導(dǎo)數(shù)大題——雙零點(diǎn)問(wèn)題

1、1已知函數(shù)f XIn XX(1)若對(duì)任意X 0,2Xkx恒成立，求k的取值范圍;試卷第6頁(yè)，總10頁(yè)1(2)若函數(shù)g X f Xm有兩個(gè)不同的零點(diǎn) Xi , X2 ,證明：Xi X2 2.XI答案】( m X在一,1上單調(diào)遞增， m X m 1e3e,【詳解】(1)解:X2kX對(duì)任意X 0, 恒成立，得2ln X對(duì)任意X0, 恒成立.2ln X3-，X1 3ln X在 h(0,則10,e3 上,Xmaxh e31e31單調(diào)遞增；在 e2,上,h X單調(diào)遞減.-,則k -,即k的取值范圍為3e3e3e(2)證明：設(shè) X1 X2 , g XIn X 1Xm ,貝U g XIn X-2X g 11

2、m,1g 仃e,當(dāng)X時(shí)，g Xm ,且 g Xm , 0 m 1 ,1X11 X2,e要證X1 X22,即證X22X1. X21 ,2X11, g :X在1,上單調(diào)遞減，只需證明g X2g 2 X1.由g X1g X2 ,只需證明g Xg 2X1令 m X g Xg 2 X ,X1,1 .m XIn XIn 2 X22eX2 X1 X -,1 , InX 0,22 X2 _InX In 2XInX 2 X0,X, 22e2 X2 X0 , g X單調(diào)遞增；在1,上, g X 0, g X單調(diào)遞減.在 0,1 上, g X0,即 m X 0 , x1X22.2.已知函數(shù) f Xmsin 1 X

3、Inx.(1) 當(dāng) m1時(shí)，求函數(shù)f X在0,1的單調(diào)性；(2) 當(dāng) m0且a記 It t - 2l nt , tt時(shí)，g X1af X,求函數(shù)g X在0,e上的最小值；eX(3) 當(dāng) m10時(shí)，h( Xf Xb有兩個(gè)零點(diǎn)X1,X2 ,且 X1 X2 ,求證：X1 X2 12x(1)由題意，函數(shù)f XSin 1XIn xfXcos 1X1X又X 0,1 , 1 1,COS 1X1, fX0, f X在0,1上單調(diào)遞增X1 11aax1(2)由g Xaf XalnX,則gX-22 ,X XXXX(1)當(dāng)a 0時(shí)，X0,e , gX0,【答案】(1) f X在0,1上單調(diào)遞增(2) g X i丄a

4、In e此時(shí)圖數(shù)g X在區(qū)間0,e上單調(diào)遞減，11函數(shù)g X在X e處取得最小值，即 g X i g( e - a ； Ine1(2)當(dāng) a 0 時(shí)，令 g X 0 Xa11當(dāng)e時(shí)，即當(dāng)一a 0, X 0,e , g X 0,ae即 g Xmin11g e -a ；綜上所得g X min g ea .ee(3)證明：根據(jù)題意，h X In X1b X 0 , V X1, X2 是函數(shù) h X2x此時(shí)函數(shù)g X在區(qū)間0,e上單調(diào)遞減，函數(shù)g X在X e處取得最小值,In X2xb的兩個(gè)零點(diǎn), In X112 X1b 0 , In X212 X2兩式相減，可得In11即 In xLX1X2X22X

5、22X1 ,X22x2x1X1X2X1X2X1 ,貝U X12lnX2_X-11X2×2×1×2X1X12ln2ln×2×2令 tJXL , tX20,1 ,則X1X22lnt2lnt2ln t0,1 ,則 Itt 12r又 t 0,1 , I t0恒成立，故I t1I 1 ,即 t - 2ln tt1 t _ 0.可得 t2l ntX21 .3.已知函數(shù)f X axlnx b(a,b為實(shí)數(shù))的圖像在點(diǎn)1,f 1處的切線方程為y x 1.(1)求實(shí)數(shù)a,b的值及函數(shù)fX的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù)g X證明g X1g X2(Xi X2)時(shí),X1 X

