六年級奧數(shù)比和比例2

1、六年奧數(shù)綜合練習題十二答案比和比例關系比和比例，是小學數(shù)學中的最后一個容，也是學習更多數(shù)學知識的重要根底有了 “比這個概念和表達方式，處理倍數(shù)、分數(shù)等問題，要方便靈活得多我們希望，小學同學學完這一講，對“除法、分數(shù)、比例實質上是一回事，但各有用處有所理解這一講分三個容：一、比和比的分配；二、倍數(shù)的變化；三、有比例關系的其他問題一、比和比的分配最根本的比例問題是求比或比值 從一些比或者其他數(shù)量關系，求出新的比例1甲、乙兩個長方形，它們的周長相等甲的長與寬之比是 3 : 2,乙的長與寬之比是 7： 5.求甲與乙的面積之比解：設甲的周長是2.甲與乙的面積之比是答：甲與乙的面積之比是 864： 875

2、.作為答數(shù)，求出的比最好都寫成整數(shù)例2如右圖，ABCD是一個梯形，E是AD的中點，直線CE把梯形分成甲、乙兩局部，它們的面積之比是10 : 7.求上底AB與下底CD的長度之比.解：因為E是中點，三角形 CDE與三角形CEA面積相等.三角形ADC與三角形ABC高相等，它們的底邊的比AB： CD=E角形ABC的面積：三角形 ADO的面積=10-7： 7X 2= 3 : 14.答：AB： CD=3： 14.兩數(shù)之比，可以看作一個分數(shù)， 處理時與分數(shù)計算幾乎一樣.三數(shù)之比，卻與分數(shù)不一樣，因此是這一節(jié)講 述的重點例3大、中、小三種杯子，2大杯相當于5中杯，3中杯相當于4小杯.如果記號表示2大杯、3中杯

3、、4 小杯容量之和，求與之比解：大杯與中杯容量之比是 5 : 2=10 : 4,中杯與小杯容量之比是 4： 3,大杯、中杯與小杯容量之比是10 ： 4 ： 3.=10X 2+4X 3+3X 4 =44 : 75.10 X 5+4X 4+3X 3答：兩者容量之比是 44 : 75.10 : 4 : 3，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法,把5 : 2與4 : 3這兩個比合在一起，成為三樣東西之比 再舉一個更一般的例子.甲：乙=3 : 5，乙：丙=7 : 4,3 : 5=3X 7 : 5X7=21 : 35,7 : 4=7X 5 : 4X5=35 : 20, 甲：乙：丙=21 : 35 : 20.

4、例4甲、乙、丙三人同去商場購物，甲花錢數(shù)的扌等于乙花錢數(shù)的卜 乙花錢數(shù)的扌等于丙花錢數(shù)的*結果丙比甲多花錢9玩問他們?nèi)斯?花了多少錢？解：根據(jù)比例與乘法的關系，連比后是甲：乙：丙=2 X 16 : 3X 16 : 3X 2=32 : 48 : 63.三人共花了 妙 芝篤詐=4沙(元)一答：甲、乙、丙三人共花了 429元.例5有甲、乙、丙三枚長短不一樣的釘子，甲與乙長度的比是6 : 5,甲釘子的號釘入墻內(nèi)，甲與丙釘入墻內(nèi)的局部之比刁：4，而它們留在墻外的局部一樣長 問：甲、乙、丙的長度之比是多少？ 解：設甲的長度是6份.那么甲在墻外的局部是百X (1-|) =2甲釘入墻內(nèi)的局部是5| = 4?

5、丙釘入埴內(nèi)的局部為莖，滿足比例式4:x=5 : 4.乙與丙的長度之比是而甲與乙的長度之比是 6 : 5=30 : 25.甲：乙：丙=30 : 25 : 26.答：甲、乙、丙的長度之比是30 : 25 : 26.設甲的悅度是&也就是把甲分成瀛以它的;作為長度單位一這樣便6于利用條件6 : 5，使大局部計算都整數(shù)化.這是解比例和分數(shù)問題的常用手段 .例6甲、乙、丙三種糖果每千克價分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數(shù)一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價是多少元？ 解一：設每種糖果所花錢數(shù)為1，因此平均價是答：這些糖果每千克平均價是27.5元.上面解法中，算式很容易列

