2015年中考數(shù)學真題----解直角三角形

1、解直角三角形選擇題1, 2021威海，第2題4分2. 如圖*在ME廠中，Z4C7WGD,BC=3.假設用科學計童器求遠水*內(nèi)憶 那么卜列按讎顫序正確時提B. ? j -r | sjn T |V 0【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，邊AC=BCtan26其按鍵順序正確的選項是【備考指導】 此題考查了解直角三角形的知識，解答此題的關鍵是利用三角函數(shù)的知識解直角三角形，求 解相關線段的長度，難度一般.2. 2021省市，第12題3分如圖，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1米的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30°再向電視塔方向前進 100米到達F處，又測得電視塔頂端 A的仰角

2、為60 °那么這個電視塔的高度 AB單位：米為丨.4廣/：Fa * IM Hi 4 ff 1 « 1 V i n » « 11 4 1 i 1 4 1 1* Klffli I 4-11 4 1 4 bGLD(*<他2« *IBA . W 辦B. 51C.D. 101【答寨】C【解析】試題分析依題意得乙乂0汕r厶是乂三的外用，4GF尸可# CI-AH-100m衽.iAaG 中，5in60: = - = , aG-sui6O= -Ki:j 啟22根據(jù)題意BG-E-C3-1米.所沁初塔的鬲度AB-AG-BG-505-1.考點.：解直弟三肅羽的應

3、用3. 2021?賓州，第12題3分如圖，在x軸的上方，直角/ BOA繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)2假設/ BOA的兩邊分別與函數(shù)、的圖象交于B、A兩點，那么/ OAB大小的變化趨勢為C.時大時小D保持不變【答案】DEB= _ _ iOFb，AF=-> 可代人這時 lanZ0JlB=變.應選D個定IT因此心AE的尢小保持不考點：反比例函數(shù)，三角形相似，解直角三角形5. 2021?第 10題，3分如圖，要在寬為 22米的九州大道兩邊安裝路燈，路燈的燈臂CD長2米，且與燈柱BC成120°角，路燈采用圓錐形燈罩，燈罩的軸線DO與燈臂CD垂直，當燈罩的軸線 DO通過公路路面的中心線時照明效

4、果最正確，此時，路燈的燈柱BC高度應C. 11- 2-；米 D . 11 :;【解析】試題分析：分別過B和盤作BE丄兀軸于點E, AF丄蓋軸于點冉那么可知BEWAO跖 因此根據(jù)相鍛三弟形SE 0E1的性質(zhì)可得 =1設點廿曲 -匕丸仏 二人那么0瑋p OF AF口b比例式求得b = 21即于匸二月求得00- VOE -r EB二JdT ?- i*V考點：解直角三角形的應用.分析：出現(xiàn)有直角的四邊形時，應構造相應的直角三角形，利用相似求得PB、PC,再相減即可求得BC長.解答： 解：如圖，延長 0D , BC交于點P./ ODC= / B=90° / P=30° OB=11 米

5、，CD=2 米，在直角 CPD 中，DP=DC?cot30°=2jm, PC=CD +sin30° =4 米，/ P= / P, / PDC = / B=90° PDC PBO,.PD=CDFB= OB BC=PB - PC= 11 近-4米.應選：D.點評：此題通過構造相似三角形，綜合考查了相似三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)， 銳角三角函數(shù)的概念.6. 2021?日照，第10題4分如圖，在直角 BAD中，延長斜邊BD到點C,使DC丄BD,C.連接AC,假設tanB=-，那么tan / CAD的值考點：解直角三角形.分析:延長AD，過點C作CE丄AD，垂足為E，由

6、tanB-，即晉，設AD=5x，那么土 二丄二二二二，廠，"：，AE = tan / CAD =l=AB=3x,然后可證明 CDEs BDA，然后相似三角形的對應邊成比例可得:進而可得CEx，從而可求tan/CAD=十匸.解答： 解：如圖，延長 AD，過點C作CE丄AD，垂足為E,心，即詈,設 AD=5x,那么 AB=3x,/ CDE = / BDA , / CED = / BAD ,.CE_DE_CT_1U LI廠 _，15點評：此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以與直角三角形的性質(zhì)，是根底知識要熟練掌握，解題的關鍵是：正確添加輔助線，將/ CAD放在直角三角形中

7、.7. 2021?聊城，第10題3分路大橋于今年5月1日竣工，為徒駭河景區(qū)增添了一道亮麗的風景線.某校數(shù)學興趣小組用測量儀器測量該大橋的橋塔高度，在距橋塔AB底部50米的C處，測得橋塔頂部 A的仰角為41.5。如圖測量儀器CD的高度為1米，那么橋塔 AB的高度約為A .34 米B .38 米 C. 45 米 D .50米考點：解直角三角形的應用一仰角俯角問題.分析：RtAADE中利用三角函數(shù)即可求得 AE的長，那么AB的長度即可求解.解答： 解：過D作DE丄AB于E,DE = BC=50 米在 RtA ADE 中，AE=DE?tan41, 5° 50X 0.88=44米,/ CD=1

