高等數(shù)學(xué)隨堂講義正項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、 收斂性是級(jí)數(shù)研收斂性是級(jí)數(shù)研究中最基本的問(wèn)題究中最基本的問(wèn)題, , 本本節(jié)將對(duì)最簡(jiǎn)單的正項(xiàng)節(jié)將對(duì)最簡(jiǎn)單的正項(xiàng)級(jí)數(shù)建立收斂性判別級(jí)數(shù)建立收斂性判別法則法則. .2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù)學(xué)分析 第 十二章數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)* *四、拉貝判別法四、拉貝判別法三、積分判別法三、積分判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則般判別原則 二、比式判別法和根式判二、比式判別法和根式判別法別法*點(diǎn)擊以上標(biāo)題可直接前往對(duì)應(yīng)內(nèi)容正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)都相同若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的符號(hào)都相同, , 則稱(chēng)為同號(hào)級(jí)數(shù)則稱(chēng)為同號(hào)級(jí)數(shù). . 對(duì)于同號(hào)級(jí)數(shù)對(duì)于同號(hào)級(jí)數(shù), , 只須研究各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級(jí)只

2、須研究各項(xiàng)都是由正數(shù)組成的級(jí) 數(shù)數(shù)(稱(chēng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)稱(chēng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)). .由級(jí)數(shù)與其部分和數(shù)列的關(guān)系，得：由級(jí)數(shù)與其部分和數(shù)列的關(guān)系，得：后退 前進(jìn) 目錄 退出正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則定理12.50(1,2,),iui由由于于證證 所以所以Sn是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列. . 單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是單調(diào)數(shù)列收斂的充要條件是定理定理).).僅靠定義和定理僅靠定義和定理12.5來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性是不來(lái)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性是不 容易的，容易的，斂性判別法則斂性判別法則. . nu正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是收斂的充要條件是:nS有界有界, .nSM即存在某正數(shù)即存在某正數(shù)M, 對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)

3、 n 有有而而這就證明了定理的結(jié)論這就證明了定理的結(jié)論. 該數(shù)列有界該數(shù)列有界(單調(diào)有界單調(diào)有界正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則部分和數(shù)列部分和數(shù)列 因此要建立基于級(jí)數(shù)一般項(xiàng)本身特性的收因此要建立基于級(jí)數(shù)一般項(xiàng)本身特性的收 定理12.6（比較原則）nnuv設(shè)設(shè)和和是是兩兩個(gè)個(gè)正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 如果存在某正數(shù)如果存在某正數(shù)N, , 對(duì)一切對(duì)一切 n N 都有都有 (1)nnuv則則(i),;nnvu若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂(ii),.nnuv若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散 則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散證證 因?yàn)楦淖兗?jí)數(shù)的有限項(xiàng)并不影響原有級(jí)數(shù)的斂因?yàn)楦淖兗?jí)數(shù)的有限項(xiàng)并不影響原有級(jí)數(shù)的斂 因此

4、不妨設(shè)不等式因此不妨設(shè)不等式(1)對(duì)一切正整數(shù)都成立對(duì)一切正整數(shù)都成立. . nnnnSSuv現(xiàn)現(xiàn)在在分分別別以以和和記記級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與的的部部分分和和. .散性散性,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則由由(1)式可得式可得, ,對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù) n, 都有都有 (2)nnSS,lim,nnnvS若若收收斂斂 即即存存在在 則由則由(2)式對(duì)一切式對(duì)一切 n 有有 limnnnSS，nunS即正項(xiàng)級(jí)數(shù)即正項(xiàng)級(jí)數(shù) 的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 有有 由定理由定理12.5級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nu收斂收斂, (ii)為為(i)的逆否命題的逆否命題, ,自然成立自然成立. .(1)nnuv界界,這就證明了這就證明了

