高數(shù)習(xí)題課無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)函數(shù)表達(dá)函數(shù)解微分方程解微分方程數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一一. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念中學(xué)中學(xué): 無(wú)窮等比級(jí)數(shù)無(wú)窮等比級(jí)數(shù)就是無(wú)窮級(jí)數(shù)的一種就是無(wú)窮級(jí)數(shù)的一種.12 naqaqaqa定義定義將其各項(xiàng)依次累加所得的式子將其各項(xiàng)依次累加所得的式子稱為數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)稱為數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù) nuuu21設(shè)有數(shù)列設(shè)有數(shù)列 ,21nuuu1nnu項(xiàng)項(xiàng)通項(xiàng)通項(xiàng)1. 部分和部分和:nnkknuuuuS 2112. 部分和數(shù)列部分和數(shù)列: ,21nSSS3. 收斂收斂:SSnnlim稱級(jí)數(shù)收斂稱級(jí)數(shù)收斂Sunn1nnSS

2、r稱為級(jí)數(shù)余項(xiàng)稱為級(jí)數(shù)余項(xiàng)極限不存在極限不存在,稱級(jí)數(shù)發(fā)散稱級(jí)數(shù)發(fā)散例例1. 判斷下列級(jí)數(shù)的部分和判斷下列級(jí)數(shù)的部分和,并判斷其斂散性并判斷其斂散性:(1). )!1(1)!(1)!1(11)!1( nnnnnnun解解： 1)!1(nnn級(jí)數(shù)收斂其和是級(jí)數(shù)收斂其和是1(2).)( 1)!1(11)!1(1!1()! 31! 21()! 211( nnnnsn 1212nnn)2(212232232121)1(21225232113232 nnnnnnnsns解解：級(jí)數(shù)收斂其和是3(3). nnSlim故故級(jí)數(shù)發(fā)散111132232232122112121221212122121)2()1(

3、nnnnnnnnns得得3lim2321lim nnnnss即即故有故有)1(1nnn 11)1()23()12( nnnsn 1212nnn級(jí)數(shù)收斂其和是級(jí)數(shù)收斂其和是3二二. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 收斂于和收斂于和 S, k 為常數(shù)為常數(shù),則則1nnukSukkunnnn 11推論推論: 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后,斂散性不變斂散性不變性質(zhì)性質(zhì)2. 兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減 111)(nnnnnnnSvuvu 性質(zhì)性質(zhì)3. 改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂

4、散性例例2:)3121(1nnn因?yàn)橐驗(yàn)?和和 都收斂都收斂131nn121nn級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)性質(zhì)4. 收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂且和不變收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂且和不變注意注意: (1). 加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)發(fā)散則原級(jí)數(shù)發(fā)散.(2). 加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)收斂加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)收斂,原級(jí)數(shù)不一定收斂原級(jí)數(shù)不一定收斂.例如例如: (11)+ (11)+ (11)+.收斂收斂而而11+11+11+.發(fā)散發(fā)散.性質(zhì)性質(zhì)5.(級(jí)數(shù)收斂必要條件級(jí)數(shù)收斂必要條件)若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 收斂收斂,則則1nnu0limnnu注意注意:(1). 若若 ,則

5、級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù) 發(fā)散發(fā)散1nnu0limnnu(2). 時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 不一定收斂不一定收斂0limnnu1nnu判斷級(jí)數(shù)發(fā)散判斷級(jí)數(shù)發(fā)散的第一步驟的第一步驟01limlimnunnn例如例如:調(diào)和級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù) n131211但級(jí)數(shù)發(fā)散但級(jí)數(shù)發(fā)散(2)11)1(nnnn1) 1(limlimnnunnnn不存在不存在級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散例例3. 判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性:(1)11100nnn010011100limlimnnunnn級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散(3) 12)1cos1(nnn021)2(121sin21lim21sin2lim)1cos1 (limlim22222nnnnnnunnnnn發(fā)散

6、故原級(jí)數(shù)發(fā)散.lim) 1()()()(3)(2)(.)(,111112101231201111收斂存在則項(xiàng)和為的前記項(xiàng)和為的前記nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSanSnaSnaaaaaaanaaaaaanaanSna收收斂斂證證明明收收斂斂收收斂斂已已知知數(shù)數(shù)列列例例 111,)(,. 4nnnnnnnaaannax 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一一.正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法每一項(xiàng)都非負(fù)每一項(xiàng)都非負(fù)其部分和數(shù)列有界其部分和數(shù)列有界定理定理1(基本定理基本定理)正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂的充要條件是收斂的充要條件是1nnu定理定理2(比較審斂法比較審斂法)1nnu設(shè)設(shè)

