尺規(guī)作圖知識(shí)歸納

1、精選文檔 考點(diǎn)名稱(chēng)：尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖：是指限定用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)來(lái)完成的畫(huà)圖。一把沒(méi)有刻度的直尺看似不能做什么，畫(huà)一個(gè)圓又不知道它的半徑，畫(huà)線(xiàn)段又沒(méi)有精確的長(zhǎng)度。其實(shí)尺規(guī)作圖的用處很大，比如單用圓規(guī)找出一個(gè)圓的圓心，量度一個(gè)角的角度，等等。運(yùn)用尺規(guī)作圖可以畫(huà)出與某個(gè)角相等的角，十分方便。尺規(guī)作圖的中基本作圖：作一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段；作一個(gè)角等于已知角；作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；作已知角的角平分線(xiàn)；過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)。 還有：已知一角、一邊做等腰三角形已知兩角、一邊做三角形已知一角、兩邊做三角形依據(jù)公理：還可以根據(jù)已知條件作三角形，一般分為已知三邊作三角形，已知兩邊及夾角作三角形，已

2、知兩角及夾邊作三角形等，作圖的依據(jù)是全等三角形的判定定理：SSS，SAS，ASA等。 注意：保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理。··尺規(guī)作圖方法：任何尺規(guī)作圖的步驟均可分解為以下五種方法：·通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可作一直線(xiàn)。·已知圓心和半徑可作一個(gè)圓。·若兩已知直線(xiàn)相交，可求其交點(diǎn)。·若已知直線(xiàn)和一已知圓相交，可求其交點(diǎn)。·若兩已知圓相交，可求其交點(diǎn)。【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解什么是尺規(guī)作圖2學(xué)會(huì)用尺規(guī)作圖法完成下列五種基本作圖：(1)畫(huà)一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段；(2)畫(huà)一個(gè)角等

3、于已知角；(3)畫(huà)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；(4)過(guò)已知點(diǎn)畫(huà)已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)；(5)畫(huà)角平分線(xiàn)3了解五種基本作圖的理由4學(xué)會(huì)使用精練、準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言敘述畫(huà)圖過(guò)程5學(xué)會(huì)利用基本作圖畫(huà)三角形等較簡(jiǎn)單的圖形6通過(guò)畫(huà)圖認(rèn)識(shí)圖形的本質(zhì)，體會(huì)圖形的內(nèi)在美 【基礎(chǔ)知識(shí)精講】1尺規(guī)作圖：限定只用直尺和圓規(guī)來(lái)完成的畫(huà)圖，稱(chēng)為尺規(guī)作圖注意：這里所指的直尺是沒(méi)有刻度的直尺，由于免去了度量，因此，用尺規(guī)作圖法畫(huà)出的圖形的精確度更高，它在工程繪圖等領(lǐng)域應(yīng)用比較廣泛2尺規(guī)作圖中的最基本、最常用的作圖稱(chēng)為基本作圖3基本作圖共有五種：(1)畫(huà)一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段如圖24-4-1，已知線(xiàn)段DE求作：一條線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段作法：先

4、畫(huà)射線(xiàn)AB然后用圓規(guī)在射線(xiàn)AB上截取ACMN線(xiàn)段AC就是所要作的線(xiàn)段(2)作一個(gè)角等于已知角如圖24-4-2，已知AOB求作：AOB，使AOBAOB作法：作射線(xiàn)OA；以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于C，交OB于D以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)C長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于C以點(diǎn)C為圓心，以CD為半徑作弧，交前弧于D經(jīng)過(guò)點(diǎn)D作射線(xiàn)OB，AOB就是所求的角(3)作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)如圖24-4-3，已知線(xiàn)段AB求作：線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)作法：分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)C和D作直線(xiàn)CD直線(xiàn)CD就是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)注意：直線(xiàn)CD與線(xiàn)段AB的交點(diǎn)，就是AB的中點(diǎn)(4)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)作已

5、知直線(xiàn)的垂線(xiàn)a經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，如圖24-4-4已知：直線(xiàn)AB和AB上一點(diǎn)C，求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作法：作平角ACB的平分線(xiàn)CF直線(xiàn)CF就是所求的垂線(xiàn)，如圖24-4-4b經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)如圖24-4-5，已知：直線(xiàn)AB和AB外一點(diǎn)C求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作法：任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁以C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E分別以D和E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F作直線(xiàn)CF直線(xiàn)CF就是所求的垂線(xiàn)注意：經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)上的一點(diǎn)，作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)轉(zhuǎn)化成畫(huà)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的方法解決(5)平分已知角如圖24-4-6，已知AOB

