初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典習(xí)題

1、?二次函數(shù)?知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一. 二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù).這里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)二. 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)表達(dá)式 (a0)a值圖像開(kāi)口 方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn) 坐標(biāo)增減性最值y=ax2a0向上y軸0，0當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，即=0a0向下y軸0，0當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x=0時(shí)，

2、y有最大值，即=0y=ax2+ka0向上y軸0，k當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值，即=ka0向下y軸0，k當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即=ky=a(x-h)2a0向上直線(xiàn)x=hh，0當(dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x=h時(shí)，y有最小值，即=0a0向下直線(xiàn)x=hh，0當(dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x0時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x=h時(shí)，y有最大值，即=0y=a(x-h)2+ka0向上直線(xiàn)x=hh，k當(dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x=h時(shí)，y有最小

3、值，即=ka0向下直線(xiàn)x=hh，k當(dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)xh時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x=h時(shí)，y有最大值，即=ky=ax2+bx+c可化為：y=a(x+2+a0向上直線(xiàn)x=-，當(dāng)x-時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x-時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x=-時(shí)，y有最小值，=a0向下直線(xiàn)x=-，當(dāng)x-時(shí)，y隨x的增大而減小當(dāng)x-時(shí)，y隨x的增大而增大當(dāng)x=-時(shí)，y有最大值，即y最大值=三. 二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟： 將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)； 保持拋物線(xiàn)的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的根底上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移

4、概括成八個(gè)字“左加右減自變量，上加下減常數(shù)項(xiàng) 溫馨提示 二次函數(shù)圖像間的平移可看作是頂點(diǎn)間的平移，因此只要掌握了頂點(diǎn)是如何平移的，就掌握了二次函數(shù)圖像間的平移. 四.二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即，其中五二次函數(shù)解析式的三種表示方法名稱(chēng)解析式使用范圍一般式任意三個(gè)點(diǎn)頂點(diǎn)式頂點(diǎn)h，k及另一點(diǎn)交點(diǎn)式與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)及另一個(gè)點(diǎn)溫馨提示 任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與軸有交點(diǎn)，即時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化，將頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)就

5、可轉(zhuǎn)化為一般式，把一般式配方、因式分解就可轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式. 六二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項(xiàng)系數(shù)【a決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，|a|決定拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小】 當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，的值越大，開(kāi)口越小，a的值越小，開(kāi)口越大； 當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，的值越大，開(kāi)口越大，的值越大，開(kāi)口越大 注：|a|越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小，|a|越小，拋物線(xiàn)開(kāi)口越大 拋物線(xiàn)的形狀相同，即|a|相同.2. 一次項(xiàng)系數(shù)【由a和對(duì)稱(chēng)軸共同決定】 對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，a，b同號(hào)；對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)，a，b異號(hào).左同右異 b為0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸 3. 常數(shù)項(xiàng) 當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)在軸上方，即拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)

6、的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為； 當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)在軸下方，即拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù) 總結(jié)起來(lái)，決定了拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的位置七二次函數(shù)圖象拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)情況的判斷： yax2+bx+c a0，a、b、c都是常數(shù) 1.=b²-4ac0拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) 2.=b²-4ac=0拋物線(xiàn)與x軸有一個(gè)交點(diǎn) 3.=b²-4ac0拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的上方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時(shí)，圖象落在軸的下方，無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，都有 八.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的解之間的關(guān)系：1.二次函數(shù)yax

7、2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.因此利用二次函數(shù)圖象可求以x為未知數(shù)的一元二次方程ax2+bx+c0的解從圖象上進(jìn)行判斷.2.二次函數(shù)yax2+bx+c在x軸上方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次不等式ax2+bx+c0的解；在x軸下方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次不等式ax2+bx+c0的解. 九.二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)應(yīng)用二次函數(shù)拋物線(xiàn)簡(jiǎn)單的圖形變換1頂點(diǎn)式【a0】名稱(chēng)a頂點(diǎn)h，k平移a(h， k) 左加右減 上加下減對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)-a(h，-k)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)a(-h，k)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)-a(-h，-k)旋轉(zhuǎn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°-a(h，k)