8、 米， BE=1 米， AB=AE + BE=44+1=45米,橋塔AB的高度為45米.點評：此題考查仰角的定義，注意能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.8 2021, 9, 3分如圖，斜面 AC的坡度CD與AD的比為1:2, AC=%J5米，坡頂有一旗桿BC,旗桿頂端B點與A點有一條彩帶相連，假設 AB=10米，那么旗桿BC的高度為()A.5 米 B.6 米 C. 8 米 D. (3 1 坷)米【答案】A【解析】試題分析.根據(jù)題童學科關可設 皿加，那么cd=xm,由勾股定理知AD'+CD直即觀'+/ =詁W#x=3,然后設EC予 那么

9、由勾股定理得ADrEDABr即4 +曠=1貳 解得產(chǎn)也 因此EC=BD7D=8-和張考點：解直角三角形二.填空題31. 2021?賓州，第14題4分如圖，菱形 ABCD的邊長為15, sin/ BAC ,那么對角線AC的長為第14題廚【答案】24試題分樂 如圖，連摟旳交朋于那么根搖賽形的性質(zhì)可得M丄BD, 0B=0哄上也由盤dNRAgdA6=15,可求B0=9,在RtAAOB中，根據(jù)囚股定理可求# 0A=12.頁此AC=24.考點：菱形的性質(zhì)，解直角三角形2.2021?第18題，3分如圖，在等邊 ABC 有一點 D, AD=5, BD=6, CD=4，將 ABD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使 AB與AC

10、重合，點D旋轉(zhuǎn)至點E,那么/ CDE的正切值為-.考點:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形.專題:計算題.分析:先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AB=AC, / BAC=60° ,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AD=AE=5 ,/ DAE = Z BNAC=60° CE=BD=6，于是可判斷 ADE為等邊三角形，得至U DE=AD=5;過E點作EH丄CD于H，如圖，設DH=x,那么CH=4 - X,利用勾股定理得到 52 - x2=62 - 4-X2,解得X，再計算出EH，然后根據(jù)正切的定義求解.解答： 解：仏ABC為等邊三角形， AB=AC , / BAC=60° , A

11、BD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)得 ACE , AD=AE=5, / DAE = Z BNAC=60° CE=BD=6, ADE為等邊三角形，/ DE=AD=5,過E點作EH丄CD于H，如圖，設 DH=x，那么CH=4 - x,在 RtA DHE 中，EH2=52- x2,在 RtA DHE 中，EH2=62- 4 -X2 - 52 - x2=62 - 4 - x2,解得 x=,o EH =翊858=3.",在 RtA EDH 中，tan / HDE即/ CDE的正切值為 3 故答案為：3廠.點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)

12、角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形.DE交AC于點E,連3.2021?第15題3分如圖， ABC中，DE是BC的垂直平分線,BC=12,那么考點：線段垂直平分線的性質(zhì)；解直角三角形.分析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得出CE=BE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出CD=BD，從而得出 CD: CE,即為cosC.解答： 解：/ DE是BC的垂直平分線, CE=BE, CD = BD,/ BE=9, BC=12, CD=6, CE=9, cosC亠匚,CE 9 32故答案為=點評：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以與等腰三角形的性質(zhì)此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用

13、.4. 2021?省江市，第 22 題，6 分在厶 ABC 中，/ B=30 ° AB=12, AC=6，那么 BC= 6 .；.考點：含30度角的直角三角形；勾股定理.分析：由/B-30° AB-12, AC=6，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半易得 ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的長.解答：解：/ B-30° , AB-12 , AC-6, ABC是直角三角形， BC= - J 二.丄 =6 一 二30。直角三角形的性質(zhì)，以與勾股定理，熟練掌握性質(zhì)與定理是解此5. 2021?東營，第14題3分4月26 日, 2021黃河口東營國際馬拉松

14、比賽拉開帷幕,中央電視臺體育頻道用直升機航拍技術全程直播.如圖，在直升機的鏡頭下， 觀測馬拉松景觀大道A處的俯角為，B處的俯角為四了 如果此時直升機鏡頭 C處的高度CD為200 米，點A、D、B在同一直線上，那么 AB兩點的距離是米.【答案】200( ;+1)【解析】試題分析：I/ CDA = Z CDB=90° , / A=30° , / B=45° , / AD.j CD=200._j , BD=CD=200 , AB=AD+BD=200( . 3 +1)米；考點：解直角三角形的應用 6. 2021第17題3分如圖，某登山運發(fā)動從營地A沿坡角為30。的斜坡AB

