二次函數(shù)的概念—知識(shí)講解(提高)

1、二次函數(shù)的概念一知識(shí)講解提高學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 理解函數(shù)的定義、函數(shù)值、自變量、因變量等根本概念；2. 了解表示函數(shù)的三種方法一一解析法、列表法和圖像法；3. 會(huì)根據(jù)實(shí)際問題列出函數(shù)的關(guān)系式，并寫出自變量的取值圍；4. 理解二次函數(shù)的概念，能夠表示簡單變量之間的二次函數(shù)關(guān)系要點(diǎn)梳理要點(diǎn)一、函數(shù)的概念一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x, y，對(duì)于自變量x在某一圍的每一個(gè)確定值，y都有惟一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù).對(duì)于自變量x在可以取值圍的一個(gè)確定的值a,函數(shù)y有惟一確定的對(duì)應(yīng)值， 這個(gè)對(duì)應(yīng)值叫做當(dāng)x=a時(shí)函數(shù)的值，簡稱函數(shù)值.要點(diǎn)詮釋：對(duì)于函數(shù)的概念，應(yīng)從以下幾個(gè)方面去理解：1函

2、數(shù)的實(shí)質(zhì)，揭示了兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2 判斷兩個(gè)變量之間是否有函數(shù)關(guān)系，要看對(duì)于x允許取的每一個(gè)值，y是否都有惟一確定的值 與它相對(duì)應(yīng)；3函數(shù)自變量的取值圍，應(yīng)要使函數(shù)表達(dá)式有意義，在解決實(shí)際問題時(shí)，還必須考慮使實(shí)際問 題有意義要點(diǎn)二、函數(shù)的三種表示方法表示函數(shù)的方法，常見的有以下三種：1 解析法：用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)的表達(dá)式，或解析式，用數(shù)學(xué)式子表示函 數(shù)的方法稱為解析法2 列表法：用一個(gè)表格表達(dá)函數(shù)關(guān)系的方法.3圖象法：用圖象表達(dá)兩個(gè)變量之間的關(guān)系的方法 要點(diǎn)詮釋：函數(shù)的三種表示方法各有不同的長處.解析式法能揭示出變量之間的在聯(lián)系，但較抽象，不是所有的函數(shù)都能列出解析式；

3、列表法可以清楚地列出一些自變量和函數(shù)值的對(duì)應(yīng)值，這會(huì)對(duì)某些特定的數(shù) 值帶來一目了然的效果，例如火車的時(shí)刻表，平方表等；圖象法可以直觀形象地反映函數(shù)的變化趨 勢(shì)，而且對(duì)于一些無法用解析式表達(dá)的函數(shù)，圖象可以充當(dāng)重要角色對(duì)照表如下：表示方法全面性準(zhǔn)確性直觀性形象性列表法XVVX解析式法VVXX圖象法XXVV要點(diǎn)三、二次函數(shù)的概念一般地，形如y=ax2+bx+c (a, b, c 是常數(shù)，0)的函數(shù)叫做 x的二次函數(shù).假設(shè)b=0，那么y=ax2+c； 假設(shè)c=0，那么y=ax2+bx； 假設(shè)b=c=0，貝U y=ax2.以上三種形式都是二次函數(shù)的特2殊形式，而y=ax +bx+c (a* 0)是二次

4、函數(shù)的一般式.在二次函數(shù)的一般式 y=ax2+bx+c (a* 0)中，ax2叫函數(shù)的二次項(xiàng)，bx叫函數(shù)的一次項(xiàng)，c叫常數(shù) 項(xiàng)；a叫二次項(xiàng)系數(shù)，b叫一次項(xiàng)系數(shù)，c叫常數(shù)項(xiàng).要點(diǎn)詮釋：(1) 如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常數(shù)，a* 0)，那么y叫做x的二次函數(shù).這里，當(dāng) a=0時(shí)就不是二 次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零.(2) 判斷系數(shù)時(shí)，首先要將二次函數(shù)化成一般式，再對(duì)照定義寫出，特別要注意的是系數(shù)要包含 其前面的符號(hào).典型例題類型一、函數(shù)的相關(guān)概念B .變量：“滿足 I" '，那么"是卞的函數(shù);C .變量滿足丿=用，那么丁是*的函數(shù)；d

