高數(shù)下曲面積分習(xí)題課

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 習(xí)題課一、一、 曲線積分的計(jì)算法曲線積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法 線面積分的計(jì)算 第十一章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、曲線積分的計(jì)算法一、曲線積分的計(jì)算法1. 基本方法曲線積分第一類(lèi) ( 對(duì)弧長(zhǎng) )第二類(lèi) ( 對(duì)坐標(biāo) )(1) 選擇積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限第一類(lèi): 下小上大第二類(lèi): 下始上終練習(xí)題: P244 題 3 (1), (3), (6)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解答提示解答提示: 計(jì)算,d22syxL其中L為圓周.22xayx提示提示: 利用極坐標(biāo) ,)22(cos:a

2、rLdd22rrs原式 =sxaLd22dcos22aa22a說(shuō)明說(shuō)明: 若用參數(shù)方程計(jì)算,:L)20( tOxayrda)cos1 (2txatyasin2t則tyxsdd22 tad2P244 3 (1)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ttad)cos1 ( P244 3(3). 計(jì)算,dd)2(Lyxxya其中L為擺線, )sin(ttax)cos1 (tay上對(duì)應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202sincosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyx1O

3、P244 3(6). 計(jì)算其中 由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在 上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd2022221)cos1 (cos4221432212162txcostysin21 sin21tz )20(t,dzzyx從 z 軸正向看沿逆時(shí)針?lè)较?,12所得 z目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) 利用對(duì)稱(chēng)性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算 ;(2) 利用積分與路徑無(wú)關(guān)的等價(jià)條件;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用兩類(lèi)曲線積分的聯(lián)系公式 .2. 基本技巧基本技巧目錄 上頁(yè)

4、下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 計(jì)算,d)(22szyxI其中 為曲線02222zyxazyx解解: 利用輪換對(duì)稱(chēng)性 , 有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azyxO( 的重心在原點(diǎn)) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 CyxABLO例例2. 計(jì)算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆時(shí)針?lè)较蛞栽c(diǎn)為中心、解法解法1 令,22xyQyxP則xQ這說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān), 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1yPa 為半徑的上半圓周.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解法解法2 ,BA它與L所圍區(qū)域?yàn)镈,Dyxdd

5、0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如何計(jì)算下述積分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若L 改為順時(shí)針?lè)较?如何計(jì)算下述積分:BALyxyxyxId)(d)(22則添加輔助線段CyxABLO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考題解答思考題解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a132

6、23 a32a0:t332aIDCyxABLO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),(),(2yxftytxtf證證: :把例例3. 設(shè)在上半平面0),(yyxD內(nèi)函數(shù)),(yxf具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且對(duì)任意 t 0 都有證明對(duì)D內(nèi)任意分段光滑的閉曲線L, 都有0d),(d),(yyxfxxyxfyL),(),(2yxftytxtf兩邊對(duì)t求導(dǎo), 得:),(2),(),(321yxftytxtfyytxtfx得，令1t),(2),(),(21yxfyxfyyxfx),(),(yxfxQyxfyP再令則有0),(),(),(221yxfyyxfxyxfyPxQ，即yPxQ因此結(jié)論成立.(2006考研)

7、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 DayLxOBA計(jì)算,d)2cose (d)2sin(eLxxyyxyyI其中L為上半圓周, 0,)(222yayax提示提示: :2cose,2sineyQyyPxxyxQyyPxxcose, 2coseyxDdd202a沿逆時(shí)針?lè)较?ABABLI練習(xí)題練習(xí)題: P244 題 3(5) ; P245 題 6; 11. 3(5).用格林公式: 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P245 6 . 設(shè)在右半平面 x 0 內(nèi), 力構(gòu)成力場(chǎng),其中k 為常數(shù), ,22yx 證明在此力場(chǎng)中場(chǎng)力所作的功與所取的路徑無(wú)關(guān).提示提示:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易證53

8、yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面內(nèi)任意有向路徑 L 所作的功為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 P245 11. 求力沿有向閉曲線 所作的其中 為平面 x + y + z = 1 被三個(gè)坐標(biāo)面所截成三提示提示: BAzyxCOzxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1從 z 軸正向看去沿順時(shí)針?lè)较?利用對(duì)稱(chēng)性角形的整個(gè)邊界,),(xzyF 功,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 OBAzyxC設(shè)三角形區(qū)域?yàn)?, 方向向上, 則zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd)3(31) 1, 1, 1 (31n方法方法22