5、(i).正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則例例1 21.1nn考察的收斂性考察的收斂性解解 2,n由由于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù) 21(1)nn n 收斂收斂 (1例例5的注的注), 比較原則和定理比較原則和定理12.3, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 211nn 也收斂也收斂. nnnn22111.11nn故由故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則22,0,nnnnuvuv收收斂斂 且且0.0.例例2 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)220nnnnu vuv 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?, 根據(jù)比較原則根據(jù)比較原則, 得到正項(xiàng)級(jí)數(shù)得到正項(xiàng)級(jí)數(shù) nnu v收斂收斂. 在實(shí)際使用上在實(shí)際使用上, ,下面給出的極限形式通常更方便下面給出的極限形

6、式通常更方便. .nnu v則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂. .22,nnuv而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)均收斂，均收斂，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則推論（比較原則的極限形式）,nnuv設(shè)設(shè) 是兩個(gè)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,若若 lim,(3)nnnulv則則(i)0,;nnluv 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,同同斂斂散散(ii)0,;nnlvu當(dāng)當(dāng)且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂(iii),.nnlvu 當(dāng)當(dāng)且且級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也發(fā)發(fā)散散(i)0,;nnluv 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,同同斂斂散散證證 (i) 由由(3), l 對(duì)任給正數(shù)對(duì)任給正數(shù) 存在某正數(shù)存在某正數(shù)N, 當(dāng)當(dāng) n N

7、時(shí)時(shí), ,恒有恒有 nnulv 或或()().(4)nnnlvulv 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則lim,(3)nnnulv由比較原則及由比較原則及(4)式得式得,與與nv同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散. 這就證得了這就證得了(i). . 0l當(dāng)當(dāng)nu級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 時(shí)時(shí), (ii) 當(dāng)當(dāng)l = 0時(shí)時(shí), ,由由(4)式右半部分及比較原則可得式右半部分及比較原則可得, , nvnu級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 收斂收斂, 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 也收斂也收斂. (iii),l 若若則對(duì)于正數(shù)則對(duì)于正數(shù)1, , 當(dāng)當(dāng)n N 時(shí)時(shí), , 都有都有 于是由比較原則知道于是由比較原則知道, 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)nv發(fā)散發(fā)散, 則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)

8、 nu也發(fā)散也發(fā)散. 若若存在相應(yīng)的正數(shù)存在相應(yīng)的正數(shù)N,1nnvu.nnvu 或或正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則lim,(3)nnnulv()().(4)nnnlvulv 例例3 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 12nn是收斂的是收斂的, 以及等比級(jí)數(shù)以及等比級(jí)數(shù) 12n收斂收斂, 式式, ,因?yàn)橐驗(yàn)閚nnn2121limnnnn22limnnn211lim1根據(jù)比較原則的極限形根據(jù)比較原則的極限形 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則12nn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)也也收收斂斂. .例例4 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 111sinsin1sinsin2nn是發(fā)散的是發(fā)散的, 1sinlim1,1nnn根據(jù)比較原則的極限根據(jù)比較原則的極限 1n形式

9、以及調(diào)和級(jí)數(shù)形式以及調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散, 散散. . 因?yàn)橐驗(yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則1sinn也發(fā)也發(fā) 得到級(jí)數(shù)得到級(jí)數(shù) *例例5 判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù) 12 sin1nnn的斂散性的斂散性.1sinlim1,1nnn解解 因?yàn)橐驗(yàn)?12 sin1nnn21n 故可將故可將 與與進(jìn)進(jìn) 行比較行比較. . 12(1sin)lnlime,nnnn212 sinlimnnnnn nnnn1sin12lim正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則由于由于 12211sinlimnnnnn注意到注意到 1lim 1sinlnnnnn 所以所以 12(1sin)lnlime1.nnnn 根據(jù)比較原則根據(jù)比較

10、原則, 原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)收斂.nnnonnln1lim22, 0正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的一般判別原則12 sin1nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性12(1sin)lnlimennnn極極限限211lim 1lnnnonnn比式判別法和根式判別法 本段所介紹的兩個(gè)方法是以等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象本段所介紹的兩個(gè)方法是以等比級(jí)數(shù)作為比較對(duì)象 而得到的而得到的, , 特征就能作出判斷，不需要與已知級(jí)數(shù)進(jìn)行比較特征就能作出判斷，不需要與已知級(jí)數(shù)進(jìn)行比較. .比式判別法和根式判別法但在使用時(shí)只要根據(jù)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)本身的但在使用時(shí)只要根據(jù)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)本身的 定理12.7（達(dá)朗貝爾判別法，或比式判別法）則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) nu收斂收