15、到達山頂B,如果AB=2000米，那么他實際上升了 1000 米.考點：解直角三角形的應用一坡度坡角問題.分析： 過點B作BC丄水平面于點 C,在RtAABC中，根據(jù)AB=200米，/ A=30° ,求出BC的長度即可.解答： 解：過點B作BC丄水平面于點C,在 RtA ABC 中，/ AB=2000 米，/ A=30° , BC =ABsi n30° =2000X丄=1000.故答案為：1000.點評：此題考查了解直角三角形的應用，解答此題的關鍵是根據(jù)坡角構造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識進展求解.7. 2021荊州第15題3分15 .如圖，小明在一塊平地上測山

16、高，先在B處測得山頂A的仰角為30°然后向山腳直行100米到達C處，再測得山頂 A的仰角為45°那么山高AD為137 米結(jié)果保存整數(shù)，測角儀忽略不計，近 1.414 近，1.732考點：解直角三角形的應用一仰角俯角問題.專題：計算題.分析：根據(jù)仰角和俯角的定義得到 / ABD=30° / ACD=45°，設AD=xm,先在RtA ACD中，利用/ ACD的正切可得 CD=AD=x，那么BD=BC+CD=x+100,然后在RtAABD中，利用/ ABD的正切得到 x+100，解得x=50品+ 1，再進展近似計 算即可.解答：解：如圖，/ ABD=30

17、76; / ACD=45° BC=100m,設 AD=xm,在 RtA ACD 中,/ tan/ ACDAD二， CD=AD=x,/ BD = BC+CD=x+100 ,在 RtA ABD 中,tan / ABD =£_J，x+100, x=50：+1137即山高AD為137米.故答案為137.點評：此題考查了解直角三角形-的應用-仰角俯角：解決此類問題要了解角之間的關系，找到與和未知相關聯(lián)的直角三角形，要善于讀懂題意，把實際問題劃歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決.8 2021?第13題3分如圖1是小志同學書桌上的一個電子相框，將其側(cè)面抽象為如圖2所示的幾何圖形,BC=

18、BD=15cm, / CBD=40°，那么點B到CD的距離為cm參考數(shù)據(jù)：sin20°0.342, com20 ° 0.940sin40 ° 0.643, com40-0.766確到0.1cm,可用科學計算器.C D圖1圖2第13題OAP(答案：解析：如右圖，作 BE丄CD于點E./ BC=BD, BE 丄CD, /-Z CBE= / DBE=20 °,在 Rt BCD 中,COS 二 DBE二BEBD cos20】BE-15 BE 15 X 0.9=04.19. 2021?第14題3分如圖，在厶ABC中，AB=BC=4 , AO=BO ,P是

19、射線 CO上的一個動點,Z AOC=60°,那么當 RAB為直角三角形時， AP的長為 .答案：解析：如圖，分三種情況討論：圖1中，Z APB=90° ,/ AO=BO, Z APB=90 °, PO=AO=BO=2,又Z AOC=60 °APO是等邊三角形， AP=2；B圖中，Z APB=90 °/ AO=BO, / APB=90 ° P0=A0=B0=2,又/ AOC=60°,BAP=30°在 RtA ABP 中，AP=cos30°X4=2,.''3.圖(3)中，/ ABP=90 &#

20、176; / B0=A0=2 , / BOP = Z AOC=60 °- PB=2 3 , AP= 42 ' (2 3)2 ：2 7 AP的長為2, 2 3或2 710. 2021?,第16題4分圖1是一可以折疊的小床展開后支撐起來放在地面的示意圖,此時，點A，B，C在同一直線上，且 / ACD=90° 圖2是小床支撐腳 CD折疊的示意圖，在折疊過程中, ACD變形為四邊形ABC'D'，最后折疊形成一條線段 BD".1小床這樣設計應用的數(shù)學原理是2假設AB: BC=1 : 4，那么tan Z CAD的值是 圖1圖28【答案】1三角形的穩(wěn)定性

21、和四邊形的不穩(wěn)定性；2° .15【考點】線動旋轉(zhuǎn)問題；三角形的穩(wěn)定性；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)定義【分析】1在折疊過程中，由穩(wěn)定的 ACD變形為不穩(wěn)定四邊形 ABC'D'，最后折疊形成一條線段BD"，小床這樣設計應用的數(shù)學原理是：三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性。2T AB: BC=1 : 4, 設 AB x, CD y，那么 BC 4x, AC 5x . 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知 BC" BC 4x, AC" = 3x, C"D" y , AD AD" AC" C"D" 3x