7、 和和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnv且且)., 2 , 1( nvunn1nnu1nnv若若 收斂收斂,則則 收斂收斂;1nnu1nnv若若 發(fā)散則發(fā)散則 發(fā)散發(fā)散.注意注意: 定理定理2可以與第一節(jié)的性質(zhì)相結(jié)合可以與第一節(jié)的性質(zhì)相結(jié)合,靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用.定理定理3(比較審斂法極限形式比較審斂法極限形式)設(shè)設(shè) 和和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu1nnv如果如果)0(limllvunnn則則 和和 同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.1nnu1nnv定理定理4.(比值審斂法比值審斂法)設(shè)設(shè) 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu如果如果nnnuu1lim則則:10).1 (1).2(收斂收

8、斂;發(fā)散發(fā)散;1).3(無(wú)法確定無(wú)法確定.定理定理5.(根值審斂法根值審斂法)設(shè)設(shè) 是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu如果如果nnnulim則則:10).1 (1).2(收斂收斂;發(fā)散發(fā)散;1).3(無(wú)法確定無(wú)法確定.(證明略證明略)例例 證明證明 nn13121132收斂收斂并估計(jì)以并估計(jì)以 近似代替和近似代替和 S 所產(chǎn)生的誤差所產(chǎn)生的誤差nS01limlimnunnnn解解則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂 321)3(1)2(1)1(1|nnnnnnnrnnnnnnnnn)1(1)1(1)1(1)1(1321 pppn131211例例: p-級(jí)數(shù)的斂散性級(jí)數(shù)的斂散性解解0p時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)顯然發(fā)散級(jí)數(shù)顯然發(fā)散

9、.因?yàn)橐驗(yàn)?, 而而 發(fā)散發(fā)散,則則 p-級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散nnp1111nn1p時(shí)時(shí),)+=()()()(spppppppppn 它的各項(xiàng)不大于下面的等比級(jí)數(shù)各項(xiàng)它的各項(xiàng)不大于下面的等比級(jí)數(shù)各項(xiàng)+=+mppppppppppppp)()()()()()( 收斂收斂收斂收斂因此因此 p-級(jí)數(shù)的部分和有界級(jí)數(shù)的部分和有界,故收斂故收斂. 發(fā)散發(fā)散 收斂收斂1p1p10 p時(shí)時(shí),例例5. 判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性:1)2)(1(1).1 (nnn21)2)(1(1nnn而而 收斂收斂121nn收斂收斂1) 1(14).2(nnnnnnnnnnn24) 1(1422而而 發(fā)散發(fā)散1)211 (22n

10、n發(fā)散發(fā)散nnn1sin1).3(1231111sin1nnnnn而而 收斂收斂1231nn收斂收斂dxxxnn 1102)1().4(2310102)1(3210ndxxdxxxunnn 由由于于而 收斂231)1(32 nn收斂 1ln)(ln1).5(nnnnnnnnnenulnln)ln(lnlnln11)(ln1 時(shí)時(shí)時(shí)時(shí)，即即當(dāng)當(dāng)22lnlneenn 收斂例例6. 判斷級(jí)數(shù)斂散性判斷級(jí)數(shù)斂散性:!10).1 (1nnn)0( :!).2(1annannnnnnuu1lim1010!)!1(10lim1nnnnnnnnuu1limeanannnannnnn!) 1()!1(lim11

11、收斂收斂當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)級(jí)數(shù)收斂時(shí),.,eaea1!nnnnneea此時(shí)原級(jí)數(shù)為時(shí)，比值法失效，當(dāng)enneuunnnn)11 ( , 1)11 (110limnnu故發(fā)散發(fā)散:)(ln).3(1lnnnnnn1)1(2).4(nnnnnnulim1212lim)1(nnnnnennnnnnnnlnlimlnlim2lnln由于0lnlim2nnnnnnulim收斂收斂0 故故二二.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法各項(xiàng)為任意實(shí)數(shù)的級(jí)數(shù)1. 交錯(cuò)級(jí)數(shù):11) 1(nnnu,.)2 , 1, 0( ,) 1(1nuunnnn或定理6 (萊布尼茲定理)若交錯(cuò)級(jí)數(shù)11) 1(nnnu滿足:0lim