8、2一般式【a0】平移：如將二次函數(shù)向右平移m(m0)個(gè)單位，再向下平移nn0個(gè)單位，得到對(duì)稱(chēng)名稱(chēng)a、b、c的變化解析式變化關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)a-a; b-b; c-cy=ax²+bx+cy=-ax²-bx-c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)a不變；b-b；c不變y=ax²+bx+cy=ax²-bx+c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)a-a；b不變；c-cy=ax²+bx+cy=-ax²+bx-c注：無(wú)論是平移、軸對(duì)稱(chēng)還是旋轉(zhuǎn)，最好先把二次函數(shù)化成頂點(diǎn)式，然后再根據(jù)需要進(jìn)行求解. 二次函數(shù)對(duì)應(yīng)練習(xí)試題一.選擇題1.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是( )A.(2,11) B.2，7 C.2，11

9、 D. 2，32.把拋物線(xiàn)向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線(xiàn)是 A. B. C. D.3.函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的( )4.二次函數(shù)的圖象如下列圖,那么以下結(jié)論: a,b同號(hào);當(dāng)和時(shí),函數(shù)值相等;當(dāng)時(shí), 的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)5.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)-1，-3.2及局部圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根分別是 A.-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 二次函數(shù)的圖象如下列圖，那么點(diǎn)在 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.方程的正根的個(gè)數(shù)為 A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè). 3

10、 個(gè)8.拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),與軸交于點(diǎn)C,且OC=2.那么這條拋物線(xiàn)的解析式為A. B. C. 或 D. 或二填空題9二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是，那么_.10拋物線(xiàn)y=-2x+3²+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_.11一個(gè)函數(shù)具有以下性質(zhì)：圖象過(guò)點(diǎn)1，2，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；滿(mǎn)足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 只寫(xiě)一個(gè)即可.12拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為C，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)C，那么這條直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 .13. 二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位得到的,那么b= ,c= .14如圖，一橋拱呈拋物線(xiàn)狀，橋的最大高

11、度是16米，跨度是40米，在線(xiàn)段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是 (取3.14).三解答題：15.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是,圖象經(jīng)過(guò)(1,-6),且與軸的交點(diǎn)為(0,).(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0?第15題圖(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大?16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h米和時(shí)間t秒符合關(guān)系式 0<t2，其中重力加速度g以10米/秒2計(jì)算這種爆竹點(diǎn)燃后以v0=20米/秒的初速度上升，1這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間離地15米？2在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說(shuō)

12、明理由. 17.如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為D.1求此拋物線(xiàn)的解析式；2點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使：5 ：4的點(diǎn)P的坐標(biāo)。(3)點(diǎn)M為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，寫(xiě)出使點(diǎn)M、A、B、D為平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)18. 紅星建材店為某工廠(chǎng)代銷(xiāo)一種建筑材料這里的代銷(xiāo)是指廠(chǎng)家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠(chǎng)家負(fù)責(zé)處理當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷(xiāo)售量為45噸該建材店為提高經(jīng)營(yíng)利潤(rùn)，準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷(xiāo)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷(xiāo)售量就會(huì)增加7. 5噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付

13、廠(chǎng)家及其它費(fèi)用100元設(shè)每噸材料售價(jià)為x元，該經(jīng)銷(xiāo)店的月利潤(rùn)為y元1當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷(xiāo)售量；2求出y與x的函數(shù)關(guān)系式不要求寫(xiě)出x的取值范圍；3該建材店要獲得最大月利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？4小靜說(shuō)：“當(dāng)月利潤(rùn)最大時(shí)，月銷(xiāo)售額也最大你認(rèn)為對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由19.某商場(chǎng)試銷(xiāo)一種本錢(qián)為60元/件的T恤，規(guī)定試銷(xiāo)期間單價(jià)不低于本錢(qián)單價(jià)，又獲利不得高于40%，經(jīng)試銷(xiāo)發(fā)現(xiàn)，銷(xiāo)售量y件與銷(xiāo)售單價(jià)x元/件符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=70時(shí)，y=50；x=80時(shí)，y=40；1求出一次函數(shù)y=kx+b的解析式2假設(shè)該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為w元，試寫(xiě)出利潤(rùn)w與銷(xiāo)售單價(jià)x之間的關(guān)系式，銷(xiāo)售單價(jià)定為多少