6、出，但計算卻使人感到不易.最好的計算方法是，用22, 30, 33的最小公倍數(shù)330,乘這個繁分數(shù)的分子與分母，就有：事實上，有稍簡捷的解題思路解二：先求出這三種糖果所買數(shù)量之比 .不妨設，所花錢數(shù)是 330,立即可求出，所買數(shù)量之比是甲：乙：丙 =15 : 11 : 10.平均數(shù)是15+11 + 10+ 3=12.單價33元的可買10份，要買12份，單價是下面我們轉向求比的另一問題，即“比的分配問題，當一個數(shù)量被分成假設干個數(shù)量，如果知道這些數(shù) 量之比，我們就能求出這些數(shù)量 例7 一個分數(shù)，分子與分母之和是100.如果分子加23,分母加32,新的分數(shù)約分后是令原耒的分數(shù)是多少7解：新的分數(shù)，

7、分子與分母之和是10+23+32，而分子與分母之比 2 : 3.因此例8加工一個零件，甲需 3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現(xiàn)有1825個零件要加工，為盡早完成任 務，甲、乙、丙應各加工多少個？所需時間是多少？解：三人同時加工，并且同一時間完成任務，所用時間最少，要同時完成，應根據(jù)工作效率之比，按比例 分配工作量.三人工作效率之比是他們分別需要完成的工作量是所需時間是700X 3=2100 分鐘=35 小時.答：甲、乙、丙分別完成 700個，600個，525個零件，需要35小時.這是三個數(shù)量按比例分配的典型例題 .例9某團體有100名會員，男會員與女會員的人數(shù)之比是14 ： 11,會員分成

8、三個組，甲組人數(shù)與乙、丙兩組人數(shù)之和一樣多.各組男會員與女會員人數(shù)之比是：甲：12 : 13,乙：5 : 3,丙：2 ： 1,那么丙有多少名男會員？解：甲組的人數(shù)是100十2=50人.全體男會員人數(shù)是100X 島二兀人.甲組男會員人數(shù)是50X7 = 24 人.乙、丙兩組男會員人數(shù)是 56-24=32人.乙組男會員占全組人數(shù)的= | .2 2丙組男會員占全組人數(shù)的缶=;如杲丙組男會員也是占右 兩組男會員只有50X | =因此丙組總OO入數(shù)是f 250,2 乂 “ 廠人、32-=人答：丙組有12名男會員. 上面解題的最后一段，實質上與“雞兔同籠解法一致，可以設想，“兔的腳數(shù)是,“雞的腳數(shù)是- 隹腳

9、數(shù)是仏總頭數(shù)是劉.JO例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次是1 : 2 : 3.小龍走各段路程所用時間之 比依次是4 ： 5 : 6.他上坡時速度為每小時 3千米，路程全長 50千米問小龍走完全程用了多少時間? 解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比上坡、平路、下坡的速度之比是平路速度是彳亍扌二辛千米/小吋31下坡速度是爐 一 I 千氷/小時.64走完全程所用時間50X150X22450X3-p- 3 + 4十 61 十2 十 31 + 2 十 351 + 2H-3100M25+150=36=1。詈不吋答：小龍走完全程用了10小時25分.上

10、面是通常思路下解題.1 : 2： 3計算中用了兩次，似乎重復計算，最后算式也頗費事事實上，靈活運用比例有簡捷解法解二：全程長是上坡這一段長的1+2+3=6倍.如果上坡用的時間是4扮.全程都是上坡.所用時間是41 W ,具體時間是晉&卜吋設小龍走完全程用 x小時.可列出比例式二、比的變化兩個數(shù)量的比，當這兩個數(shù)量發(fā)生增減變化后，當然比也發(fā)生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個數(shù)量呢？這就是這一節(jié)的容例11甲、乙兩同學的分數(shù)比是 5 : 4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，那么他們的分數(shù)比是 5 : 7.甲、乙原來各得多少分？解一：甲、乙兩人的分數(shù)之和沒有變化 .原來要分成5+4=9份

11、，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統(tǒng)一起來？這是解題的關鍵 .9與12的最小公倍數(shù)是36,我們讓變化前后都按 36份來算.5 : 4= 5X 4： 4 X 4=20 : 16.5 : 7=5X 3： 7X 3=15 : 21.甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當于20-15=5份.因此原來甲得 22.5 - 5X 20=90分，乙得 22.5 - 5 X 16=72分.答：原來甲得90分，乙得72分.我們再介紹一種能解本節(jié)所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程解二：設原先甲的得分是 5x,那么乙的得分是 4x.根據(jù)得分變化，可列出比例式 .5X-22.5： 4X+22.5=5