22、y.在Rt ACD中，根據(jù)勾股定理得 AD2 AC2 CD2 , c2_2283x y 5x y y _x.3tan CADCDAD5x8 -x35x8 .1511. 2021?,第16題4分如圖，在數(shù)學活動課中，小敏為了測量校園旗桿AB的高度，站在教學樓的C處測得旗桿底端B的俯角為45°測得旗桿頂端 A的仰角為30°假設旗桿與教學樓的距離為 9m,那么旗桿AB的高度是 m結(jié)果保存根號【答案】3 3 +9.;銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題【分析】根據(jù)在RtA ACD 中，tan ACDDC，求出AD的值，再根據(jù)在RtA BCD 中

23、,BDtan BCD，求出BD的值，最后根據(jù)AB=AD+BD，即可求出答案：DC在 RtA ACD 中，/ tanACD匹， AD DC tanACD 9 tan30°3廠93 3DC3在 RtA BCD 中，/ tanBCDBDDC， BD DC tan BCD 9 tan45°9 19AB=AD+BD =3 3 +9m.12. 2021省市，16，4分如圖，某建筑物BC上有一旗桿AB，從與BC相距38m的D處觀測旗桿頂部 A的仰角為50°觀測旗桿底部B的仰角為45° 那么旗桿的高度約為 m.結(jié)果準確到 0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin 50° 0

24、.77 cos50° 0Q4tan50° 1.19第I a題幗【答案】7.2【解析】試題分析:因為Zboc=45°，所以 3CNX38,因貴ZADC=5yAC=tan50°xCDM5,22, BrQA AB=AC-X陣TH考點：解直角三角形13. 2021呼和浩特，19, 6分6分如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部B的仰角為30°看這棟高樓底部 C的俯角為65°熱氣球與高樓的水平距離AD為120m.求這棟高樓的高度結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)與根式表示即可考點分析：銳角三角函數(shù)解直角三角形 建模能力解析:什么是建模能力

25、？因為這類題目是應用題，即用數(shù)學手段來解決實際問題。三角函數(shù)是一種數(shù)學思想，等到高中階段會有更多的題型與更多的變化。目前此類題目的核心，是共直角邊、或者局部共直角邊，要嘛就是等直角邊，反正 是以直角邊為媒介來構建等量關系。此題的核心是共直角邊，即共線段AD。還要注意，是應用題最后要有答。對于實際問題而言，首先是將實際問題數(shù)量化，你現(xiàn)在理解為建模就可以。此題中就是給出解得第一行表達在?2021年呼和浩特中考數(shù)學砍題指南?中會有比較詳細的表達，如果你有興趣的話可以期待一下。另外，有個習慣希望同學們可以按照的方式來，因為你們初學三角函數(shù)，所以建議你們先按照三角函數(shù)原始定義列出三角函數(shù)值等于兩個邊的比

26、值后，再進展等號兩邊的乘除變化， 這樣不容易出錯。解：依據(jù)題意有： AD丄BC, / BAD =30 ° / CAD=65 °AD=120m.TAD 丄 BC, / ADB=Z ADC =90 °BDV3在 RtABD 中，/tan30 ° AD，二 BD = AD tan30°=120X 3 = 40西CD在 RtA ACD 中,/ tan65°= Ad， CD =120 -tan65° BC =BD+CD =40 3+120 -an65°答：這棟高樓的高度為4/3+120 -tan65°米注意：上述類

27、型題目在?考前重點突破?中有完整的解法。14. 2021?第 22 題 7 分30°看這棟樓底部的俯角為60°小強家小強從自己家的陽臺上，看一棟樓頂部的仰角為與這棟樓的水平距離為 42m，這棟樓有多高?【答案】56 JI m【解析】試題分析；正確理解仰角，俯亀然后枸造直角三甬形的數(shù)學模型根據(jù)解直角三角形的方法，用4AD和 ZCW的正切可分別求得弧CD的長度，然后可求出樓高.試魁解祈：解1如圖，口 - 30" ,= 60° , JW = 42, 3D . CD-一、 tan0w、ADAD BD = AD tan a= 42 !Sn30°=42 X

28、 = 14. -.CD = ADtan 3= 42 Xan60=42 J .BC = BD + CD = 14.打 + 42.打=56 .j (m).因此，這棟樓高為 56門m.考點：解直角三角形15. 2021, 15, 3分如圖，從一個建筑物的A處測得對面樓BC的頂部B的仰角為32 °底部C的俯角為45。，觀測點與樓的水平距離 AD為31cm，那么樓BC的高度約為 m(結(jié)果取整數(shù)。參考數(shù)據(jù)：sin32° 0.5)s32° 0tan32° 06第15題【答案】50【解析】解：BC=BD+CD=AD Xan32°+AD Xan45°

