中考數(shù)學系列專題38弧長及扇形的面積

1、專題38弧長及扇形的面積聚焦考點溫習理解1 弧長及扇形的面積(1)半徑為r, n的圓心角所對的弧長公式:n n rT80 ；(2)半徑為r，n°的圓心角所對的扇形面積公式:2n n r360lr 2 圓錐的側(cè)面積和全面積圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，假設(shè)設(shè)圓錐的母線長為 弧長為2 n r.(1) 圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)=n rl ;(2) 圓錐全面積公式：S圓錐全=n rl +n rl3 求陰影局部面積的幾種常見方法l，底面半徑為r，那么這個扇形的半徑為l，扇形的(1)公式法;割補法;拼湊法；(4)等積變形構(gòu)造方程法;去重法.名師點睛典例分類考點典例一、弧長公式的應用【例1】(202

2、1湖南長沙第15題)如圖，扇形OAB的圓心角為120°,半徑為3，那么該扇形的弧長為(結(jié)果保存 n)1203試題分析：扇形 OAB的圓心角為120° 半徑為3,根據(jù)弧長公式可得扇形的弧長為120 =2n180考點：弧長公式【點睛】此題考查了弧長的計算，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長的計算公式.【舉一反三】2021湖南岳陽第11題在半徑為6cm的圓中，120°的圓心角所對的弧長為cm【答案】4n.【解析】試題分析：根據(jù)弧長公式可得半徑為6cm的圓中，120°的圓心角所對的弧長為：120 6=4n cm.180考點：弧長的計算.考點典例二、扇形面積的計算【例2

3、】2021山東東營第17題如圖，某數(shù)學興趣小組將邊長為5的正方形鐵絲框 ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形忽略鐵絲的粗細，那么所得的扇形ABD的面積為【答案】25.【解析】試題分析：扇冊ABD的5長厲等于正方形兩邊長的和EC+DC = 1O,廟形AB©的半徑為正方形的邊長鳴1'*?護&：；= 2*5=考點：扇形的計算【舉一反三】2021遼寧營口第12題如圖，AB是O O的直徑，弦CD垂直平分 OB垂足為點E,連接OD BC假設(shè)BO1,那么扇形OBD勺面積為【答案】一.【解析】試題分析；T肋是0。的宜徑，弦垂直平分03, ,OE=EB? OB LCD, ：.CE

4、=DE在和AOED 中，/ CEDE厶CE班©EQ, BE-OE ?二在EEC盎AOED SAS',二 OXBE,在 AOED 中， OE=-OB=-ODf £ODE= ; ：，ZP0D=6Q° ;貝煽形面積企創(chuàng)更刈？上,故答案為：-.2 2 360 6 6考點：扇形面積的計算；線段垂直平分線的性質(zhì).考點典例三、扇形面積公式的運用【例3】萊蕪如圖，AB為半圓的直徑，且AB=4,半圓繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，點A旋轉(zhuǎn)到A'的位置，那么圖中陰影局部的面積為A.nB . 2 n C . D . 4 n2【答案】B.【解析】試題分析：根據(jù)題意可得出

5、陰影局部的面積等于扇形ABA的面積加上半圓面積再減去半圓面積，即為扇形面積即可.試題解析： S陰影=S扇形ABA +S半圓-S半圓=S扇形ABA4542360=2 n,應選：B.考點：扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).【點睛】陰影局部一般都是不規(guī)那么的圖形，不能直接用公式求解，通常有兩條思路：一是轉(zhuǎn)化成規(guī)那么圖形 面積的和、差；二是進行圖形的割補【舉一反三】2021山東棗莊第11題如圖，AB是OO的直徑，弦CDL AB, / CDB= 30°, CD= 2 3，那么陰影局部的面第11題圖積為A . 2 nn2 nB.nC.D.33【答案】D.【解析】試題分析：已扯AB ft00的直徑，弦C

6、D丄d根握圓的對稱性可得陰影局部的面積等于廟形AOB的面積,由垂徑宦理可得店J5,宙SL周角定理可得ZC08=60fi在RtACOE中，求得OC%所以A. 10cm B.15cm C.10 3 cm D.考點：垂徑定理；圓周角定理；扇形面積公式考點典例四、圓錐的側(cè)面展開圖【例4】2021湖北十堰第9題如圖，從一張腰長為 60cm，頂角為120°的等腰三角形鐵皮 OAB中剪出 一個最大的扇形 OCD用此剪下的扇形鐵皮圍成一個圓錐的側(cè)面不計損耗，那么該圓錐的高為202 cm【答案】D.【解析】試題分析：如團，過0作0E丄摳于Ej由OA=OD-SOcm, ZA0B=120° ,可

