信號與系統(tǒng)第六章VIP

1、1、定義：如果信號僅在一些離散的瞬間具有確定的數(shù)值，則稱之為離散時間信號。一般用f(kT)表示，其中k=0,1,2,；T為離散間隔。把這種按一定規(guī)則有秩序排列的一系列數(shù)值稱為序列，簡記為f(k)。常用序列f(k)表示。 也可以用數(shù)據(jù)表格形式給出，或以圖形方式表。 1110)(kkkkf k -1 0 1 2 3 4f(k)0 1 2 3 4 5kf(k)123456-1 0 1 2 3 4 5(a)(b)圖 7 - 1（1）相加 ：f(k)=f1(k)+f2(k) （2） 相乘 ： f(k)=f1(k)f2(k) （3）數(shù)乘 ：（4）累加和： （1）移位 m為大于零的整數(shù)。為大于零的整數(shù)。 k

2、f(k)1.50.5-1 0 1 2 3 4 50.51(a)ky(k)=f(k-2)1.50.5 1 2 3 4 5110.5-1 0(b)ky(k)=f(k+2)1.50.5-3 -2 -1 0 1 2110.5-5 -4(c)圖 7 - 3（3）倒相 （4）展縮 需要注意的是需要注意的是，對f(k)進(jìn)行展縮變換后所得序列y(k)可能會出現(xiàn)k為非整數(shù)情況，在此情況下舍去這些非整數(shù)的k及其值。 例6.1.1：若x(n)的波形如圖所示，求x(2n) x(n/2)的波形。 還應(yīng)指出，對于離散信號壓縮后再展寬不能恢復(fù)原序列。（5）差分 （a）f(k)的后向差分，記 (b) f(k)的前向差分，記1

3、.單位序列k1(k)圖 7 - 5-1 0 1)()0()()(kfkkf性質(zhì)：)()()()(mkmfmkkf)()()()(mkmfmkkfk1U(k)圖 7 - 6-1 0 1 2 3 4其他 010 1)(NkkGNk1GN(k)圖 7 - 7-1 0 1 2 3N-1 N4.單邊實指數(shù)序列 000)(kkakfk (a為實數(shù)) (7-13)k1f(k)=akU(k)|a|1-1 0 1 2 3 4 5k1f(k)=akU(k)|a|1-1 0 1 2 3 4 5(a)(b)圖 7 - 85.正弦序列f(k)E k0 1 23 4 5圖 7 - 9Eg:若離散信號f(k)滿足 則f(k

4、)為周期離散時間信號，其重復(fù)周期T=N，重復(fù)角頻率為 （1）齊次性、疊加性和線性 當(dāng)系統(tǒng) Taf(k)=aTf(k) 則稱系統(tǒng)滿足齊次性。 當(dāng)系統(tǒng)則稱系統(tǒng)滿足疊加性 當(dāng)系統(tǒng)同時滿足齊次性和疊加性時，則稱該系統(tǒng)滿足線性 （2）線性離散時間系統(tǒng) 若離散時間系統(tǒng)的響應(yīng)可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)(可分解性)； 且零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別滿足齊次性和疊加性(零輸入線性、零狀態(tài)線性)，則稱該系統(tǒng)為線性離散時間系統(tǒng)。 （3）時變與時不變離散時間系統(tǒng) 若 )()(kfTky例6.1.2 若已知k0時三個系統(tǒng)的響應(yīng)分別為：(1) y(k)=kf(k)； (2) y(k)=|f(k)|；(3) y(k)=2

5、f(k)+3f(k-1)。試判斷這三個系統(tǒng)各為哪類系統(tǒng)。 解解: : (1) 因激勵與響應(yīng)之間滿足齊次性和疊加性，即但激勵與響應(yīng)之間不滿足時不變性，即)()()(kykkfkfT )()()()(kaykfaTkakfkafT)()()()()()(212121kykykkfkkfkfkfT)()()()()(mkfmkmkymkkfmkfT故該系統(tǒng)為線性時變離散時間系統(tǒng)(2) 該系統(tǒng)激勵與響應(yīng)之間不滿足齊次性，不滿足疊加性。激勵和響應(yīng)之間滿足時不變性，故此系統(tǒng)為非線性時不變系統(tǒng)。 )()()(kaykfTakafT)()()()()()()()(21212121kfkfkykykfkfkfk