12、).(,.)2 , 1( ;).(1nnnnuiinuui則級(jí)數(shù)收斂,且其和 ,其1uS 1|nnur證)()()(21243212nnnuuuuuuS 1543212)()(uuuuuuSn 單調(diào)有界12limuSSnnSuSSnnnnn)(limlim122121limuSSnn則同理.|121 nnnnuuur交錯(cuò)級(jí)數(shù)例如 nn1)1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收斂且S1如果nSSnn1)1(41312111 則11|nrn2. 絕對(duì)收斂與條件收斂對(duì)于一般的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu考慮1|nnu正項(xiàng)級(jí)數(shù)1|nnu收斂

13、,則1nnu絕對(duì)收斂1nnu收斂,而 發(fā)散,則1|nnu1nnu條件收斂例如111)1(nnn1211)1(nnn絕對(duì)收斂條件收斂定理7. 如果 絕對(duì)收斂,則 必收斂1nnu1nnu證設(shè)|)|(21nnnuuv則|, 0nnnuvv由1|nnu收斂知1nnv收斂而|2nnnuvu則1nnu收斂注意:(1) 逆命題不成立 (2) 如果用比值或根值審斂法判定 發(fā)散1|nnu1nnu則 發(fā)散(證明略)例712sinnnn221sinnnn121nn收斂收斂12sinnnn絕對(duì)收斂例81ln)1(nnnn1ln)1(nnnn對(duì)1lnnnn,.)4, 3(1lnnnnn發(fā)散而11nn發(fā)散1ln)1(nn

14、nn對(duì)0lim).(,.)4 , 3( ;).(1nnnnuiinuui收斂條件收斂)2.(ln)(xxxxf).(0ln1)(2exxxxf單調(diào)減少dxxennnxn111) 1(nnnnsin)1(1令令:nnnnnu)1(1sin1由于由于1)1(nn收斂收斂知知 收斂收斂nnn1sin11絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂令令:dxxeunnxn1則則nnnxnnxneedxedxxeu1)11 (011由于由于1)1(nne收斂收斂dxxennnx 11所以所以 收斂收斂絕對(duì)收絕對(duì)收斂斂例92)1()1()1(nnnn例例10 判斷下列級(jí)數(shù)斂散性判斷下列級(jí)數(shù)斂散性,若收斂若收斂,是絕對(duì)收斂是絕對(duì)收斂,

15、還是條件收斂還是條件收斂,)1(1nnnu令法法1 由于由于nnun2111而而 發(fā)散發(fā)散11nn1)1(1nnn由比較判別法知由比較判別法知 發(fā)散發(fā)散 12121212111)1(1)1()1()1()1(2nknkknkkknkkknkkkkkks、記記法法11)1() 1()2(nnnn,1)1(2收斂而kkkk發(fā)散211kk發(fā)散故2)1()1(knnn)0()1()1()2(2 pnkpnn)1()1(1)1()1(1)1()1(1)1(u2nnonpnnnnnnpnpnpnpnpn 解解：)1()1(21 pppnnonpn,10時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng) p1)1(12111絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂及及

16、條條件件收收斂斂， npnpnpnnnpn條條件件收收斂斂故故)0()1()1(2 pnkpnn,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p知知由由)1()1()1(ppnnnon 故故原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) p0)1()1( pnnnnu故故原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散例例11.12| )1(|,12| )(| )( |, 0)( 0,)( 21)( ! 21)0( )0()(0)0( , 0)0(0)(0)(lim22220法知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂法知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別則則令令使使上連續(xù)上連續(xù)在包含原點(diǎn)的小閉區(qū)間在包含原點(diǎn)的小閉區(qū)間又又之間之間與與介于介于從而從而鄰域內(nèi)有連續(xù)二

17、階導(dǎo)數(shù)鄰域內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)在在及及nMnfnxxMxfMxfMxfxxfxfxffxfffxxfxxfx .)1(,0)(lim,0)().1(10絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂證證明明且且鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在設(shè)設(shè) nxnfxxfxxf .12sinlim1sin)(sin)(sin)(sin1121122222222故故原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散一一致致，應(yīng)應(yīng)為為發(fā)發(fā)散散的的斂斂散散性性與與記記 nnnnnnnnnnnvuvuvnnnnnnnnnnnnnnnnnnu 122)(sin).2(nnnn 收收斂斂證證明明收收斂斂設(shè)設(shè) 112|,).3(nnnnnaa.1),1(21|1212

18、22別別法法知知原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂故故由由正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的比比較較判判均均收收斂斂，及及而而 nnnnnnanana., 12lim2!5sin2!11別法知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂別法知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂再由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判再由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判收斂收斂法知法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別記記 nnnnnnnnnnueuuunnnxn 15sin2!).4(nnnnxn 三、冪級(jí)數(shù)及其收斂性三、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 形如形如00)(nnnxxa 202010)()(xxaxxaa的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù), 其中數(shù)列其中數(shù)列), 1 , 0(nan下面著重討論下面著重

