1 方波波形圖5-2 各次諧波波形圖5-3 疊加后的波形圖5-4 前n次疊加后的波形6 心得體會通過此次的課程設(shè)計可以知道利用Matlab所得出的結(jié)果與利用理論知識通過計算得出的結(jié)果是一樣的，方

10、波，正弦波，以及正弦波疊加后的波形都能夠利用程序編寫出來的，并且通過利用Matlab所得出的波形能夠很清晰的表達(dá)出各個波形的物理意義。Matlab是一款非常強大非常實用的軟件，利用Matlab我們不僅能夠證明許多數(shù)學(xué)上的問題，而且許多我們通過理論知識所無法計算的問題都能夠解決，比如說我們這次的課程設(shè)計，通過人工計算我們能夠得出方波的公式，但是這個公式卻是一個非周期性的，我們無法準(zhǔn)確的算出方波的波形。但是利用Matlab卻是能夠做到。通過利用Matlab進行仿真，僅僅用一個循環(huán)語句就能夠讓我們的波形無限的接近方波的真實波形，而且我們還能利用Matlab計算出不同次正弦波疊加后所產(chǎn)生的誤差并且通過

11、圖形模式表示出來以及我們還可以通過建立一個三維坐標(biāo)模型將方波分解為多次正弦波之和的趨勢表示出來，使我們更加直觀的了解方波是如何分解為多次正弦波之和的。這次的課程設(shè)計讓我真的很難忘，經(jīng)過兩個多星期的努力，終于順利完成了課程設(shè)計。開始做課程設(shè)計不知道從何入手，困難很多，經(jīng)過查閱資料，和同學(xué)討論，終于了解了許多。在做課程設(shè)計的過程中，我學(xué)會了很多，最主要的是我對Matlab的運用更加熟練了，同時對信號這門課的知識又弄懂了不少，增加了對信號課程的學(xué)習(xí)興趣。課程設(shè)計是每個大學(xué)生必須面臨的一項綜合素質(zhì)的考驗，如果說在我們的學(xué)習(xí)階段是一個知識的積累過程，那么現(xiàn)在的課程設(shè)計就是對過去所學(xué)的知識的綜合應(yīng)用，是對理論進行深化和重新認(rèn)識的實踐活動。在這期間，我們有艱辛的付出，當(dāng)然也有豐收的喜悅。首先，學(xué)習(xí)能力和解決問題的信心都得到了提高。通過這次課程設(shè)計，我不僅對理論有了更深一步的認(rèn)識，還培養(yǎng)了自學(xué)能力和解決問題的能力，更重要的是，培養(yǎng)了克服困難的勇氣和信心。7參考文獻(xiàn)1吳大正.信號與線性系統(tǒng)分析（第四版）.北京:高等教育