第1章§3 第2課時　運用平均值不等式求最大(小)值

1、.第2課時運用平均值不等式求最大小值1能利用平均值不等式求簡單的最大小值重點2掌握建立不等式模型，解決實際問題中的最值難點根底·初探教材整理兩個重要結(jié)論閱讀教材P10P14，完成以下問題1x，y為正數(shù)，xyS，xyP，那么1假如P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，S獲得最小值2；2假如S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時，P獲得最大值.2假設(shè)a，b，c均為正數(shù)，1假如abc是定值S，那么abc時，積abc有最大值；2假如積abc是定值P，那么當(dāng)abc時， 和abc有最小值填空：1假設(shè)x>0時，x的最小值是_2當(dāng)獲得最小值時，x取_【解析】1x>0時，x2，故最小值為2.22，這時x0.

2、【答案】1220質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型利用平均值不等式求最大小值設(shè)x，y，z均是正數(shù)，x2y3z0，那么的最小值為_【精彩點撥】由條件消去y，然后利用平均值不等式求最小值【自主解答】由x2y3z0，得y，3.當(dāng)且僅當(dāng)xy3z時，獲得最小值3.【答案】3此題解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件消掉目的函數(shù)中的y，通過對目的函數(shù)的變形，轉(zhuǎn)化為考生所熟悉的能使用根本不等式求最值的問題.再練一題1函數(shù)yx>1的最大值是_【解析】y.x>1，x1>0.因此x12，x1332.當(dāng)且僅當(dāng)x1

3、，x1時等號成立0<y32x1時取等號故ymax32.【答案】32靈敏運用條件求最值x>0，y>0，且1，求xy的最小值【精彩點撥】此題考察利用平均值不等式求最值以及利用不等式知識分析、解決問題的才能解答此題可靈敏使用“1的代換或?qū)l件進(jìn)展必要的變形，再用平均值不等式求得和的最小值【自主解答】法一：x>0，y>0，1，xyxy1061016.當(dāng)且僅當(dāng)，又1，即x4，y12時，上式取等號故當(dāng)x4，y12時，xymin16.法二：由1，得x1y99定值，可知x>1，y>9，而xyx1y91021016.所以當(dāng)且僅當(dāng)x1y93，即x4，y12時，上式取等號故

4、當(dāng)x4，y12時，xymin16.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步進(jìn)展：(1)首先，看式子能否出現(xiàn)和(或積)的定值，假設(shè)不具備，需對式子變形，湊出需要的定值；(2)其次，看所用的兩項是否同正，假設(shè)不滿足，通過分類解決，同負(fù)時，可提取“1變?yōu)橥?3)利用條件對取等號的情況進(jìn)展驗證.假設(shè)滿足，那么可取最值，假設(shè)不滿足，那么可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決.,切記利用平均值不等式求最值時的三個條件：“一正二定三相等必須同時滿足，函數(shù)方可獲得最值，否那么不可以.再練一題2x>0，y>0，且x2y1，求的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號：94910013】【解】x，y0，x2y1，1232.當(dāng)，即xy

5、，也就是y1，x1時等號成立，故的最小值為32.探究共研型用平均值不等式求解應(yīng)用題探究解不等式實際應(yīng)用題的解題思路是怎樣的？【提示】解不等式實際應(yīng)用題的解題思路如圖1­3­1，要設(shè)計一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個矩形欄目即圖中陰影部分，這兩欄的面積之和為18 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5 cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸單位：cm，能使矩形廣告面積最??？圖1­3­1【精彩點撥】【自主解答】法一：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，那么ab9 000.廣告的高為a20，寬為2b25，其中a>

6、0，b>0.廣告的面積Sa202b252ab40b25a50018 50025a40b18 500218 500224 500.當(dāng)且僅當(dāng)25a40b時等號成立，此時ba，代入式得a120，從而b75.即當(dāng)a120，b75時，S獲得最小值24 500 cm2.故廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小，最小值為24 500 cm2.法二：設(shè)廣告的高和寬分別為x cm，y cm，那么每欄的高和寬分別為x20，其中x>20，y>25，兩欄的面積之和為2x20·18 000，由此得y25.廣告的面積Sxyx·x25x，整理得S25x2018

7、500，因為x20>0，所以S218 50024 500.當(dāng)且僅當(dāng)25x20時等號成立，此時有x20214 400x>20，解得x140，代入y25，得y175，即當(dāng)x140，y175時，S獲得最小值24 500 cm2，故廣告的高為140 cm，寬為175 cm時，可使廣告的面積最小，最小值為24 500 cm2.利用根本不等式解決實際問題的一般思路是：,(1)在理解題意的根底上，合理設(shè)出變量，找出實際問題的數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)定義域；(2)由建立的函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在函數(shù)定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)結(jié)合實際問題，求出實

8、際問題的解.再練一題3某商場預(yù)計全年分批購入每臺價值為2 000元的電視機共3 600臺，每批都購入x臺xN，且每批均需付運費400元，儲存購入的電視機全年所付保管費與每批購入電視機的總價值不含運費成正比，假設(shè)每批購入400臺，那么全年需用去運輸和保管費43 600元，如今全年只有24 000元資金可以用于支付這筆費用，請問：能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由【解】設(shè)每批購置x臺電視機，共需運輸和保管的總費用為y元由題意可得保管費k·2 000xk>0，總運輸費為400·.因為43 600400×9k·400×

9、;2 000，所以k.所以y·2 000x400·100100·224 000.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x120時等號成立所以只要安排每批購置120臺電視機時，可以使資金夠用構(gòu)建·體系10<x<1，那么x1x取最大值時x的值為A.B.C.D【解析】0<x<1，x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號【答案】B2函數(shù)fx的最大值為A.BC.D1【解析】顯然x0.當(dāng)x0時，fx0；當(dāng)x>0時，x12，fx.當(dāng)且僅當(dāng)x1時，等號成立，fxmax.【答案】B3t>0，那么函數(shù)y的最小值為_【解析】t>0，yt4242.【答案】24設(shè)x，yR，且xy0，