6、2 2.【答案】a 1,bX的單調(diào)遞減區(qū)間為10,-,單調(diào)遞增區(qū)間為e;(2)詳見解析.(1)由題得，函數(shù)f的定義域?yàn)?0,a 1 Inx ,因?yàn)榍€f X在點(diǎn)1,f1處的切線方程為所以1,aln10,解得a1,b0.InX1時(shí),eX在區(qū)間0,1e內(nèi)單調(diào)遞減;1在區(qū)間 -e內(nèi)單調(diào)遞增.所以函數(shù)f X的單調(diào)遞減區(qū)間為0丄e,單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由(1)得，g XInX由 g X1 g X2 (X1 X2),得要證広：- K加戈,需證X1 X 2X 2設(shè)XIt(t八X21),則要證X1令 u(t)1 2lnt ,則 u' t t1Inx 21X2 ,即X2-X1X1X2:1 ×1

7、-X1X2X2X12ln,即證X2X1X1X22lnX2等價(jià)于證：t1X1t212110，t2ttXInx2ln t(t 1).110,tX2X1X1X22lnx ,X1InXI0X1 U t在區(qū)間1,內(nèi)單調(diào)遞增,即 t 1 2lnt ,故 X1 X22.t4.已知函數(shù) f X xInx 2ax2 X, a R .(I)若f X在0,內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;()若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為 X1 , X2 ,證明：X1 X212a【答案】( )見證明(I) flnx4ax. f X 在 0,內(nèi)單調(diào)遞減,X Inx 2 4ax 0在0,內(nèi)恒成立,即4aln X2在X0,內(nèi)恒成立令gIn X

8、 2則gX X1 In X2 ，X當(dāng) O0 ,即g X在0,e內(nèi)為增函數(shù)；當(dāng)-時(shí)，g X 0 ,即 g X 在 1,ee內(nèi)為減函數(shù). g X的最大值為( )若函數(shù)fX有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為X1 ,X2 ,則 f X InX2 4ax O在 0,內(nèi)有兩根X1 ,X2 ,由( I),知0a由224ax1In X224ax2不妨設(shè)0X1X2 ,要證明X1X2-410,兩式相減，得0InM Inx24a x1 X2 即證明-X1,只需證明2aXiX24a x1 X22a In x1 In X2邑 Inx1X1 X22In x2 ,亦即證明-X17/ r _ I 令函數(shù)l' I 1'.

9、47;1 h'(x) (X I)2X(X 1)即函數(shù)h X 0,1 時(shí)，有 hX2X1沁1 X2 X2X在0,1內(nèi)單調(diào)遞減. 2(x 1)In X 2即不等式-XLX2XLIn魚成立.X2綜上，得xX212aX211試卷第8頁(yè)，總10頁(yè)X2e5.已知函數(shù)f X a In X2 X 0 .XX試卷第10頁(yè)，總10頁(yè)(1)-H-若a 0，求函數(shù)g XXf X的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)f X在區(qū)間0,2內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)Xi、X2XiX2 ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)(2)的基礎(chǔ)上，求證:x1x22ln a【答案】(1)單增區(qū)間為1,單減區(qū)間為0,1 ；(2)(1) a0 時(shí)，g X0，則 g X

10、0 ,得X0 ,得 0 X1因此，函數(shù)X的單增區(qū)間為1,單減區(qū)間為0,1 ;(2) f2exXX 2(2 x) ex axXX3,其中由題意可知,x1、x2是函數(shù)yex ax在區(qū)間0,2內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn).由 eX axXe-,結(jié)合(X1),則問(wèn)題也等價(jià)于g X a在區(qū)間0,2有兩個(gè)零點(diǎn),從而，可轉(zhuǎn)化為直線g X的圖象在X0,2上有兩個(gè)交點(diǎn),O1由(1)知，函數(shù)yX在0,1上單減，在1,2上單增,而當(dāng)X 0時(shí)，g，g X min g 1 e，2e,如圖所示:2由圖象可知，當(dāng)e2e時(shí)，直線y2a與函數(shù)y在區(qū)間0,2上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3)由(2)可知，X1、X2 為 gXeX

