第1章§3 第2課時(shí)　運(yùn)用平均值不等式求最大(小)值

1、.第2課時(shí)運(yùn)用平均值不等式求最大小值1能利用平均值不等式求簡(jiǎn)單的最大小值重點(diǎn)2掌握建立不等式模型，解決實(shí)際問題中的最值難點(diǎn)根底·初探教材整理兩個(gè)重要結(jié)論閱讀教材P10P14，完成以下問題1x，y為正數(shù)，xyS，xyP，那么1假如P是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，S獲得最小值2；2假如S是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)，P獲得最大值.2假設(shè)a，b，c均為正數(shù)，1假如abc是定值S，那么abc時(shí)，積abc有最大值；2假如積abc是定值P，那么當(dāng)abc時(shí)， 和abc有最小值填空：1假設(shè)x>0時(shí)，x的最小值是_2當(dāng)獲得最小值時(shí)，x取_【解析】1x>0時(shí)，x2，故最小值為2.22，這時(shí)x0.

2、【答案】1220質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 小組合作型利用平均值不等式求最大小值設(shè)x，y，z均是正數(shù)，x2y3z0，那么的最小值為_【精彩點(diǎn)撥】由條件消去y，然后利用平均值不等式求最小值【自主解答】由x2y3z0，得y，3.當(dāng)且僅當(dāng)xy3z時(shí)，獲得最小值3.【答案】3此題解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件消掉目的函數(shù)中的y，通過對(duì)目的函數(shù)的變形，轉(zhuǎn)化為考生所熟悉的能使用根本不等式求最值的問題.再練一題1函數(shù)yx>1的最大值是_【解析】y.x>1，x1>0.因此x12，x1332.當(dāng)且僅當(dāng)x1

3、，x1時(shí)等號(hào)成立0<y32x1時(shí)取等號(hào)故ymax32.【答案】32靈敏運(yùn)用條件求最值x>0，y>0，且1，求xy的最小值【精彩點(diǎn)撥】此題考察利用平均值不等式求最值以及利用不等式知識(shí)分析、解決問題的才能解答此題可靈敏使用“1的代換或?qū)l件進(jìn)展必要的變形，再用平均值不等式求得和的最小值【自主解答】法一：x>0，y>0，1，xyxy1061016.當(dāng)且僅當(dāng)，又1，即x4，y12時(shí)，上式取等號(hào)故當(dāng)x4，y12時(shí)，xymin16.法二：由1，得x1y99定值，可知x>1，y>9，而xyx1y91021016.所以當(dāng)且僅當(dāng)x1y93，即x4，y12時(shí)，上式取等號(hào)故

4、當(dāng)x4，y12時(shí)，xymin16.利用平均值不等式求最值，一般按以下三步進(jìn)展：(1)首先，看式子能否出現(xiàn)和(或積)的定值，假設(shè)不具備，需對(duì)式子變形，湊出需要的定值；(2)其次，看所用的兩項(xiàng)是否同正，假設(shè)不滿足，通過分類解決，同負(fù)時(shí)，可提取“1變?yōu)橥?3)利用條件對(duì)取等號(hào)的情況進(jìn)展驗(yàn)證.假設(shè)滿足，那么可取最值，假設(shè)不滿足，那么可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決.,切記利用平均值不等式求最值時(shí)的三個(gè)條件：“一正二定三相等必須同時(shí)滿足，函數(shù)方可獲得最值，否那么不可以.再練一題2x>0，y>0，且x2y1，求的最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94910013】【解】x，y0，x2y1，1232.當(dāng)，即xy

5、，也就是y1，x1時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為32.探究共研型用平均值不等式求解應(yīng)用題探究解不等式實(shí)際應(yīng)用題的解題思路是怎樣的？【提示】解不等式實(shí)際應(yīng)用題的解題思路如圖1­3­1，要設(shè)計(jì)一張矩形廣告，該廣告含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目即圖中陰影部分，這兩欄的面積之和為18 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，兩欄之間的中縫空白的寬度為5 cm，怎樣確定廣告的高與寬的尺寸單位：cm，能使矩形廣告面積最??？圖1­3­1【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】法一：設(shè)矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，那么ab9 000.廣告的高為a20，寬為2b25，其中a>

6、0，b>0.廣告的面積Sa202b252ab40b25a50018 50025a40b18 500218 500224 500.當(dāng)且僅當(dāng)25a40b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)ba，代入式得a120，從而b75.即當(dāng)a120，b75時(shí)，S獲得最小值24 500 cm2.故廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小，最小值為24 500 cm2.法二：設(shè)廣告的高和寬分別為x cm，y cm，那么每欄的高和寬分別為x20，其中x>20，y>25，兩欄的面積之和為2x20·18 000，由此得y25.廣告的面積Sxyx·x25x，整理得S25x2018

7、500，因?yàn)閤20>0，所以S218 50024 500.當(dāng)且僅當(dāng)25x20時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有x20214 400x>20，解得x140，代入y25，得y175，即當(dāng)x140，y175時(shí)，S獲得最小值24 500 cm2，故廣告的高為140 cm，寬為175 cm時(shí)，可使廣告的面積最小，最小值為24 500 cm2.利用根本不等式解決實(shí)際問題的一般思路是：,(1)在理解題意的根底上，合理設(shè)出變量，找出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系式，并求出函數(shù)定義域；(2)由建立的函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在函數(shù)定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)結(jié)合實(shí)際問題，求出實(shí)

8、際問題的解.再練一題3某商場(chǎng)預(yù)計(jì)全年分批購入每臺(tái)價(jià)值為2 000元的電視機(jī)共3 600臺(tái)，每批都購入x臺(tái)xN，且每批均需付運(yùn)費(fèi)400元，儲(chǔ)存購入的電視機(jī)全年所付保管費(fèi)與每批購入電視機(jī)的總價(jià)值不含運(yùn)費(fèi)成正比，假設(shè)每批購入400臺(tái)，那么全年需用去運(yùn)輸和保管費(fèi)43 600元，如今全年只有24 000元資金可以用于支付這筆費(fèi)用，請(qǐng)問：能否恰當(dāng)安排每批進(jìn)貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由【解】設(shè)每批購置x臺(tái)電視機(jī)，共需運(yùn)輸和保管的總費(fèi)用為y元由題意可得保管費(fèi)k·2 000xk>0，總運(yùn)輸費(fèi)為400·.因?yàn)?3 600400×9k·400×

9、;2 000，所以k.所以y·2 000x400·100100·224 000.當(dāng)且僅當(dāng)x，即x120時(shí)等號(hào)成立所以只要安排每批購置120臺(tái)電視機(jī)時(shí)，可以使資金夠用構(gòu)建·體系10<x<1，那么x1x取最大值時(shí)x的值為A.B.C.D【解析】0<x<1，x1x2，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào)【答案】B2函數(shù)fx的最大值為A.BC.D1【解析】顯然x0.當(dāng)x0時(shí)，fx0；當(dāng)x>0時(shí)，x12，fx.當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，等號(hào)成立，fxmax.【答案】B3t>0，那么函數(shù)y的最小值為_【解析】t>0，yt4242.【答案】24設(shè)x，yR，且xy0，