12、 : 7即 54X+22.5=7 5X-22.515x=12X 22.5x=18.甲原先得分18X 5=90分，乙得18X 4=72分.例12有一些球，其中紅球占土當再放入?yún)蝹€紅球后，紅球占總球數(shù) 的害，問現(xiàn)在共有多少球？解：其他球的數(shù)量沒有改變.增加8個紅球后，紅球與其他球數(shù)量之比是5 ： 14-5=5 : 9.在沒有球增加時，紅球與其他球數(shù)量之比是1 ： 3-1=1 : 2=4.5 : 9.因此8個紅球是5-4.5=0.5份.現(xiàn)在總球數(shù)是答：現(xiàn)在共有球224個.此題的特點是兩個數(shù)量中，有一個數(shù)量沒有變.把1 : 2寫成4.5 : 9，就是充分利用這一特點.此題也可以列出如下方程求解：x+8

13、： 2x=5 : 9.例13家與家的收入錢數(shù)之比是8 : 5,開支的錢數(shù)之比是 8 : 3,結果家結余240元，家結余270元問每家各收入多少元？解一：我們采用“假設方法求解.如果他們開支的錢數(shù)之比也是8 : 5,那么結余的錢數(shù)之比也應是8 : 5.家結余240元，家應結余x元.有240 : x=8 : 5, x=150元.實際上家結余270元，比150元多120元.這就是8 : 5中5份與8 : 3中3份的差，每份是120十5-3 =60.元.因此可求出答：家收入 720元，家收入 450元.解二：設家收入是8份，家收入是5份.家開支的3倍與家開支的8倍的錢一樣多 我們畫出一個示意圖：家開支

14、的3倍是8份-240X 3.家開支的8倍是5份-270X 8.從圖上可以看出5X 8-8 X 3=16份，相當于270 X 8-240 X 3=1440元.因此每份是1440* 16=90元.家收入是90X 8=720元，家收入是 90X 5=450元.此題也可以列出比例式：8x-240： 5x-270=8 : 3.然后求出x.事實上，解方程求x的計算，與解二中圖解所示是同一回事，圖解有算術味道，而且一些數(shù)量 關系也直觀些.例14 A和B兩個數(shù)的比是8 : 5，每一數(shù)都減少34后，A是B的2倍，求這兩個數(shù).解：減少一樣的數(shù)34,因此未減時，與減了以后， A與B兩數(shù)之差并沒有變，解題時要充分利用

15、這一點.8 : 5,就是8份與5份，兩者相差3份.減去34后，A是B的2倍，就是2 : 1，兩者相差1.將前項與后項 都乘以3，即2 : 1=6 : 3,使兩者也相差3份.現(xiàn)在就知道34是8-6=2份或5-3=2份.因此，每份是34 : 2=17.A數(shù)是 17X 8=136, B數(shù)是 17X 5=85.答：A, B兩數(shù)分別是136與85.此題也可以用例13解一“假設方法求解，不過要把減少后的2 : 1，改寫成8 : 4.例15小明和小強原有的圖畫紙之比是4 : 3,小明又買來15.小強用掉了 8，現(xiàn)有的圖畫紙之比是 5： 2問原來兩人各有多少圖畫紙？解一：充分利用數(shù)據(jù)的特殊性4+3=7，5+2

16、=7，15-8=7.原來總數(shù)分成7份，變化后總數(shù)仍分成 7份，總數(shù)多了 7，因此，新的1份=原來1份+ 1原來4份，新的5份，5-4=1，因此新的 1 份有 15-1 X 4=11.小明原有圖畫紙11 X 5-15=40，小強原有圖畫紙 11 X 2+8=30丨.答：原來小明有40,小強有30圖畫紙.解二：我們也可采用例13解一的“假設方法.先要將兩個比中的前項化成同一個數(shù)實際上就是通分4 : 3=20 : 155 : 2=20 : 8.假設小強也買耒1% |二乎張，那么變化后的比仍應是20 :但現(xiàn)在是20 : 8,因此這個比的每一份是小明現(xiàn)有撫城=兮張，原有右_15 =他張- 棉現(xiàn)有3X =