14、時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？二次函數(shù)應(yīng)用題訓(xùn)練1.心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)概念的接受能力y與提出概念所用的時(shí)間x分之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系：y = -0.1x2 +2.6x + 43 (0x30). 1當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步增強(qiáng)？當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，學(xué)生的接受能力逐步減弱？2第10分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力是多少？3第幾分鐘時(shí)，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？2.如圖,ABC是一等腰三角形鐵板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.假設(shè)在ABC上截出一矩形零件DEFG,使EF在BC上,點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上.問(wèn)矩形DEFG的最大面積是多少?3.銳角ABC中，邊BC長(zhǎng)為12，高AD

15、長(zhǎng)為8(1) 如圖，矩形EFGH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K 求的值 設(shè)EHx，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值(2) 假設(shè)ABAC，正方形PQMN的兩個(gè)頂點(diǎn)在ABC一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在ABC的另兩邊上，直接寫(xiě)出正方形PQMN的邊長(zhǎng)4.如圖,ABC中,B=90°,AB=6cm,BC=12cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始,沿AB邊向點(diǎn)B 以每秒1cm的速度移動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始,沿著B(niǎo)C邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng).如果P,Q 同時(shí)出發(fā),問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒鐘PBQ的面積最大?最大面積是多少?5.如圖,隧道的截面由拋物線(xiàn)AED和

16、矩形ABCD構(gòu)成,矩形的長(zhǎng)BC為8m,寬AB為2m,以BC所在的直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.y軸是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸,頂點(diǎn)E到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為6m.(1)求拋物線(xiàn)的解析式;(2)一輛貨運(yùn)卡車(chē)高4.5m,寬2.4m,它能通過(guò)該隧道嗎?(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道,為了平安起見(jiàn),在隧道正中間設(shè)有0.4m的隔離帶,那么該輛貨運(yùn)卡車(chē)還能通過(guò)隧道嗎?【舉一反三】如圖,隧道的截面由圓弧AED和矩形ABCD構(gòu)成,矩形的長(zhǎng)BC為12m,寬AB為3m,隧道的頂端E(圓弧AED的中點(diǎn))高出道路(BC)7m.求圓弧AED所在圓的半徑;如果該隧道內(nèi)設(shè)雙行道,現(xiàn)有一輛超高貨運(yùn)卡車(chē)高6.5m,寬2

17、.3m,問(wèn)這輛貨運(yùn)卡車(chē)能否通過(guò)該隧道.6.如圖，一位運(yùn)發(fā)動(dòng)在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線(xiàn)是拋物線(xiàn)，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時(shí)，到達(dá)最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.籃圈中心到地面的距離為3.05米.(1)建立如下列圖的直角坐標(biāo)系，求拋物線(xiàn)的表達(dá)式;(2)該運(yùn)發(fā)動(dòng)身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問(wèn)：球出手時(shí)，他跳離地面的高度是多少.7.如圖，要建一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻，如果用50 m長(zhǎng)的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場(chǎng)，設(shè)它的長(zhǎng)度為x m.(1)要使雞場(chǎng)面積最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)度應(yīng)為多少m？(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場(chǎng)面積

18、最大，雞場(chǎng)的長(zhǎng)應(yīng)為多少m？比較(1)(2)的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？8.某商場(chǎng)以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷(xiāo)售量m(件)與每件的銷(xiāo)售價(jià)x(元)滿(mǎn)足關(guān)系：m=1402x.(1)寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)y與每件的銷(xiāo)售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果商場(chǎng)要想每天獲得最大的銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最適宜？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？ 二次函數(shù)專(zhuān)題復(fù)習(xí) 圖像特征與a、b、c、符號(hào)的關(guān)系1.二次函數(shù)，如下列圖，假設(shè)，那么它的圖象大致是 2.二次函數(shù)的圖象如下列圖，那么點(diǎn)(ac，bc)在 A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.二次函數(shù)的圖象如下，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 A. B. C. D.4. 二次函數(shù)y=ax2+bx+ca0的圖象如下列圖，那么以下結(jié)論： a>0；c>0；b2-4ac>0，其中正確的個(gè)數(shù)是 A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)5.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像如圖1，那么點(diǎn)Mb，在 A