9、3yxDyxdd33公式 n目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 DxzyO例例4.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222設(shè)L 是平面與柱面1 yx的交線從 z 軸正向看去, L 為逆時(shí)針?lè)较? 計(jì)算 解解: 記 為平面2zyx上 L 所圍部分的上側(cè), D為 在 xOy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdL公式 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Dyxyxdd)6(2D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxDDxy11O目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、曲面積分的

10、計(jì)算法二、曲面積分的計(jì)算法1. 基本方法曲面積分第一類(lèi)( 對(duì)面積 )第二類(lèi)( 對(duì)坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 選擇積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類(lèi): 始終非負(fù)第二類(lèi): 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思思 考考 題題1) 二重積分是哪一類(lèi)積分? 答答: 第一類(lèi)曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面,),( ,0:Dyxz問(wèn)下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不對(duì)不對(duì) ! 對(duì)坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān) Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 基本技巧基本技巧(1) 利

11、用對(duì)稱(chēng)性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類(lèi)曲面積分的轉(zhuǎn)化目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zyxO練習(xí)練習(xí):P244 題題4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中 為半球面222yxRz的上側(cè).且取下側(cè) , 原式 =3323R032 RP244 題題4(2) , P245 題題 10 同樣可利用高斯公式計(jì)算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx記半球域?yàn)?,高斯公式有計(jì)算提示提示: 以半球底面0為輔助面, 利用目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5.證明證明: 設(shè)(常向量)則單位外法向向量, 試證Sdc

12、oscoscoscoscoscos0vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos設(shè) 為簡(jiǎn)單閉曲面, a 為任意固定向量, n為 的 . 0d)cos(Sa,nSand)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0aSa ,nd)cos(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 計(jì)算曲面積分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外側(cè)Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13313d ddxyzR4思考思考: 本題 改為橢球面1222222czbyax時(shí), 應(yīng)如何計(jì)算 ?提示提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球

13、面取2222zyx內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2121I例例7. 設(shè) 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId2221:yxz解解: 取足夠小的正數(shù) , 作曲面取下側(cè)使其包在 內(nèi), 2為 xOy 平面上夾于之間的部分, 且取下側(cè) ,1與21取上側(cè), 計(jì)算, )0( z則Ozyx目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二項(xiàng)添加輔助面, 再用高斯公式, 21Ozyx23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId1zyxO注意曲

14、面的方向 !得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 計(jì)算曲面積分其,d2)(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用對(duì)稱(chēng)性用重心公式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P244 3 (2) , (4) ; 4 (2) 5 ; 9目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 備用題備用題 1. 已知平面區(qū)域L為D 的邊界, 試證,0, 0),(yxyxDxyyxxyyxxyLxyLdededede) 1 (sinsinsinsin2sinsin2dede)2(xyyxxyL證證: (1) 根據(jù)格林公

15、式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxd)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyx所以相等, 從而左端相等, 即(1)成立.(2003 考研)OyxD因、兩式右端積分具有輪換對(duì)稱(chēng)性,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 由式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxdedesinsinxDyDd2D22d)ee(sinsinxxD由輪換對(duì)稱(chēng)性O(shè)yxD)2ee(tt易證目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) 在任一固定時(shí)刻 , 此衛(wèi)星能監(jiān)視的地球表面積是 2. 地球的一個(gè)偵察衛(wèi)星攜帶的廣角高分辨率攝象機(jī)能監(jiān)視其”視線”所及地球表面的每一處的景象并攝像, 若地球半徑為R , 衛(wèi)星距地球表面高度為 H =0.25 R ,衛(wèi)星繞地球一周的時(shí)間為 T , 試求(2) 在解解: 如圖建立坐標(biāo)系.,54cos8 . 0arccosR25. 1R3T的時(shí)間內(nèi) , 衛(wèi)星監(jiān)視的地球表面積是多少 ?多少 ? yzxO設(shè)衛(wèi)星繞 y 軸旋轉(zhuǎn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1) 利用球坐標(biāo), 任一固定時(shí)刻監(jiān)視的地球表面積為02201dsinRSd)cos1 (22R252R(2) 在2S2025234RSR3T時(shí)間內(nèi)監(jiān)視的地球表面積為54cos點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停注意盲區(qū)與