11、斂.0(ii),nN若對(duì)一切成立不等式若對(duì)一切成立不等式11,(6)nnuu.nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1,(5)nnuqu0(i),nN若對(duì)一切成立不等式若對(duì)一切成立不等式0nuN 設(shè)設(shè)為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，且且存存在在某某正正整整數(shù)數(shù)及及常常數(shù)數(shù)01 .qq（）比式判別法和根式判別法把前把前n-1個(gè)不等式按項(xiàng)相乘后個(gè)不等式按項(xiàng)相乘后, ,得到得到132121,nnnuuuquuu11.nnuu q或或者者由于當(dāng)由于當(dāng)0 q N 時(shí)時(shí), , 有有 1.nnuqqu N,比式判別法和根式判別法1nnuqqu 1,1,qq當(dāng)時(shí) 根據(jù)的取法,有當(dāng)時(shí) 根據(jù)的取法,有由上述不等由上述不等式式的左半部分及

12、比式判別法的的左半部分及比式判別法的 (i), 得正項(xiàng)級(jí)數(shù)得正項(xiàng)級(jí)數(shù) nu是收斂的是收斂的. . 1,1,qq 若則有若則有 根據(jù)上述不等式的左半部分根據(jù)上述不等式的左半部分 及比式判別法的及比式判別法的 (ii), 可得級(jí)數(shù)可得級(jí)數(shù) nu是發(fā)散的是發(fā)散的.11,nnuu.nu所所以以這這時(shí)時(shí)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的,q若若,N則存在則存在時(shí)有時(shí)有當(dāng)當(dāng)Nn 比式判別法和根式判別法例例6 6 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)22 52 5 82 5 823(1),11 51 5 91 5 914(1)nn 由于由于 根據(jù)推論根據(jù)推論1，級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)收斂. .nnuunnnn4132limlim143, 1比式判別法和

13、根式判別法例例7 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù)1(0)nnxx 的斂散性的斂散性.解解 因?yàn)橐驗(yàn)?根據(jù)推論根據(jù)推論1, ,當(dāng)當(dāng) 0 x 1時(shí)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)級(jí)數(shù)發(fā)散散;若若(7)中中q = 1, 這時(shí)用比式判別法不能對(duì)級(jí)數(shù)這時(shí)用比式判別法不能對(duì)級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法*推論2211,nn和和例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù)它們的比式極限都是它們的比式極限都是 1n而而卻是發(fā)散的卻是發(fā)散的.若某級(jí)數(shù)的若某級(jí)數(shù)的(7)式的極限不存在式的極限不存在, ,則可應(yīng)用上、下極則可應(yīng)用上、下極限來(lái)判別收斂性限來(lái)判別收斂性. . 設(shè)設(shè)nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù).1(i)lim1,;nnnuqu若則級(jí)數(shù)收斂若則級(jí)數(shù)收斂1(ii)lim1,;nnn

14、uqu若則級(jí)數(shù)發(fā)散若則級(jí)數(shù)發(fā)散,11nuunn收斂，收斂，但但21n比式判別法和根式判別法解解 由于由于1,nnb nuuc n為為奇奇數(shù)數(shù), ,為為偶偶數(shù)數(shù)故有故有于是當(dāng)于是當(dāng)c 1 1時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(8)收斂收斂; 但當(dāng)?shù)?dāng)b 1 c時(shí)時(shí), ,比式判別法無(wú)法比式判別法無(wú)法 判斷級(jí)數(shù)的斂散性判斷級(jí)數(shù)的斂散性. . 的斂散性的斂散性, 其中其中 0 b 1時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散; 比式判別法和根式判別法定理12.8（柯西判別法，或根式判別法）且存在某正數(shù)且存在某正數(shù) 0,Nl及及常常數(shù)數(shù)0(i),nN若對(duì)一切成立不等式若對(duì)一切成立不等式1,(9)nnul;nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂0(ii),