29、31 X 0.6+31 X 仁49.6產(chǎn)故答案為 50m.16. 2021, 16, 6分1如圖，M、N為山兩側(cè)的兩個村莊，為了兩村交通方便，根據(jù)國家的惠民政策，政府決定打一直線涵洞.工程人員為了計算工程量，必須計算M、N兩點之間的直線距離，選擇測量點 A、B、C,點B、C分別在AM、AN上，現(xiàn)測得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N兩點之間的直線距離.試題辭祐在厶一占也一中,AC 30 _ 5AB=9.AC _.IM*.厶工厶仏叱心5診肖即營令聊沖仆,零?.A ?：兩盒戈間的直綁姑是1.壬干米,17. 2021?第20題，9分如圖， ABC.按如

30、下步驟作圖： 以A為圓心，AB長為半徑 畫弧；以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點 D;連結(jié)BD，與AC交于點E, 連結(jié)AD，CD .1求證： ABC ADC ；2假設 / BAC=30° , / BCA=45° , AC=4，求 BE 的長.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖一復雜作圖.分析：1利用SSS定理證得結(jié)論；2設BE=x,利用特殊角的三角函數(shù)易得 AE的長，由/ BCA=45°易得CE=BE=x,解得x,得CE的長.解答：1證明：在 ABC與厶ADC中,AB=ADBC=CDAC=AC2解：設 BE=x,/ BAC=30° ,/ ABE=

31、60° , AE=tan60° ?；x,ABC ADC , CB=CD , / BCA=Z DCA ,/ BCA=45° ,/ BCA=Z DCA=90° ,/ CBD = / CDB=45° , CE=BE=x, . ：X+x=4, x=22, BE=2 ： - 2.點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)，利用方程思想，綜合運用全等三角形的性質(zhì)和判定定理是解答此題的關鍵.18. 2021?省，第18題，8分如圖，平臺 AB高為12m，在B處測得樓房 CD頂部點D的 仰角為45°底部點C的俯角為30°求

32、樓房CD的高度Q3 = 1.7.：30BAC第18題圖u-45考點：解直角三角形的應用一仰角俯角問題.分析：首先分析圖形，根據(jù)題意構造直角三角形.此題涉與多個直角三角形，應利用其公共邊構造關系式求解.解答：解：如圖，過點 B作BE丄CD于點E,根據(jù)題意，/ DBE=45° , / CBE=30° ./ AB 丄AC, CD丄 AC,四邊形ABEC為矩形. CE=AB=12m.在 RtA CBE 中，cot/ CBE=:,CE BE=CE?;ot30°12xJ3=12 體.在 RtA BDE 中，由/ DBE=45° ,得 DE=BE=12 ：:. CD

33、= CE+DE=12： ;+132.4答：樓房CD的高度約為32.4m.AC點評：考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，此題要求學生借助俯角構造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.19. 2021?濰坊第16題3分觀光塔是濰坊市區(qū)的標志性建筑，為測量其高度，如圖，一人先在附近一樓房的底端 A點處觀測觀光塔頂端 C處的仰角是60°然后爬到該樓房頂端 B 點處觀測觀光塔底部 D處的俯角是30°樓房高AB約是45m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)可求觀光 塔的高CD是135 m.考點：解直角三角形的應用一仰角俯角問題. 分析： 根據(jù) 爬到該樓房頂端 B點處觀測觀光塔底部 D處的俯

34、角是30°可以求出AD的 長，然后根據(jù) 在一樓房的底端 A點處觀測觀光塔頂端 C處的仰角是60°可以求出CD的 長.解答： 解：爬到該樓房頂端 B點處觀測觀光塔底部 D處的俯角是30°/ ADB=30° ,在 RtA ABD 中，ABtan30 =，解得，計J, AD=45 二在一樓房的底端 A點處觀測觀光塔頂端 C處的仰角是60°在 RtA ACD 中，CD=AD?tan60 °45 .： ；=135 米.故答案為135米.點評：此題考查了解直角三角形的應用-仰角、俯角問題，要求學生能借助仰角、 俯角構造直角三角形并解直角三角形.三

35、解答題1. 2021?,第23題8分數(shù)學活動課上，教師和學生一起去測量學校升旗臺上旗桿AB的高度，如圖，教師測得升旗臺前斜坡 FC的坡比為iFc=1 : 10即EF: CE=1 : 10，學生小 明站在離升旗臺水平距離為 35m即CE=35m處的C點，測得旗桿頂端B的仰角為a,tan片, 升旗臺高AF=1m，小明身高CD=1.6m，請幫小明計算出旗桿 AB的高度.BG與EF的大考點：解直角三角形的應用一仰角俯角問題.分析：首先根據(jù)題意分析圖形，此題涉與到兩個直角三角形，分別解可得小，進而求得 BE、AE的大小，再利用 AB=BE-AE可求出答案.解答： 解：作DG丄AE于G,那么/ BDG=