19、討論00 x0nnnxa nnxaxaxaa2210例如例如, 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)1,110 xxxnn為冪級(jí)數(shù)的為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)系數(shù) .即是此種情形即是此種情形. .的情形的情形, 即即 nnxxa)(0稱稱 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收收 斂斂收斂 發(fā)散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級(jí)數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對(duì)滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂.反之, 若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級(jí)數(shù)也發(fā)散 . 時(shí)該冪級(jí)數(shù)發(fā)散 , 則對(duì)滿足不等式阿貝爾 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 冪級(jí)數(shù)在 (, +

20、) 收斂 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的區(qū)間. 用R 表示冪級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的分界點(diǎn),的收斂域是以原點(diǎn)為則R = 0 時(shí), 冪級(jí)數(shù)僅在 x = 0 收斂 ;R = 時(shí),0 R冪級(jí)數(shù)在 (R , R ) 收斂 ;(R , R ) 加上收斂的端點(diǎn)稱為收斂域收斂域.R 稱為收斂半徑收斂半徑 ， 在R , R 可能收斂也可能發(fā)散 .Rx外發(fā)散; 在(R , R ) 稱為收斂區(qū)間收斂區(qū)間.ox發(fā)發(fā) 散散發(fā)發(fā) 散散收 斂收斂收斂 發(fā)散發(fā)散機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定理定理2. 若0nnnxa的系數(shù)滿足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 當(dāng) 0 時(shí),2) 當(dāng) 0 時(shí),3) 當(dāng)

21、 時(shí),則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2) 若若, 0則根據(jù)比值審斂法可知?jiǎng)t根據(jù)比值審斂法可知,;R絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ,3) 若若,則對(duì)除則對(duì)除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原級(jí)發(fā)散原級(jí)發(fā)散 ,.0R對(duì)任意對(duì)任意 x 原級(jí)數(shù)原級(jí)數(shù)因此因此因此因此 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為說(shuō)明說(shuō)明: :據(jù)此定理?yè)?jù)此定理1limnnnaaR因此級(jí)數(shù)的收斂半徑因此級(jí)數(shù)的收斂半徑.1R機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 四、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法四、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù): 先求收斂半徑先求收斂半徑 R , 再討論再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪

22、級(jí)數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法直接用比值法或根值法處的斂散性處的斂散性 .求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間求下列級(jí)數(shù)的斂散區(qū)間:;)11 () 1 (12nnnxn.2)2(21nnnxn例例12:機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 解解:nnnnnna)11 (limlim當(dāng)ex1因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散 ,enn1)11 (nneu nn)11 ( nn)11 ( )(01ne. )1,1(eee時(shí),12)11 () 1 (nnnxn,1eR exe11即時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 .故收斂區(qū)間為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnnx

23、n212)2()()(lim1xuxunnn解解: 因) 1(2121nnxn22xnnxn22,122x當(dāng)時(shí)，即22x,2時(shí)當(dāng)x故收斂區(qū)間為. )2,2(級(jí)數(shù)收斂;一般項(xiàng)nun不趨于0,nlim級(jí)數(shù)發(fā)散; 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例13.) 1(31的收斂半徑求冪級(jí)數(shù)nnnnxn解解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù),lim1nnaannnnalim極限不存在1)(kkx,24212kkkxk1)(kkx12112122kkkxk)()(1limxxnnn ,)4 (2x 411R)()(1limxxnnn ,)2(2x212R 原級(jí)數(shù) =1)(kkx1)(kkx 其收斂半徑

24、4121,minRRR注意: 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求部分和式極限三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和 變換法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對(duì)和式積分或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnnxa0例例14. 求冪級(jí)數(shù).!) 12(1) 1(120的和函數(shù)nnnxnn法法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,(022)(! ) 12(1) 1(21nnnxn原式120! ) 12() 1(21nnnxnx)sin(21x

25、x,cos2sin21xxx ),(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法法2 先求出收斂區(qū)間, )(xS則xnnnxxxnnxxS01200d! ) 12(1) 1(d)(220! ) 12() 1(nnnxn21120! ) 12() 1(2nnnxnxxxsin2,cos2sin21)(xxxxS, ),(設(shè)和函數(shù)為),(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例15:.) 1()2(1nnnnx;212) 1() 1(21nnnxn解解: (1) )(21121nnnx原式) 120(2x12)2(1nnxx222211xxx22xx222)2(2xx顯然 x = 0 時(shí)上式也正確,