7、得ZA=ZB=3O0丿根據(jù)等腰三角1 P0rx30形的性質(zhì)得到OE=-01=30cwi,所法弧CD的長二 =20心設(shè)圓錐的底面圓的半徑為廠那么2Jlr=202 ISOnf解得r=10,利用勾股定理計算出圓錐的高為如JJ.故答案選D*考點：圓錐的計算.【點睛】就圓錐而言，“底面圓的半徑和“側(cè)面展開圖的扇形半徑是完全不同的兩個概念，要注意其區(qū)別和聯(lián)系，其中扇形的弧長為圓錐底面圓的周長，扇形的半徑為圓錐的母線長；圓錐的底面半徑、母線和 高組成了一個直角三角形.【舉一反三】2021湖南衡陽第17題假設(shè)圓錐底面圓的周長為8 n ,側(cè)面展開圖的圓心角為90 ° ,那么 該圓錐的母線長為.【答案】

8、16 .【解析】試題分析：設(shè)該圓錐的母線長為I ,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，根據(jù)這個扇形的弧長等于90 |180圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長可得8 n =,解得1=16 ,即該圓錐的 母線長為16 .考點：圓錐的計算考點典例五、求陰影局部的面積【例5】2021湖北襄陽第15題如圖，AB是半圓O的直徑，點 C D是半圓O的三等分點，假設(shè)弦 CD=2,那么 圖中陰影局部的面積為 .【答案】【解析】試題分析：連結(jié)理 眄 因酣6遲是半圓口的三等分點F所兒ZBOD = ZCOD=SO° ,所兒 三角形OCD1 C1 tx 4 4t1為等邊三角形，所I兒 半圓。的半0C=CD=2；

9、 * =：= 4 ；：=丄* S_,:-=-x273x1 = J3 , J60S2S CD S 3.1 C3 SiCX益A JT二'曲，所以陰影藝吩的面積沏訶$=三_ £ -A O H考點：扇形的面積計算【點睛】陰影局部一般都是不規(guī)那么的圖形，不能直接用公式求解，通常有兩條思路：一是轉(zhuǎn)化成規(guī)那么圖形 面積的和、差；二是進行圖形的割補.【舉一反三】2021山東威海第22題如圖，在 BCE中，點A時邊BE上一點，以 AB為直徑的O O與CE相切于點D, AD/ OC點F為OC與O O的交點，連接 AF.1求證：CB是O O的切線；2假設(shè)/ ECB=60 , AB=6,求圖中陰影局

10、部的面積.3【答案】1詳見解析；2 32【解析】1/ 3=/ ECB=30 ,2/ 仁/2=60°,/ 4=60 °,/ OA=OD OAD是等邊三角形, AD=OD=QF / 仁/ ADO在厶 ADGD FOG中,Z1=ZADGZfgo=Zm ,AD 二 OF AD®A FOGad(=Sfog,/ AB=6,S陰=s 扇形QD=-360考點：切線的性質(zhì)和判定；扇形的面積公式；全等三角形的判定及性質(zhì)課時作業(yè)能力提升1. 2021貴州遵義第10題如圖，半圓的圓心為 O,直徑AB的長為12, C為半圓上一點,/ CAB=30°,Ac的長是BA. 12nB.

11、6 nC. 5 nD. 4 n【答案】D.【解祈】試題分析：如團，00, 丁厶加少30° , ；.ZSt?O2ZG6C,厶又直"的長対心春徑心孟瞅島 譽旳應選6考點：弧長的計算.2. 2021四川甘孜州第10題如圖，在5X 5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,假設(shè)將 AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到 A OB，貝U A點運動的路徑 Aa'的長為A.nB. 2nC. 4nD. 8 n【答案】B.【解析】試題分析：l霉個小正方形的邊長制為1,二加斗，T將AA繞雖0順時針臘專妍 得到厶屮 曲,Q Q 江圮 4 二厶曲 曲 顯點運動的路徑衛(wèi) 的長知 空匸二

12、匸 應選E.180考點：弧長的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).3. 2021福建泉州第6題如圖，圓錐底面半徑為rem,母線長為10cm,其側(cè)面展開圖是圓心角為216°A. 3B. 6C. 3 n D. 6 n【答案】B.【解析】試題分析：圓錐底面半徑為rem,母線長為10cm,其側(cè)面展開圖是圓心角為216°的扇形，所以2n r= 216360X 2nX 10,解得r=6 .應選 考點：圓錐的計算.B.4. 2021內(nèi)蒙古通遼第8題如圖，AB是O O的直徑，CDLAB / AB=60°, Ct=2. 3，那么陰影局部的面積為DA. 23【答案】AB.nC. 2nD. 4 n【解析

13、】 試題分祈；, /.X03=30* 、 /.Z05=60° 、又 丁弦 仞丄AS, C2?= 23二碼冠為冬口皆先芋二;江故迭乩考點：扇形面積的計算.5.2021重慶A卷第9題如圖，以AB為直徑，點 0為圓心的半圓經(jīng)過點 C,假設(shè)AC=BC=2，那么圖中陰影局部的面積是【答案】A【解析】試題分析： AB為直徑，/ ACB90。，： AC=BC=J2 , ACE為等腰直角三角形，二.OCLAB / AOC和厶B0C都是等腰直角三角形，Smo=&boc 0/=-2AC=1,a S陰影局部=S扇形ao=901 =.應選A.23604考點：扇形面積的計算.6. 2021浙江臺州第1