15、nN若對(duì)一切成立不等式若對(duì)一切成立不等式1,(10)nnu .nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散nu為正為正項(xiàng)級(jí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 設(shè)設(shè)比式判別法和根式判別法對(duì)對(duì)于情形于情形(ii), 由由(10)式可得式可得 11.nnu ,nnu顯顯然然當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)不可能以零為極限不可能以零為極限, 收斂的必要條件可知收斂的必要條件可知, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nu是發(fā)散的是發(fā)散的.證證 由由(9)式有式有 ,1,nnull而而因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù) nl時(shí)收斂，時(shí)收斂，01l當(dāng)當(dāng) nu故由比較原則故由比較原則, 這時(shí)級(jí)數(shù)這時(shí)級(jí)數(shù)也收斂也收斂,因而由級(jí)數(shù)因而由級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法推論1（根式判別法的極限形式）lim,(11)nnn

16、ul(i)1,;nlu當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂(ii)1,.nlu當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 證證 由由(11)式式,1,l 當(dāng)當(dāng)取取時(shí)時(shí)存在某正數(shù)存在某正數(shù) N, ,n N, 有有 .nnlul 于是由根式判別法就得到推論所要證明的結(jié)論于是由根式判別法就得到推論所要證明的結(jié)論. . 設(shè)設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)數(shù), , 且且對(duì)一切對(duì)一切比式判別法和根式判別法例例9 研究級(jí)數(shù)研究級(jí)數(shù) 2( 1)2nn的斂散性的斂散性.解解 由于由于所以級(jí)數(shù)是收斂的所以級(jí)數(shù)是收斂的. .若在若在(11)式中式中 l =1, ,則根式判別法仍無(wú)法對(duì)級(jí)數(shù)的斂則根式判別法仍無(wú)法對(duì)級(jí)數(shù)的斂 散性做出判斷散性做出判

17、斷. 都有都有發(fā)散的發(fā)散的. . 212limlimnnnnnnu,21211,nn對(duì)和對(duì)和例如例如,1nunn是收斂的，是收斂的，但但21n卻是卻是而而n1比式判別法和根式判別法*推論2*例例10考察級(jí)數(shù)考察級(jí)數(shù)22nnbcbcbc的斂的斂 散性，其中散性，其中01.bc解解 由于由于121121(),()(),mmnnmmccumbb 設(shè)設(shè)nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且lim,nnnul則當(dāng)則當(dāng) (i) l 1 時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. . 比式判別法和根式判別法 1limlim,nnnnnnucub11limlim01,nnnnnnubuc如果應(yīng)用比式判別法如果應(yīng)用比式判別法, 由于由于

18、 我們就無(wú)法判斷其收斂性我們就無(wú)法判斷其收斂性.那么比式法和根式法究竟哪個(gè)更有效呢？那么比式法和根式法究竟哪個(gè)更有效呢？lim1,nnnuc因此級(jí)數(shù)是收斂的因此級(jí)數(shù)是收斂的. 故故比式判別法和根式判別法1limnnnuqulim.nnnuq根據(jù)第二章總練習(xí)題根據(jù)第二章總練習(xí)題 4 (7), 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 必有必有這說(shuō)明凡能由比式判別法判別收斂性的級(jí)數(shù)這說(shuō)明凡能由比式判別法判別收斂性的級(jí)數(shù), 也能也能 由根式判別法來(lái)判別由根式判別法來(lái)判別, , 別法更為有效別法更為有效. 2( 1),2nn 由于由于 亦即根式判別法較之比式判亦即根式判別法較之比式判例如級(jí)數(shù)例如級(jí)數(shù)比式判別法和根式判別法2221