36、a,易知四邊形DCEG為矩形./ DG=CE=35m, EG=DC=1.6m在直角三角形 BDG中，BG = DG?Xan a=35X上=15m, BE=15+1.6=16.6m.斜坡 FC 的坡比為 iFc=1 : 10, CE=35m, EF=35X-=3.5,id '/ AF=1, AE=AF + EF=1+3.5=4.5 , AB=BE - AE=16.6 - 4.5=12.1m.要求學生能借助俯角、仰角構造直角三角形并結(jié)合圖2. 2021?甘孜、阿壩，第18題7分如圖，某中學九年級數(shù)學興趣小組測量校旗桿AB的高度，在C點測得旗桿頂端 A的仰角/ BCA=30° ,向

37、前走了 20米到達D點，在D點測得旗桿頂端A的仰角/ BDA=60° ,求旗桿AB的高度.結(jié)果保存根號考點：解直角三角形的應用一仰角俯角問題.分析：根據(jù)題意得/ C=30° / ADB=60°,從而得到/ DAC=30°進而判定AD=CD ,得到CD=20米，在 RtAADB中利用sin/ ADB求得AB的長即可.解答： 解：C=30° , / ADB=60°/ DAC =30°, AD = CD,/ CD=20 米， AD=20 米，在 RtA ADB 中， 冷n / ADB， AB=AD n60°=20X=10

38、 ： 米.點評：此題主要考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關系求解.3. 2021,第20題 分小麗為了測旗桿 AB的高度，小麗眼睛距地圖 1.5米，小麗站在C 點，測出旗桿A的仰角為30°，小麗向前走了 10米到達點E,此時的仰角為60°，求旗桿的高度?！窘馕觥縄ff曲4*. Z4Df；.3O* G t； - W JJf* - LIA . .Uli . .4/fx*譏“血 I訂 rUi 二 Muni Atti = IS 干“屮/. ah n u"為 I " “4. 2021 六盤水，第 25 題 12 分如圖

39、 13 , RtA ACB 中，/ C= 90 ° / BAC = 45 °:在CA的延長線上截取AD = AB,并連接BD不寫作法，保存作圖痕跡2 4分求/ BDC的度數(shù).34分定義：在直角三角形中，一個銳角A的鄰邊與對邊的比叫A的鄰邊做/ A的余切，記作cotA，即cot A R對茹，根據(jù)定義，利 用圖形求cot22.5 °勺值.考點：作圖一復雜作圖；解直角三角形.專題：新定義.D，然后連結(jié)BD ；分析：1以點A為圓心，AB為半徑作弧交CA的延長線于2根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AD=AB得/ ADB = Z ABD，然后利用三角形外角性質(zhì)可求出/ ADB=22.

40、5 °2/ AD=AB,3設AC=x,根據(jù)題意得 ACB為等腰直角三角形，那么 BC=AC=x, AB= . ；：AC=;x, 所以AD=AB= . ：x, CD=窓弓+1x,然后在RtA BCD中，根據(jù)余切的定義求解./ ADB = / ABD ,而/ BAC=Z ADB + Z ABD,/ ADB=-Z BAC =X45°22.5 °2 2即Z BDC的度數(shù)為22.5 °3設 AC=x,Z C=90° , Z BAC=45° , ACB為等腰直角三角形， BC =AC=x, AB=« JAC= ：' ：; x,

41、AD=AB=、.；x, CD= x+x=|：； ；+1x,在 RtA BCD 中，cotZ BDC =-711- .+1 ,BC £即 cot22.5 °：； *+1.點評：此題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種根本作圖的根底上進展作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和根本作圖方法；解決此類題目的關鍵是熟悉根本幾何圖形的性質(zhì)， 結(jié)合幾何圖形的根本性質(zhì)把復雜作圖拆解成根本作圖，逐步操作.也考查了解直角三角形.5. 2021，第20題9分如下列圖，某數(shù)學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D出測得大樹頂端 B的仰角是48°假設坡角Z FAE=30

42、76;,求大樹的高度結(jié)果保存整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48° 0.74cos48° 0Q7 tan48° 1.113 1.73EA I C第20題【分析】通過觀察圖形，要求大樹的高度，需要構造直角三角形，將所求線段聯(lián)系起來結(jié)合題目中的信息，即要延長BD交AE于點G,并過點D作DH丄AE于點H，分別在RtA GBC 和RtA ABC中表示出CG和AC的長即可求解.解:慮的KXu*.在o> SC H6 Ri/ABC 中，4C- _H 卸人楊的詣虞約為13索.宀“第20題解圖6. 2021?第22題8分如圖，海中一小島上有一個觀測點 A,某天上午9： 00觀測到某 漁