17、 22 張,原有22 + 8-30 張.當然，也可以采用實質上與解方程完全一樣的圖解法解三：設原來小明有4 “份，小強有3 “份圖畫紙.把小明現(xiàn)有的圖畫紙數(shù)乘 2,小強現(xiàn)有的圖畫紙數(shù)乘 5,所得到的兩個結果相等.我們可以畫出如下示意圖:從圖上可以看出，3X 5-4 X 2=7份相當于圖畫紙 15X 2+8X 5=70.因此每份是10,原來小明有40,小強有30.例11至15這五個例題是同一類型的問題 .用比例式的方程求解沒有多大差異 .用算術方法，卻可以充分利 用數(shù)據(jù)的特殊性，找到較簡捷的解法，也啟示一些隨機應變的解題思路.另外，解方程的代數(shù)運算， 對小學生說來是超前的，不容易熟練掌握 .例1

18、3的解一，也是一種通用的方法“假設這一思路是很有用的，希望讀者能 很好掌握，靈活運用.從課外的角度，我們更應啟發(fā)小同學善于思考，去找靈巧的解法，這就要充分利用數(shù)據(jù)的特殊性.因此我們總是先講述靈巧的解法，利于心算，促進思維例16粗蠟燭和細蠟燭長短一樣.粗蠟燭可以點5小時，細蠟燭可以點 4小時.同時點燃這兩支蠟燭，點了 一段時間后，粗蠟燭長是細蠟燭長的2倍問這兩支蠟燭點了多少時間？解設粗*鈿蠟燭長度是h每小時粗蠟燭點去寧 鈿蠟燭點去士我們把問題改變一下：設細蠟燭長度是2,每小時點現(xiàn)在兩者相關是2-1,每水時能縮水差距扌,因此兩者相等需要時間是答：這兩支蠟燭點了 3小時20分.把細蠟燭的長度和每小時

19、燒掉的長度都乘以2,使原來要考慮的“ 2倍變成“相等，思考就簡捷了.解這類問題這是常用的技巧.再請看一個稍復雜的例子.例17箱子里有紅、白兩種玻璃球，紅球數(shù)是白球數(shù)的 3倍多2只.每次從箱子里取出 7只白球，15只紅球， 經(jīng)過假設干次后，箱子里剩下 3只白球，53只紅球，那么，箱子里原來紅球數(shù)比白球數(shù)多多少只？解：因為紅球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以對3倍的白球，每次取15只，最 后應剩51只.因為白球每次取7只，最后剩下3只，所以對3倍的白球，每次取 7 X 3 = 21只，最后應剩3 X 3= 9只. 因此共取了 51- 3 X 3十7X 3-15= 7次.紅球有

20、 15 X 7 + 53 = 158只白球有7 X 7 + 3= 52只原來紅球比白球多 158-52 = 106只答：箱子里原有紅球數(shù)比白球數(shù)多 106只.三、比例的其他問題比例關系可以用比表示，也可以用分數(shù)袤示.例如.甲比乙的專多7，這里必須用分數(shù)來說，而不能用比 實際上它還是隱含著比例關系：甲-7丨：乙=2 : 3.因此，有些分數(shù)問題，就是比例問題 例邊有一些畫片.小明取了其中的扌還多羽儘小強取了剩下的;再加33,他們兩人取的畫片一樣多 問這些畫片有多少？1 2解設這些畫片是整體1卜明取走扌加囲缸 剩下的是彳少朋總取剩下 痢土就是取因為兩人取的一樣多，的羞，相當于殲1耶的差紋1 ?這些畫

21、片有2汁彳=261 GK 答：這些畫片有261.2例19 一個容器內(nèi)貯有一些水.現(xiàn)在俐掉其中彳的水，剩下的水和容器2茯重肢千克.再俐掉剩下水的扌此時水與容器的重量是原來第一次倒 掉小之前的扌問原來容器中有多少千克的水？解：設最初的水量是1，因此最后剩下的水是按照題目條件.常的水加一個容器的重量諾的水磅的容器重量一樣重，就有因此原有水的重量是答：容器中原來有 8.4千克水例18和例19,通常在小學數(shù)學中，叫做分數(shù)應用題 “比有前項和后項，當兩項合在一起寫成一個分數(shù)后，才便于與其他數(shù)進展加、減運算這就是把比或除法寫成分數(shù)的好處下面一個例題卻是要把分數(shù)寫成比，計算就方便些例20有兩堆棋子，A堆有黑子