11、a在區(qū)間0,2內(nèi)的兩個(gè)根，且0X11X22 ,其中X1是函數(shù)yg X的極小值點(diǎn)，e aI gX1ae51ax1XIn aIn X1由,可得 122In agX2aex2ax2X2In aIn X2故所證X1x2 2ln aIn x1200X1X21 .X2In x1x2e20,1 ,即證Int2 tX1F面證明出-In X1X2In X2.X1X2 ,即證In乞X2XiX2X1X2X1X2X2.設(shè)tXiXiX20 t 1構(gòu)造函數(shù) t t12Int I ,其中1 ,則1|所以，函數(shù)yt在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增,當(dāng)0 t 1時(shí),0.所以,12In t -0 ,t所以,X1In x1In X2將等式X

12、1In aX2In aIn N兩式相減得X1In X2X2In x1InX1In X1X2In X2X1X2In 1In X21，因此，0X1X21.所以，X1 X2 2In26已知函數(shù)f (x) X5x2In X .(1)求f (X)的極值；(2)若fX1f X2f X3 ,且 X1X2X3,證明：X1X2【答案】(1) f(x)極大值為42In 2 ；極小值為2ln 2 ；(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,f (x) 2x 5(2x 1)(x 2)(X 0),1所以當(dāng)X %(2,)時(shí),f (X)0;當(dāng) X1,2時(shí),f (X)0,則f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0<2和(2,),單調(diào)遞減區(qū)間

13、為-,2 .2故f (X)的極大值為f -22Ini2In 2 ； f (x)的極小值為4f(2)4 102I n26 2In2.(2)證明：由(1)知0X1X2X3,設(shè)函數(shù) F(X) f (x)f(1X),X0,1 ,則2F(X)X2 5 2In XX 2In 1 X , F (x)(2x1)(xX2)(2 X 1)(x1 X1)22(2 X 1)2,則x(1 x)F (x)10, 上恒成立，即F (x)在210,上單調(diào)遞增故F(X)210,則F(X)f (X)f(1 x) 0,即 f() f(1X)在0E上恒成立因?yàn)閄1102 ,所以f X1X1 ,又 f X2f X1則f X2X1因?yàn)?

14、,1 X11,2 ,且 f(x)在 12,2上單調(diào)遞減，所以X21X1 ,故 X1X21.2試卷第12頁(yè)，總10頁(yè)XX 1 e2XX1 X2 ,x1 x2故要證丁 lna,即證e丁a ,即證ex e - eX| X2,即證eX1X2e"1X1 X2X 127.已知函數(shù)f X e ax 1有兩個(gè)極值點(diǎn)X1,X2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)). 2(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；求證: X2 x2In a1 X(1)由 f XeXax2 1 ,得 f' XeXax,2由題意知函數(shù)f X有兩個(gè)極值點(diǎn)，f ' X0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解X即方程a -(X 0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解XX即方程g X

15、 -(X 0)有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解XX設(shè) g X -(X 0),則 g ' X Xg X在(，°)上單調(diào)遞減，0,1上單調(diào)遞減,(I,)上單調(diào)遞增作出函數(shù)圖象知當(dāng) a e時(shí),直線y a與函數(shù)g X有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a e時(shí)f X有兩個(gè)極值點(diǎn)，綜上所述,a e.因?yàn)閄1,X2是f X的兩個(gè)極值點(diǎn)，X1 X2 ,Xl X2x1CXaC e -ee -ay 0,e -ax20, a試卷第14頁(yè)，總10頁(yè)不妨設(shè)X1 X2,即證x22 t O,即證2tet e2t 10設(shè) Ft 2tetet 1 t 0 ,則 F ' t 2e t 1 et易證 t 1 et, F' t0