43、船在觀測點A的西南方向上的B處跟蹤魚群由南向北勻速航行。當天上午9： 30觀測到該漁船在觀測點 A的北偏西60°方向上的C處。假設該漁船的速度為每小時 30海里，在此 考點：解直角三角形的應用一方向角問題.航行過程中，問該漁船從B處開始航行多少小時, 表示，不取近似值。離觀測點A的距離最近北計算結(jié)果用根號分析：首先根據(jù)題意可得 PC丄AB,然后設PC=x海里，分別在 RtA APC中與RtA APB中, 利用正切函數(shù)求得出 PC與BP的長，由PC+BP=BC=30里，即可得方程，解此方程求得 x 的值，再計算出 BP,然后根據(jù)時間=路程訛度即可求解.解答：解：過點A作AP丄BC,垂足

44、為P,設AP=x海里.在 RtA APC 中,/AS, / 心°° tan / PAC搭CTP血 / PAC睜.在 RtA APB 中,vZ APB=90° , Z FAB=45° , BP=AP=x./ PC + BP=BC=30X=, _'x+x=15，解得 x=2 315 (3-V3) PB=x=315 (3-V3)15 (3-V3)處；小時.航行離觀測點A的距離最近.點評：此題考查了解直角三角形的應用-方向角問題,銳角三角函數(shù)的定義， 準確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.7. 2021?涼山州，第20題8分如

45、圖，在樓房 AB和塔CD之間有一棵樹EF，從樓頂A處 經(jīng)過樹頂E點恰好看到塔的底部 D點，且俯角a為45°從距離樓底B點1米的P點處經(jīng) 過樹頂E點恰好看到塔的頂部 C點，且仰角B為30°樹高EF=6米，求塔CD的高度.結(jié)果保存根號j5F D【答案】石11門【解析】 試題分析：根據(jù)題意求出/ BAD = / ADB=45°，進而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得 FD，在 RtAPEH中，利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出 BF，即可求得PG,在RtA PCG中，繼而 可求出CG的長度.試題解析：由題意可知 / BAD= / ADB=45° / FD = EF=6米

46、，在RtA PEH中， PG=BD=BF+FD=| 6，在 RTA PCG 中, tan護空二厶 BF忌二迥PH RF/ tan 3=CGPG，-CG=(5,考點：解直角三角形的應用一仰角俯角問題.8. 2021?第 17 題 8 分如圖，登山纜車從點A出發(fā)，途經(jīng)點B后到達終點C其中AB段與BC段的運行路程均為200m,且AB段的運行路線與水平面的夾角為30° BC段的運行路線與水平面的夾角為42 °求纜車從點 A運行到點C的垂直上升的距離參考數(shù)據(jù)：sin42 °0.67 cos42 °0.7,4 tan42 ° 00【答案】：234m42&#

47、176;解答:解：如圖:【解析】：如下列圖，纜車從點 A運行到點C的垂直上升的距離為 BD CE ,又 ABD和 BCE均為直角三角形， BD CE AB sin30 BC sin42 2000.5 0.67234m9. 2021?眉山，第22題8分如圖，在一筆直的海岸線 I上有A、B兩個碼頭，A在B的 正向，一艘小船從 A碼頭沿它的北偏西 60°的方向行駛了 20海里到達點P處，此時從B碼 頭測得小船在它的北偏東 45°的方向求此時小船到 B碼頭的距離即 BP的長和A、B 兩個碼頭間的距離結(jié)果都保存根號 5|川考點：解直角三角形的應用一方向角問題.分析： 過P作PM丄AB

48、于M，求出/ PBM=45° , / FAM=30° ,求出PM，即可求出 BM、BP.過P作PM丄AB于M , 那么 / PMB= / PMA=90° ,/ PBM=90° - 45°=45° / PAM=90° - 60°=30° AP=20 海里，pm=3aP=10 海里，/ BPM= / PBM=45° / PM=BM=10 海里，2I IpirAB=20 海里， BP=10 二海里，smQb即小船到B碼頭的距離是10二海里，A、B兩個碼頭間的距離是 20海里.點評：此題考查了解直角三角

49、形，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應用，能正確解直角三角形是解此題的關鍵，難度適中.10. 2021?省江市，第20題，9分我市準備在相距 2千米的M , N兩工廠間修一條筆直的公路，但在 M地北偏東45°方向、N地北偏西60°方向的P處，有一個半徑為 0.6千米的住宅小區(qū)如圖，問修筑公路時，這個小區(qū)是否有居民需要搬遷？參考數(shù)據(jù)：'：- 1.41考點：解直角三角形的應用一方向角冋題.分析：根據(jù)題意，在 MNP中，/ MNP =30° / PMN-45° MN=2千米，是否搬遷看 P點到MN的距離與0.6的大小關系，假設距離大于0.6千米那么不需搬遷