26、. )2,2(x故和函數(shù)為而在2xx0,)2(2)(222xxxS. 求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：級(jí)數(shù)發(fā)散,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2)nnxnn1111原式xnntt011dxnnttx01d1ttxd110tttxxd1100 x)1ln(x)1(ln11xx)1(ln)11(1xx) 10( xttnnxd110ttxnnxd110機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1) 1(nnnnx, )1(ln)11(1xx顯然 x = 0 時(shí), 和為 0 ; 根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有)(xS110, )1(ln)11(1xxxx及0 0 x，1 1x，10 xx = 1 時(shí), 級(jí)數(shù)也收

27、斂 . 即得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 00! )12() 1(! )2() 1(21nnnnnn例例16:0! ) 12(1) 1(nnnn解解: 原式=0! )12() 1(nnn1cos21的和 .1) 12(n211sin求級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 . 2 11數(shù)數(shù)的的收收斂斂域域，并并求求其其和和函函求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnx, 21lim1 nnnaaR = 2解：解：發(fā)發(fā)散散，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 121 2 nnx.2)1( 2 11收斂收斂時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnnx).2 , 2 x收收斂斂域域： 112)(nnnnxxS設(shè)設(shè) 121nnnnxx)21ln(1xx 0

28、x 0 210 )21ln(1)(xxxxxS.展開式展開式4=（由原級(jí)數(shù)知（由原級(jí)數(shù)知.）例例17解：解：. !)1)(1( )!1( 11的的和和的的和和函函數(shù)數(shù)，并并求求求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnnnnnx, 01limlim 1 naannnn. R 1 )!1( )S(nnnnxx 01 !)1(nnnxn 0 !)1(nnnxnx 01 ! nnnxx)e( xxx e )1( xxx 1!)1)(1( nnnn 12!1 nnn 11!1)!1( nnnnn1)e1( xxxx)1|e (1 xx= 2e (e 1 ) = e + 1 .展開式展開式 1.例例18四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)

29、和四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和 直接展開法 間接展開法例例19:(1). 將函數(shù)2)2(1x展開成 x 的冪級(jí)數(shù). 利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式解解:xx21)2(1221121x0221nnnx,22111nnnxn)2,2(x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法(2). 設(shè))(xf0,arctan12xxxx0,1x, 將 f (x)展開成x 的冪級(jí)數(shù) ,1241) 1(nnn的和. 解解:211x,) 1(02nnnx)1 , 1(xxarctanxxx02d11,12) 1(012nnnxn1 , 1x)(xf1212) 1(1nnnxn02212) 1(

30、nnnxn于是并求級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 02212) 1(nnnxn12112) 1(nnnxn)(xf1212) 1(1nnnxn1212) 1(1nnnxn12121121) 1(1nnnxnn,41) 1(21122nnnxn1 , 1x1241) 1(nnn 1) 1 (21f214機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ._, _),0( , 3 ._ . _)0( 2._ _ 1120o1o1o時(shí)時(shí)它它發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)它它收收斂斂；當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)叫叫級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為若若正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散，其其和和序序列列有有界界項(xiàng)項(xiàng)和和條條件件是是它它的的前前收收斂斂的的正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)要要

31、條條件件是是定定義義的的。級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂的的必必收收斂斂還還是是發(fā)發(fā)散散，是是用用級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) aarararaarnuuunnnnnnnn 充充 要要幾何幾何 |r| 1P 1比較法比較法比值比值法法根值法根值法交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù)), 2 , 1( 1 nuunn.0lim nnu. u1 un+1._ _,_ 10_. _ 9._ , 1|lim 1lim 8 ._ ._ 711*o*o111o11o且且新新級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和為為，則則其其乘乘積積是是新新級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，兩兩個(gè)個(gè)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)其其和和，且且后后，新新級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)各各項(xiàng)項(xiàng)重重排排則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)或或者者，若若有有對(duì)對(duì)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)條條件件收收斂斂，是是指指級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂，是是指指級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) nnnnnnnnnnnnnnnnnnvsuuuuuuuu收斂收斂若若 | 1 nnu, | 1發(fā)散發(fā)散若若 nnu收收斂斂而而 1 nnu必定發(fā)散必定發(fā)散仍然收斂仍然收斂不變不變 )()(1121122111vuvuvuvuvuvunnn s.）（收斂收斂則則收斂收斂若若）（收斂收斂可以可以則則發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散若若）（發(fā)散發(fā)散則則發(fā)散發(fā)散收斂，收斂，若若）（收斂收斂收斂，則收斂，則若若）（收斂收斂收斂，則收斂，則若若）（收斂收斂，則級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)若若）（收斂，則收斂，則若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) .,