16、 ,所以Ft在(-,0)上遞減.F tF 00,得證2tet e2t 1 0 .綜上所述：寧lna成立,8已知函數(shù)f (X) e X .,0單調(diào)遞減；.X(1)討論f(x)的單調(diào)性;Xi(2)若 f (xjf(X2)，X1 X2 ,求證：eX1 eX2【答案】(1) f X在0,單調(diào)遞增，在(1)函數(shù)f X定義域?yàn)镽, f X eX 1，0,令 f,00,單調(diào)遞增，在,0單調(diào)遞減.X2×1(2)f XiX2 ，不妨設(shè)X2XlX1 ,則 eX1X2X2要證:eXeX22 ,即證:X2eX2X1X2eX1(*)，X2X2 X1eX2eX1X2XieX2 x×2,令tX2Xi，t

17、0,(*)等價(jià)于2et0,2et0,et 12etet 1,1, h' ttet0,恒成立,0,單調(diào)遞增,0 ,故 g t單調(diào)遞增,故原命題得證.試卷第16頁(yè)，總10頁(yè)29.已知函數(shù) f(x) (X 2)In X a X.試卷第18頁(yè)，總10頁(yè)0，求f '(X)的最小值;X在(0,)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍;1 , f (Xi )f (X2),且XiX2,求證：X1X20,解: (1)函數(shù)f ()的定義域?yàn)?0,),f '(x) In X2C2ax ,X若a 0,記 g()f '(X),則 g(x)2In XX 0X,g (X)-1 4(XX X0)0 X2,

18、g'()0;X 2,g'(x)0g ()的單調(diào)減區(qū)間為0,2,單調(diào)增區(qū)間為g(x)min g(2)In 2 1 f '(x)的最小值為In2 1(2) fX 在(0,)上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)f '(x)0在區(qū)間0,恒成立，f'(X)I 2 In XX2ax 0(x0)C In X 2 2a2XX(X 0)記 h(x)(x 0),則 h'(x)XX1 In X 4X XI n X 4(X 0)23XX3 X記 t(x)X XI n X4(x 0),則 t'(x)1 (I nx 1)In X(X 0)0 X1,t(x)0,x1,t'(x

19、)0t(x)max t(1)3 0 t(x)0,h'(x)0【答案】;(3)詳見解析.(1) ln2 1 ；( 2)2,h(X)在(0,)上單調(diào)遞減h(X)IimXInIimXIn XInx ' IimX x'Iim -X X(根據(jù)洛比塔法則2a0.(3)f (X) (X2)In XX2f'(X)In X2x (X0),f '(1) 0g()f '(),g'()X222x22X0), g'()<0f'(X)在(0,)上單減,當(dāng)0I IIf(XI) f(X2), X1 X2時(shí)，f'()f(1)0X1d '

20、;() f '() f '(2 X)In (2X)0,f(x)在(0,1 X2 令 d()1)上單增；當(dāng) Xf() f (2 X) (01 時(shí)，f'()X 1),則f(1) 0,f()在(1 ,上單減;1 時(shí)，I'(t)X)1t2In X 2 +In(2)X4In tt0 d()在(0,4t0,1)上單增,22(2 X)(2 X)I(t),其中令 t (2 X)I(t)在(0,1)單減,I(t)(0,1)I(1) 01 d()d(1)0 f(xj f(2xjf (X2)f (X1)f(2又2 X 1,X2 1, f (X)在(I,)上單調(diào)遞減x22 X1x1X22.X210(較難).已知函數(shù) f (x)(2 x)e , g(x) a(x 1).(1)求曲線y f (x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程;(2)若函數(shù)f (x)和g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為X ,X2 ,求證：XI X2 2.【答案】(1)Xy 20( 2)證明見解析(1)因?yàn)?f (x)(2x)ex ,所以 f (X)ex (2x)ex (1 x)ex ,所以 f(0)1 ,又 f(0)2，所以切線方程為:X 2 ,即 X y 2(2)令 F(X)g(x)f (x