5、.變量兒x滿足y = 1,那么丁是x的函數(shù).思路點(diǎn)撥嚴(yán)格依照函數(shù)的概念進(jìn)行判斷 .答案A；解析B C、D三個(gè)選項(xiàng)，對(duì)于一個(gè)確定的 忑的值，都有兩個(gè)?值和它對(duì)應(yīng)，不滿足單值對(duì)應(yīng)的條件, 所以不是函數(shù).總結(jié)升華理解函數(shù)的概念，關(guān)鍵是函數(shù)與自變量之間是單值對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量的值確定后，函數(shù)值是 惟一確定的.舉一反三：思路點(diǎn)撥要使函數(shù)有意義，需1 沁nm或<x-l >07x-1 <0.»J解這個(gè)不等式組即可答案與解析即彳pm-1 < 0解方程組得，自變量取值是二或總結(jié)升華自變量的取值圍是使函數(shù)有意義的x的值.見、如下列圖，用一段長30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻墻的長度為1

6、5米的矩形菜園ABCD設(shè)AB的長為x米，那么菜園的面積y單位：米2與x單位：米的函數(shù)關(guān)系式為 寫自變量的取值圍.JJ1JJ UJ JjTJ f JF JfjTf JJJ J J! J1 JcAH思路點(diǎn)撥根據(jù)矩形的周長和一邊 AB的長表示出另一臨邊 AD的長，再根據(jù)矩形的面積公式來求解1 2答案y X 15x 0 V X< 15230 x解析解：矩形的周長為 30米，邊AB長x米， AD=3米，230 x 1矩形的面積 y=x 一= x215x 0 v x< 152 2總結(jié)升華考慮到實(shí)際情況，對(duì)于自變量x來說，一定不能超過墻的長度舉一反三：變式圓的半徑是1cm,假設(shè)半徑增加xcm,圓

7、的面積增加ycm2，那么y與x的關(guān)系式為： ,答案yx2 2 x類型二、函數(shù)的三種表示方法矩形的面積為 a( a為常數(shù),a> 0),當(dāng)該矩形的長為多少時(shí)，它的周長最?。孔钚≈凳嵌嗌?數(shù)學(xué)模型a設(shè)該矩形的長為x，周長為y，那么y與x的函數(shù)關(guān)系式為y 2(x)(x>0).x探索研究1我們可以借鑒以前研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，先探索函數(shù)y x -(x>0)的圖象性質(zhì).x 填寫下表，畫出函數(shù)的圖象：JT1413:21234y 觀察圖象，寫出該函數(shù)兩條不同類型的性質(zhì)；2 在求二次函數(shù)y=ax + bx+ c( a* 0)的最大(小)值時(shí)，除了通過觀察圖象， 還可以通過配方得到.請(qǐng)1你通過配方求函

8、數(shù) y x(x > 0)的最小值.x解決問題用上述方法解決“問題情境中的問題，直接寫出答案.思路點(diǎn)撥此題告訴我們一種研究問題的方法，從最根本的函數(shù)研究起，慢慢到較復(fù)雜的函數(shù)所以一定要跟著題目教給我們的思路走答案與解析17解y的值依次是：一,105 , 2,51017432234函數(shù)y x (x 0)的圖象如圖.xJ5-/斗r/3/2卜1卜.1.1.1 *-1 C-1)2345此題答案不唯一，以下解法供參考.x 1 (x 0)的x當(dāng)0 x 1時(shí)，y隨x增大而減小；當(dāng)x 1時(shí)，y隨x增大而增大；當(dāng)x 1時(shí)函數(shù)y 最小值為2.y x 1x=(x)2 ( J2= (7x)2 (J1)2 2坂 J

9、1 2lx x x當(dāng)乂匚 J =0,即x 1時(shí)，函數(shù)y x 1 (x 0)的最小值為2.V xx當(dāng)該矩形的長為a時(shí)，它的周長最小，最小值為4Ja .總結(jié)升華此題屬于閱讀理解型問題，要好好閱讀材料，根據(jù)題目的提示一步步往下進(jìn)行 列表法、圖形法和解析法三種函數(shù)的表示方法.綜合考察了類型三、二次函數(shù)的概念5、(2021秋校級(jí)月考)一個(gè)二次函數(shù)y (k 1)xk 3k 4 2x 1 .(1) 求k的值.(2) 求當(dāng)x=3時(shí)，y的值？思路點(diǎn)撥關(guān)鍵要考慮兩點(diǎn)：一是自變量的最高次數(shù)為2，二是最高次項(xiàng)系數(shù)不能為 0.答案與解析解(1 )依題意有k2 3k 4 2解之得，k=2.(2)把k=2代入函數(shù)解析式中得：y=x 2+2x-1,當(dāng) x=3 時(shí)，y=14.總結(jié)升華此題考察二次函數(shù)的定義和函數(shù)值.舉一反三：變式1函數(shù)y (m 3)xim 1 3x 1是二次函數(shù)，那么 m的值是()A . 3 B . -3 C .土 2 D .土