50、， 反之那么需搬遷, 因此求P點到MN的距離，作PD丄MN于D點.解答：解：過點P作PD丄MN于D MD =PD?cot45°=PD ,ND = PD?cot30 ° . :TD ,/ MD+ND = MN=2,即:PD+PD=2, PD =影十=需-1 1.73- 1=0.73 > 0.6.答：修的公路不會穿越住宅小區(qū)，故該小區(qū)居民不需搬遷.點評：考查了解直角三角形的應用-方向角問題，化斜為直'是解三角形的根本思路,常需作垂線高，原那么上不破壞特殊角30° 45° 60°.11. 2021?省市，第21題，8分注意：在試題卷上作

51、答無效 如圖，某市對位于筆直公路 AC上兩個小區(qū)A、B的供水路線進展優(yōu)化改造，供水站 M在筆 直公路AD上，測得供水站 M在小區(qū)A的南偏東60°方向，在小區(qū)B的西南方向，小區(qū) A、B之間的距離為300,；3+1米，求供水站 M分別到小區(qū)A、B的距離。結(jié)果可保存根號D東【分析1根協(xié)題意*中，ZBAM=30° * ZABM=45° -貞氐米倉點H作MN丄于廠設疔円米用含氓的代數(shù)式分別表示胡，叭根建立方程，解方建求出咒的值，逆藺求出MA與MB的長.C北東I解莒T解：過點M作MN丄品干廠 誥耳米/ MA=2MN=2nJ AN=J3MN=J7x-在Rt AAMN中，ZBNM

52、=90d ZM3N=45°- BN=KN= MB=j2MN=j2i: / AN-B5=A0 ' jJx*t-30Q JJ+l >£=300/ MA=2x=6D0 * J3=j2t=30Oj2 抜供水站M到小醫(yī)2的距離是E0Q米*到小區(qū)B的距離是3QO返米I點評】此題考查了解直角三甬賊的應用方向角i可題* “化斜藥直是鞘三甬融的根本思路，常需作垂線 高-愎那么上瑋破壞特殊角<30° 、 4訂、60° *12. 2021?省市，第20題，8分如圖，從地面上的點 A看一山坡上的電線桿 PQ,測得桿頂端點P的仰角是45°向前走6m到

53、達B點，測得桿頂端點 P和桿底端點Q的仰角分別是60。和 30 °1求/ BPQ的度數(shù)；2求該電線桿 PQ的高度結(jié)果準確到 1m。備用數(shù)據(jù)：、3 1.7，2 1.4第20題圖考點：解直角三角形的應用一仰角俯角問題.分析：1延長PQ交直線AB于點E,根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可；92設PE=x米，在直角 APE和直角 BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用 x表示出AE和BE,根 據(jù)AB=AE - BE即可列出方程求得 x的值，再在直角 BQE中利用三角函數(shù)求得 QE的長， 那么PQ的長度即可求解.解答：解：延長 PQ交直線AB于點E,1/ BPQ=90° - 60° =3

54、0°2設 PE=x 米.在直角 APE中，/ A=45° ,那么AE=PE=x米；/ PBE=60°/ BPE=30°在直角 BPE/ AB=AE - BE=6 米,解得：x=9+3 .；.那么BE= 3 _ -;+3丨米.在直角 BEQ 中，QE= JBE= ；3 ：'+3=3+. 一;米. PQ = PE - QE=9+3齒-33=6+39米.答：電線桿PQ的高度約9米.點評：此題考查了仰角的定義，以與三角函數(shù)，正確求得PE的長度是關鍵.13. 2021?省市，第19題如圖，這是一把可調(diào)節(jié)座椅的側(cè)面示意圖，頭枕上的點到調(diào)節(jié)器點O處的距離為80

55、cm,AO與地面垂直，現(xiàn)調(diào)整靠背，把OA繞點O旋轉(zhuǎn)35倒OA '處,求調(diào)整后點A'比調(diào)整前點A的高度降低了多少 cm?結(jié)果取整數(shù)？參考數(shù)據(jù)：sin35° 0.57, cos35° 0.82, tan35° 0.70J作"b-laoTb,通尅解金弦函數(shù)求得QB，然后igAB=OA-OB求得即可.【解苔】 歙 如臥 根據(jù)題意om =S0cm. ZAO A" =35e， 偉A B丄AD于-CB=OA -cos35° =306? AB=OA-OE=SQ-6s. fi=14cju-吾：調(diào)整后巨一比調(diào)翌前點負的高度降低了 “厘米.【亞評】此題主要考査了解育甬三角畛的應用，熟練應用銳角三角函敎關乗是解題關漣.14. 2021?,第22題12分小紅將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏 OB與底板OA 所在水平線的夾角為 120°時，感覺最舒適如圖 1，側(cè)面示意圖為圖2;使用時為了散熱， 她在底板下面墊入散熱架 ACO/后，電腦轉(zhuǎn)到 AO/ B/位置如圖3，側(cè)面示意圖為圖 4.0A=0B=24cm, Oz C丄OA 于點 C, Oz C=12c