6、fT)()()(mkfmkfTmky(3) 由給出的輸入輸出關(guān)系可知此系統(tǒng)是一個線性時不變離散時間系統(tǒng)。 解解 :設(shè)系統(tǒng)零輸入響應(yīng)為yx(k)，零狀態(tài)響應(yīng)為yf(k)，則根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的特性，響應(yīng) )()()(kykykyfxkkfxkykfky)3(10)2(12)(2)(2)(例6.1.5：電阻梯形網(wǎng)絡(luò)Ev0v1v2vNvN-1v0=E,vN=0,試寫出節(jié)點電壓的差分方程。試寫出節(jié)點電壓的差分方程。RRRRvN-2RRRR121) 1()()()() 1(RkukuRkuRkuku整理后可得： 0) 1()()2() 1(21kukuRRku或：0)2k(u)1k(u )RR2()k(

7、u21 (b) 加法器(a) 延時器五、 離散時間系統(tǒng)的模擬1、基本運算單元xn xn+ynynE1xnxn-1xnxn-1D D(c) 數(shù)乘器axn axnaxn axnaxn axn解解: : 根據(jù)系統(tǒng)差分方程，可得1017819176)(232EEEEEEH或 ：32132110178119176)(EEEEEEEH2、系統(tǒng)模擬1/E19f(k)圖 7 - 181/E1/E-8-17-10176y(k)稱之為齊次差分方程 )() 3(2)2()(kukykky(k)1/E1f(k)圖 7 - 191/E1/E2-2241/E-1nknC(常數(shù))特解形式特解形式自由項自由項B （常數(shù)）21

8、0121.kkkkCCnC nCnC nnCe()jnAeA為 復(fù) 數(shù)01CCnjne()ne為實數(shù)an(a不是特征根)nC210121()rrnrrCC nC nCnC naan(a是r重特征根)sin(cos)nn或12cossinCnCn2非齊次差分方程0,)2(31)2() 1(32)(kkykkk 對于線性時不變離散時間系統(tǒng)，若激勵為單位序列(k)時，其系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)h(k)稱為單位序列響應(yīng)。 一、迭代法：是一種遞推法，一個不斷迭代過程，稱之為迭代法 0 0)()() 1()(0kkykfkyaky對于一階系統(tǒng))()(kkf)() 1()(0kkhakh0)(kh0k)()(khk

9、y令) 1()()(0khakkh)()()(0kUakhk二、等效初值法 當(dāng)k0時，系統(tǒng)等效為一個零輸入系統(tǒng)。求系統(tǒng)單位序列響應(yīng)轉(zhuǎn)化為求系統(tǒng)等效零輸入響應(yīng)。 例例6.3.1 6.3.1 某離散時間系統(tǒng)如圖所示。求系統(tǒng)單位序列響應(yīng)。1/Ef(k)圖 7 - 201/E11/2y(k)解：解： 由圖可得系統(tǒng)的差分方程為 )()2(21) 1()(kfkykyky)()(kkf)()2(21) 1()(kkhkhkh0)(kh0k由迭代法可知等效初始值為 當(dāng)k1時，有0212對應(yīng)的特征方程為KKCCkh2211)(單位序列響應(yīng)的形式與零輸入響應(yīng)形式相同6.4 6.4 卷積和卷積和一、離散系統(tǒng)的時域

10、分解0)()()(iikifkfkf(k) 62 1 2 3 4 5 6 7442-1 0圖 7 - 21)5(2)4(4)3(6)2(4) 1(2)(kkkkkkf1、交換律、結(jié)合律和分配律（1）交換律卷積和的性質(zhì)：12122121 mmx nx nx m x nmx m x nmx nx n12122121 mmx nx nx m x nmx m x nmx nx n二、 卷積和 設(shè)兩個離散時間信號為f1(k)和f2(k) ，定義f1(k)與f2(k)的卷積和運算為 （2）結(jié)合律 123123 x nx n x nx n x nx n（3）分配律 1231213 x nx nx nx n

11、x nx n x n2 2、移位性質(zhì)、移位性質(zhì)12112212 y nx nx nx n nx n ny n nn若則3、其它性質(zhì)00 xnn nxn n xnnxn nmmxn unxmun mxm4、卷積和的計算： my nx m h nm（1）圖解法反褶、平移、相乘、求和四個步驟：例例6.4.26.4.2 描述離散時間系統(tǒng)的差分方程為 已知y(-1)=1,求系統(tǒng)全響應(yīng)y(k)。 )(05. 0) 1(9 . 0)(kUkyky解:(1) 求零輸入響應(yīng)yx(k)。 1) 1(0) 1(9 . 0)(xxxykykykxCky)9 . 0()(得C=0.9,故 1)9 . 0()(kxky(2) 求單位序列響應(yīng)。 0 0)()(05. 0) 1(9 . 0)(kkhkkhkh利用等效初值法，可求得 )()9 . 0(05. 0)(kUkhk(3) 求激勵時零狀態(tài)響應(yīng)。 )(