14、3題如圖， ABC的外接圓0的半徑為2,Z C=40°,那么Ab的長是【答案】89【解析】試題分析：/ C=40°,aZ AOB80。，考點：三角形的外接圓與外心；弧長的計算.80故答案為：G7. 2021湖南株洲第14題如圖，正六邊形 ABCDE內(nèi)接于半徑為3的圓Q貝U劣弧AB的長度為【解析】試題分析：如黏連接OB,；以曲為正六邊形,:X 1=50* *爼的長為 6空故答軌兀.考點：正多邊形和圓；弧長的計算.8. 2021青海第8題如圖，AC是汽車擋風玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm CQ=5cm當AC繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)90°時，那么雨刷器 AC掃過的面積為 c

15、ni 結(jié)果保存n 【答案】500 n.【解析】試題分析：由諮專的性JS可得OAF" , 0C=CCf , AC=AX CJ ,所以 A0CAA; 2 ；即可得刮雨刷AC 掃過的面積二扇形朋和的面積-扇形的面積二衣X 7T 二 £OQTT um4考點：扇形面積的計算；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).9. 2021 南京 如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展開，得到一個扇形，假設(shè)圓錐底面圓半徑r=2cm.那么該圓錐母線長cm.【解析】試題分析：圓錐底面圓半徑r=2cm, 根據(jù)圓的周長公式，得圓的周長為2 r 4側(cè)面展開后所得扇形弧長等于圓的周長，.扇形弧長4 又側(cè)面展開后所得扇形的圓心角為120&#

16、176;,120 l根據(jù)扇形的弧長公式，側(cè)面展開后所得扇形的弧長為旦 1 4 l 6 cm .180考點：圓錐和扇形的計算.10. 2021內(nèi)蒙古呼倫貝爾市、興安盟第16題小楊用一個半徑為 36cm面積為324 n cm2的扇形紙板制作一個圓錐形的玩具帽接縫的重合局部忽略不計，那么帽子的底面半徑為cm.【答案】9.【解析】試題分析：扇形的半徑為36cm，面積為324n cm2,所以扇形的弧長 L=2S 2 324 =18n，即可得R 36帽子的底面半徑 r L =9cm2考點：圓錐的計算.11. (2021江蘇鹽城第14題)圓錐的底面半徑是 2，母線長是4,那么圓錐的側(cè)面積是 .【答案】8n.

17、【解析】- 1試題分析：底面半徑是 2，那么底面周長=4n，圓錐的側(cè)面積 =X 4nX 4=8 n .故答案為：8n.2考點：圓錐的計算.12. (2021貴州銅仁第24題)如圖， AB是O 0的直徑，點 P為圓上一點，點 C為AB延長線上一點，PAfPC / C=30°.(1) 求證：CP是OO的切線.(2) 假設(shè)00的直徑為8，求陰影局部的面積.【答案】(1)證明見解析；(2) 84 3 .3【解析】試題井析；(1)連接0P,由笄牘三甬形的性質(zhì)得出ZGZQ氏門曠、3&即,求出Z0PG9C即 證明是等邊三角形，陰影局部的面積二扇形的面積-SP的面積，即可得出結(jié)果，試題解析；

18、<1)證明；連接0P,如下圖：Zt>30e . .Z.4=ZC=30* 厶妒0=1.ZQ=Z.4=30° , .ZO?C=120°-30c =906 ,即 GP丄CP,二CP 是(30 的切:A3 是GX?的直徑，二匕二朋，二厶血片9<T - ZL4-609 , '：OOB-4,邊三角形，二陰影局部的面積二扇形。貯的面積-ZW砂的面積二竺空一卜12曲£_4的.3602313. 2021遼寧葫蘆島第 23題如圖，在 ABC中，AB=AC以AB為直徑的O O分別交線段 BC, AC于點D,E,過點D作DF丄AC垂足為F,線段FD, AB的延長

19、線相交于點 G1求證：DF是O O的切線；2假設(shè)CF=1, DF= 3，求圖中陰影局部的面積.【答案】1詳見解析；2【解析】試題分析=1連接血、切，由脂曲直徑可辭出點D再氐的中點，由此得出邊為期C的中位線再根 據(jù)中位線的性廉呵得出丄巧從而證出DF是O0的坯戔jCF-1,呼右通過解直角三角形得出 CD二氛ZC=0O* ,從而得出AEC為等邊三角形，再利用分害!|團形求面積扌扛卩可得出陰影局部的面積. 試題解析匕C1證明：連接AK呱如團所示-TAB為直徑，ZADB=90Q，.'.AD1BC,二點D為線段BC的中點.丁點0為A3的中點，二対的中位線.'.or 7 AC,IDF 丄 AGadf®®0的切線.(2)解：在 RtACFD 中，CFl, D2J,7>r+ tanZC= Jj f CD=2jCF "ZWO",FC二AB ?ABC為軫邊三角形;戰(zhàn)=4.'01-' II AC, ZDO