6、求作：射線(xiàn)OC，使AOCBOC作法：在OA和OB上，分別截取OD、OE分別以D、E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，在AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C作射線(xiàn)OCOC就是所求的射線(xiàn)注意：以上五種基本作圖是尺規(guī)作圖的基礎(chǔ)，一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖，都是由基本作圖組成的，同學(xué)捫要高度重視，努力把這部分內(nèi)容學(xué)習(xí)好通過(guò)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要掌握下列作圖語(yǔ)言：(1)過(guò)點(diǎn)×和點(diǎn)×畫(huà)射線(xiàn)××，或畫(huà)射線(xiàn)××(2)在射線(xiàn)××上截取××××(3)以點(diǎn)×為圓心，××為半徑畫(huà)弧(4)以點(diǎn)

7、15;為圓心，××為半徑畫(huà)弧，交××于點(diǎn)×(5)分別以點(diǎn)×，點(diǎn)×為圓心，以××，××為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)×(6)在射線(xiàn)××上依次截取××××××(7)在×××的外部或內(nèi)部畫(huà)××××××注意：學(xué)過(guò)基本作圖后，在作較復(fù)雜圖時(shí)，屬于基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過(guò)程，只用一句話(huà)概括敘述就可以了如：(1)畫(huà)線(xiàn)

8、段××××(2)畫(huà)××××××(3)畫(huà)××平分×××，或畫(huà)×××的角平分線(xiàn)(4)過(guò)點(diǎn)×畫(huà)××××，垂足為點(diǎn)×(5)作線(xiàn)段××的垂直平分線(xiàn)××，等等但要注意保留全部的作圖痕跡，包括基本作圖的操作程序，不能因?yàn)樽鞣ǖ臄⑹鍪÷远鲌D就不按程序操作，只有保留作圖痕跡，才能反映出作圖的操作是否合理 【經(jīng)典例題精講】例1

9、  已知兩邊及其夾角，求作三角形如圖24-4-7，已知：，線(xiàn)段a、b，求作：ABC，使A，ABa，ACb作法：作MAN在射線(xiàn)AM、AN上分別作線(xiàn)段ABa，ACb連結(jié)BC如圖24-4-8，ABC即為所求作的三角形注意：一般幾何作圖題，應(yīng)有下面幾個(gè)步驟：已知、求作、作法，比較復(fù)雜的作圖題，在作圖之前可根據(jù)需要作一些分析 例2  如圖24-4-9，已知底邊a，底邊上的高h(yuǎn)，求作等腰三角形已知線(xiàn)段a、h求作：ABC，使ABAC，且BCa，高ADh分析：可先作出底邊BC，根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)，可再作出BC的垂直平分線(xiàn)，從而作出BC邊上的高AD，

10、分別連結(jié)AB和AC，即可作出等腰ABC來(lái)作法：(1)作線(xiàn)段BCa(2)作線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)MN，MN與BC交于點(diǎn)D(3)在MN上截取DA，使DAh(4)連結(jié)AB、AC如圖24-4-10，ABC即為所求的等腰三角形 例3  已知三角形的一邊及這邊上的中線(xiàn)和高，作三角形如圖24-4-11，已知線(xiàn)段a，m，h(m>h)求作：ABC使它的一邊等于a，這邊上的中線(xiàn)和高分別等于m和h(m>h)分析：如圖24-4-12，假定ABC已作出，其中BCa，中線(xiàn)ADm，高AEh，在AED中ADm，AEh，AED90°，因此這個(gè)RtAED可以作出來(lái)(AED為奠基三

11、角形)當(dāng)RtAED作出后，由的關(guān)系可作出點(diǎn)B和點(diǎn)C，于是ABC即可得到作法：(1)作AED，使AED90°，AEh，ADm(2)延長(zhǎng)ED到B，使(3)在DE或BE的延長(zhǎng)線(xiàn)上取(4)連結(jié)AB、AC則ABC即為所求作的三角形注意：因?yàn)槿切沃?，一邊上的高不能大于這邊上的中線(xiàn)，所以如果h>m，作圖題無(wú)解；若mh，則作出的圖形為等腰三角形 例4  如圖24-4-13，已知線(xiàn)段a求作：菱形ABCD，使其半周長(zhǎng)為a，兩鄰角之比為12分析：因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?，“半周長(zhǎng)為a”就是菱形邊長(zhǎng)為，為此首先要將線(xiàn)段a等分，又因?yàn)榱庑螌?duì)邊平行，則同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，由“鄰角之比為1