19、21332limlim,122mmmmmmuu212122112limlim,362mmmmmmuu故比式判別法無(wú)法鑒別此級(jí)數(shù)的收斂性故比式判別法無(wú)法鑒別此級(jí)數(shù)的收斂性. 式判別法卻能判定此級(jí)數(shù)是收斂的式判別法卻能判定此級(jí)數(shù)是收斂的( (例例9).).否就不需要比式判別法了？請(qǐng)看下面例子否就不需要比式判別法了？請(qǐng)看下面例子. .那么那么, 是是比式判別法和根式判別法但應(yīng)用根但應(yīng)用根 例例11 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：21( !)(i) ;(2 )!nnn 21(ii) .12nnnn 解解 (i) 因?yàn)橐驗(yàn)?212(1)!(2 )!limlim2(1)! ( !)nnnnu

20、nnunn 由比式判別法，原級(jí)數(shù)為收斂由比式判別法，原級(jí)數(shù)為收斂. . 22121lim2nnnn, 141比式判別法和根式判別法11,2由根式判別法由根式判別法, 原級(jí)數(shù)為收斂原級(jí)數(shù)為收斂. 注注 由于極限由于極限2( !)lim(2 )!nnnn很難求很難求, 所以上例中的所以上例中的 (i) 采用比式法更方便采用比式法更方便. . (ii) 因?yàn)橐驗(yàn)閚nnnnnnnu12limlim2nnnn12lim2比式判別法和根式判別法定理12.9（積分判別法）積分判別法由于比式和根式判別法的比較對(duì)象是幾何級(jí)數(shù)由于比式和根式判別法的比較對(duì)象是幾何級(jí)數(shù), ,局局 限性較大限性較大, , 所以還需要建

21、立一些更有效的判別法所以還需要建立一些更有效的判別法. .設(shè)設(shè) 1,)f為為上非負(fù)減函數(shù)上非負(fù)減函數(shù), 那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)+1( )( )df nf xx與反常積分與反常積分同時(shí)同時(shí)收斂收斂證證 由假設(shè)由假設(shè)1,)f 為為上非負(fù)減函數(shù)上非負(fù)減函數(shù), f 在在1, A上可積上可積, ,于是于是或同時(shí)發(fā)散或同時(shí)發(fā)散.對(duì)任何正數(shù)對(duì)任何正數(shù) A,積分判別法1( )( )d(1),2,3,.nnf nf xxf nn依次相加可得依次相加可得11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n若反常積分收斂若反常積分收斂, ,有有111( )(1)( )d(1)(

22、)d .mmmnSf nff xxff xx根據(jù)定理根據(jù)定理12.5, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)( )f n收斂收斂.則由則由(12)式左邊式左邊,對(duì)任何正整數(shù)對(duì)任何正整數(shù)m,積分判別法反之反之, 若若( )f n為收斂級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù), 一正整數(shù)一正整數(shù) m(1)有有11( )d( ).(13)mmf xxSf nS10( )d,1.Anf xxSS nAn因?yàn)橐驗(yàn)閒 (x)為非負(fù)減函數(shù)為非負(fù)減函數(shù), 可以證明可以證明+1( )( )df nf xx與與是同時(shí)是同時(shí)發(fā)散的發(fā)散的. .11221( )( )d(1)( ).(12)mmmmnnnf nf xxf nf n則由則由(12)式右邊式右邊, 對(duì)任對(duì)任

23、故對(duì)任何正數(shù)故對(duì)任何正數(shù) A, 都有都有 111 2 .d.fxx 根根據(jù)據(jù)定定理理的的反反常常積積分分收收斂斂 用同樣方法，用同樣方法，積分判別法例例12 討論討論1.ppn級(jí)數(shù)的斂散性級(jí)數(shù)的斂散性1( ),01,)pf xpx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)在在解解 函數(shù)函數(shù)上是非負(fù)減函上是非負(fù)減函 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散. 知它也是發(fā)散的知它也是發(fā)散的. .數(shù)，數(shù)，時(shí)收斂，時(shí)收斂，在在反常積分反常積分1d1pxxp.1時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散p故故 時(shí)收斂，時(shí)收斂，當(dāng)當(dāng)由積分判別法得由積分判別法得11pnp10 p當(dāng)當(dāng) 0p的情形的情形, 則可由收斂的必要條件則可由收斂的必要條件至于至于積分判別法例例13 討論下列級(jí)數(shù)的斂散性討論下