22、350個和白子500個，B堆有黑子400個和白子100個為了使A堆中黒子占A堆的扌，E堆中黒子占扌要從B堆中拿到A堆黑子、白子各多少個？解=要B堆中黒子占學 即黑子與白子之比是輩1先從B堆中拿出黑斗子100個，使余下黑子與白子之比是40-100： 100= 3 : 1.再要從B堆拿出黑子與白子到 A堆，拿出的黑子與白子數(shù)目也要保持 3 : 1的比.現(xiàn)在A堆已有黑子350 + 100 = 450個,與已有白子 500個，相差從B堆再拿出黑子與白子，要相差50個，又要符合3： 1這個比，要拿出白子數(shù)是50十3-1= 25個.再要拿出黑子數(shù)是 25 X 3= 75個.答：從B堆拿出黑子175個，白子

23、25個.例21高中學生的人數(shù)是初中學生人數(shù)的二 高中畢業(yè)生的人數(shù)是初中612畢業(yè)生人數(shù)的昔，高、初中畢業(yè)生畢業(yè)后，高.初中留下的人數(shù)都是520人，問高、初中畢業(yè)生共有多少人？解一：先畫出如下示意圖：6-5 = 1,相當于圖中相差17-12 = 5份，初中總人數(shù)是5 X 6= 30份，因此，每份人數(shù)是520+ 30-17= 40人.因此，高、初中畢業(yè)生共有40X 17+ 12= 1160人.答：高、初中畢業(yè)生共 1160人.解二*用二乘初中人數(shù)，應與高中人數(shù)一樣多，就產(chǎn)生如下算式，可6計算出每份是(520-520X 4)亠門* I- 12)= 40 (人)6 6例21與例14是完全一樣的問題，解

24、一與例14的解法也是一樣的.你是否發(fā)現(xiàn)？解二是通常分數(shù)應用題的解法，顯然計算不如解一簡便例18, 19, 20, 21四個例題說明分數(shù)與比例各有好處，你是否從中有所心得？當然關鍵還是在于靈活運用例斃張 王*李三個人共有血元弓烘了自己錢數(shù)的?王用了自 己錢數(shù)的呂 李用了自己錢數(shù)的呂 各買了一支相同的鋼筆，問張和李剩43下的錢共有多少元？解：設鋼筆的價格是1.這樣就可以求出，鋼筆價格是剩下的錢數(shù)是剩下的錢數(shù)答：、兩人剩下的錢共 28元.題中有三個分數(shù)，但它們比的基準是不一樣的為了統(tǒng)一計算單位，設定鋼筆的價格為1.每個人原有的錢和剩下的錢都可以通過“ T統(tǒng)一地折算解分數(shù)應用題中，設定統(tǒng)一的計算單位是

25、常用的解題技巧作為這一講最后的容，我們通過兩個例題，介紹一下“混合比例器一頭豬賣屮艮幣，一頭山羊賣1#艮幣，一彩祥賣+銀帀有人用100個銀幣買了 100頭牲畜，問豬、山羊、綿羊各幾頭？這是十八世紀瑞士大數(shù)學家歐拉17071783提出的問題.解每頭牲畜的平均價是L豬每頭瑋比1多冷，山蘋每頭斗，比1 多而綿羊每頭比1少右澤多要用0 耒補，才這到均價斗： = 5： 1.1頭豬鄭*齡來補+ : y=2： 3,咲山羊賈決綿羊來補我們設1頭豬和5頭綿羊為A組，3頭山羊和2頭羊綿為B組.A表示A組的數(shù)，B表示B組的數(shù)，要使1+ 5X A + 3 + 2X B = 100,或簡寫成6A + 5B= 100.就恰好符合均價是1.類似于第三講雞兔同籠中例 17,很明顯，A必定是5的整數(shù)倍.A = 5, B = 4 , 6 X 5 + 5 X 4 = 50,50是100 的約數(shù)，符合要求A= 5,豬5頭，綿羊25頭，B=4,山羊12頭，綿羊8頭.豬：山羊：綿羊=5 ： 12 ： 25 + 8.現(xiàn)在已把1 : 5和3: 2