12、2”可知，菱形較小內(nèi)角為60°，則菱形較短對(duì)角線(xiàn)將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形所以作圖時(shí)只要作出兩個(gè)有公共邊的等邊三角形，則得到的四邊形即為所求的菱形ABCD作法：(1)作線(xiàn)段a的垂直平分線(xiàn)，等分線(xiàn)段a(2)作線(xiàn)段AC，使(3)分別以A、C為圓心，為半徑，在AC的兩側(cè)畫(huà)弧，兩弧分別交于B，D(4)分別連結(jié)AB、BC、CD、DA得到四邊形ABCD，則四邊形ABCD為所求作的菱形(如圖24-4-14)注意：這種通過(guò)先畫(huà)三角形，然后再畫(huà)出全部圖形的方法即為“三角形奠基法” 例5  如圖24-4-15，已知AOB和C、D兩點(diǎn)求作一點(diǎn)P，使PCPD，且使點(diǎn)P到AO

13、B的兩邊OA、OB的距離相等分析：要使PCPD，則點(diǎn)P在CD的垂直平分線(xiàn)上，要使點(diǎn)P到AOB的兩邊距離相等，則P應(yīng)在AOB的角平分線(xiàn)上，那么滿(mǎn)足題設(shè)的P點(diǎn)就是垂直平分線(xiàn)與角平分線(xiàn)的交點(diǎn)了作法：(1)連結(jié)CD(2)作線(xiàn)段CD的中垂線(xiàn)l(3)作AOB的角平分線(xiàn)OM，交l于點(diǎn)P，P點(diǎn)為所求注意：這類(lèi)定點(diǎn)問(wèn)題應(yīng)需確定兩線(xiàn)，兩直線(xiàn)的交點(diǎn)即為定點(diǎn)，當(dāng)然這兩直線(xiàn)應(yīng)分別滿(mǎn)足題目的不同要求 【中考考點(diǎn)】例6  (2000·安徽省)如圖24-4-16，直線(xiàn)表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有(  &

14、#160; )A一處                                               

15、60; B二處C三處                                               

16、60; D四處分析：到直線(xiàn)距離相等的點(diǎn)在相交所構(gòu)成的角的平分線(xiàn)上，可利用作角平分線(xiàn)的方法找到這些點(diǎn)解：分別作相交所構(gòu)成的角平分線(xiàn)，共可作出六條，三條角平分線(xiàn)相交的交點(diǎn)共有四個(gè)答案：D注意：本題應(yīng)用了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，在具體作圖時(shí)，不可只作出位于中心位置的一處，而要全面考慮其他滿(mǎn)足條件的點(diǎn) 例7  (2002·陜西省)如圖24-4-17，ABC是一塊直角三角形余料，C90°，工人師傅要把它加工成個(gè)正方形零件，使C為正方形的個(gè)頂點(diǎn)，其他三個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、BC、AC邊上(1)試協(xié)助工人師傅用尺規(guī)畫(huà)出裁割線(xiàn)(不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡)；(2)工

17、人師傅測(cè)得AC80 cm，BC120cm，請(qǐng)幫助工人師傅算出按(1)題所畫(huà)裁割線(xiàn)加工成的正方形零件的邊長(zhǎng)解：(1)作ACB的平分線(xiàn)與AB的交點(diǎn)E即為正方形頂點(diǎn)，作CE線(xiàn)段的中垂線(xiàn)HK與AC、BC的交點(diǎn)F、D即為所作正方形另兩個(gè)頂點(diǎn)，如圖24-4-17(2)設(shè)這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為x cm，DEAC，x48答：這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為48cm注意：本題是幾何作圖和幾何計(jì)算相結(jié)合題目，要求讀者對(duì)基本作圖務(wù)必掌握，同時(shí)對(duì)作出圖形的性質(zhì)要清楚 例8  (2002·山西省)如圖24-4-18，有一破殘的輪片(不小于半個(gè)輪)，現(xiàn)要制作一個(gè)與原輪片同樣大小的圓形零件，請(qǐng)