24、列級(jí)數(shù)的斂散性.2311(i);(ii).(ln )(ln )(lnln )ppnnnnnnn解解 2d,(ln )pxxx研究反常積分由于研究反常積分由于(i)1,1.pp數(shù)數(shù)在在時(shí)時(shí)收收斂斂時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散3d(ii),(ln )(lnln )pxxxx對(duì)對(duì)于于考考察察反反常常積積分分同同樣樣可可1p 推得級(jí)數(shù)推得級(jí)數(shù) (ii) 在在 p 1時(shí)收斂時(shí)收斂, 在在 時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散. 22lnlndlndppxxxxx2lndpuu時(shí)發(fā)散，時(shí)發(fā)散，時(shí)收斂，時(shí)收斂，當(dāng)當(dāng)11pp根據(jù)積分判別法得級(jí)根據(jù)積分判別法得級(jí)積分判別法由于比式和根式判別法的比較對(duì)象是幾何級(jí)數(shù)由于比式和根式判別法的比較對(duì)象是幾何級(jí)數(shù)

25、, , 如如 果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂速度較慢果級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂速度較慢, , 它們就失效了它們就失效了, 如如 p級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). . 這類(lèi)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢這類(lèi)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)收斂于零的速度較慢, , 因此較比式因此較比式 或根式法在判斷級(jí)數(shù)收斂時(shí)更精細(xì)或根式法在判斷級(jí)數(shù)收斂時(shí)更精細(xì). .*拉貝判別法 拉貝拉貝(Raabe)判別法是以判別法是以 p 級(jí)數(shù)為比較對(duì)象級(jí)數(shù)為比較對(duì)象,*拉貝判別法定理12.10（拉貝判別法）111,nnunru;nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂0(ii),nN若對(duì)一切成立不等式若對(duì)一切成立不等式111,nnunu.nu則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散0(i),nN若對(duì)一切成立不等式若對(duì)一切成立

26、不等式設(shè)設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且存且存 0.Nr在在某某正正整整數(shù)數(shù)及及常常數(shù)數(shù)*拉貝判別法.1pr 由由于于故存在正數(shù)故存在正數(shù)N, 111.prnn證證 (i), 111ruunnn由由.11nruunn得得p選選使使得得rxxnrnpxpn11lim111lim0rxppx101limrp, 1使對(duì)任意使對(duì)任意n N ，都有都有 *拉貝判別法1111nnNnNnnNuuuuuuuu于是于是, 當(dāng)當(dāng)n N 時(shí)，有時(shí)，有 1211pppNnnNunnN 11,.nppun因?yàn)闀r(shí)收斂 所以是收斂的因?yàn)闀r(shí)收斂 所以是收斂的這樣這樣 pnnnuu11111pn11.1pnnNppunN1

27、.11pNpnuN*拉貝判別法131212nnnnnuuuuuuuu212112nnunn21.un1,.nun因因?yàn)闉榘l(fā)發(fā)散散 故故是是發(fā)發(fā)散散的的, 11)ii(1nnuun由由,1111nnnuunn得得于是于是*拉貝判別法推論（拉貝判別法的極限形式）設(shè)設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且極限且極限1lim1nnnunru存在存在, 則則(i)1,;nru當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂(ii)1,.nru當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散*拉貝判別法1 3(21)(14)2 4(2 )Snn當(dāng)當(dāng)s =1, 2, 3時(shí)的斂散性時(shí)的斂散性.例例14 討論下面級(jí)數(shù)討論下面級(jí)數(shù)解解 無(wú)論無(wú)論s =1, 2, 3哪一值哪一值, ,級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(14)的比式極限的比式極限 1lim1nnnuu所以用比式判別法無(wú)法判別級(jí)數(shù)所以用比式判別法無(wú)法判別級(jí)數(shù)(14)的斂