18、你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)，設(shè)計(jì)兩種方案，確定這個(gè)圓形零件的半徑分析：欲確定這個(gè)圓形零件的半徑，可以借助三角板，T形尺或尺規(guī)作圖均可，圖中是這個(gè)零件的半徑，圖中OB是這個(gè)零件半徑解：如圖24-4-18所示 【常見(jiàn)錯(cuò)誤分析】例9  如圖24-4-19，已知線(xiàn)段a、b、h求作ABC，使BCa，ACb，BC邊上的高ADh并回答問(wèn)題，你作出的三角形唯一嗎？從中你可以得到什么結(jié)論呢？錯(cuò)解：(1)作法：作RtADC，使ADh，ACb在直線(xiàn)CD上截取CBa如圖24-4-20，則ABC就是所求作的三角形(2)作出的三角形唯一(3)得出結(jié)論：有兩邊及一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等誤區(qū)分

19、析：本題錯(cuò)解在于忽略了三角形的高可能在三角形內(nèi)部也可能在三角形的外部正解：如圖24-4-21，作法：作RtADC，使ADh，ACb在直線(xiàn)CD上截取CBa(在點(diǎn)C的兩側(cè))則ABC，ABC都是所求作三角形(2)作出的三角形不唯一(3)得出結(jié)論有兩邊及邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩三角形不一定全等注意：與三角形的高有關(guān)的題目應(yīng)慎之又慎 【學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)】學(xué)習(xí)本單元基本作圖，主要是運(yùn)用觀察法，通過(guò)具體的操作，了解各種基本作圖的步驟，掌握作圖語(yǔ)言 【規(guī)律總結(jié)】畫(huà)復(fù)雜的圖形時(shí)，如一時(shí)找不到作法，般是先畫(huà)出一個(gè)符合所設(shè)條件的草圖，再根據(jù)這個(gè)草圖進(jìn)行分析，逐步尋找畫(huà)圖步驟有時(shí)，也可以根據(jù)已知條件和基本

20、作圖，先作局部三角形，再以此為基礎(chǔ)，根據(jù)有關(guān)條件畫(huà)出其余部分，從而完成全圖，這種方法稱(chēng)為三角形奠基法考點(diǎn)一 尺規(guī)作圖 1定義：只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖 2步驟： (1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫(xiě)出已知和求作部分； (2)分析作圖的方法和過(guò)程； (3)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖； (4)寫(xiě)出作法步驟，即作法 考點(diǎn)二 五種基本作圖 1作一線(xiàn)段等于已知線(xiàn)段； 2作一個(gè)角等于已知角； 3作已知角的平分線(xiàn)； 4過(guò)一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)； 5作已知線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn) 考點(diǎn)三 基本作圖的應(yīng)用 1利用基本作圖作三角形 (1)已知三邊作三角形； (2)已知兩邊及其夾角作三角形； (3)已知兩角及其夾邊

21、作三角形； (4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； (5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形 2與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖 (1)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓) (2)作三角形的內(nèi)切圓 尺規(guī)作圖簡(jiǎn)史：“規(guī)”就是圓規(guī)，是用來(lái)畫(huà)圓的工具，在我國(guó)古代甲骨文中就有“規(guī)”這個(gè)字.“矩”就像現(xiàn)在木工使用的角尺，由長(zhǎng)短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長(zhǎng)尺叫股.矩的使用是我國(guó)古代的一個(gè)發(fā)明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執(zhí)矩，女?huà)z氏手執(zhí)規(guī)”之圖形.矩不僅可以畫(huà)直線(xiàn)、直角，加上刻度可以測(cè)量，還可以代替圓規(guī).甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.史記卷二記載大禹治水時(shí)“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩”.趙爽注周髀算經(jīng)中有“禹治洪水，望山川之形，定高下之勢(shì)，乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測(cè)量地勢(shì)的高低，就必定要用勾股的道理.這也說(shuō)明矩起源于很遠(yuǎn)的中國(guó)古代.春秋時(shí)代也有不少著作涉及規(guī)矩的論述，墨子卷七中說(shuō)“輪匠(制造車(chē)子的工匠)執(zhí)其規(guī)矩，以度天下之方圓.”孟子卷四中說(shuō)“離婁(傳說(shuō)中目力非常強(qiáng)的人)之明，公輸子(即魯班，傳說(shuō)木匠的祖師)之巧，不以