中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何與函數(shù)問題

1、中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何與函數(shù)問題以下是查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)為您推薦的 中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何與函數(shù)問題，希望本篇文章對您學(xué)習(xí)有所幫助。中考數(shù)學(xué)專題：動態(tài)幾何與函數(shù)問題【前言】在第三講中我們已經(jīng)研究了動態(tài)幾何問題的一般思路，但是那時候沒有對其中夾雜的函數(shù)問題展開來分析。整體說來，代幾綜合題大概有兩個側(cè)重，第一個是側(cè)重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合代數(shù)知識來考察。而另一個那么是側(cè)重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個引入點，更多的考察了考生的計算功夫。但是這兩種側(cè)重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重點放在了對函數(shù)，方程的應(yīng)用上。其中通過圖中已給幾何圖形構(gòu)建函數(shù)是重點考察對象

2、。不過從近年中考的趨勢上看，要求所構(gòu)建的函數(shù)為很復(fù)雜的二次函數(shù)可能性略小，大多是一個較為簡單的函數(shù)式，表達了中考數(shù)學(xué)的考試說明當(dāng)中減少復(fù)雜性增大靈敏性的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性的復(fù)雜計算題僅供參考?！纠?】如圖所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與 軸負半軸上.過點B、C作直線 .將直線 平移，平移后的直線 與 軸交于點D，與 軸交于點E.1將直線 向右平移，設(shè)平移間隔 CD為 t0，直角梯形OABC被直線 掃過的面積圖中陰影部份為 ， 關(guān)于 的函數(shù)圖象如圖所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ平行于x軸，N點橫坐標(biāo)為4，求梯

3、形上底AB的長及直角梯形OABC的面積.2當(dāng) 時，求S關(guān)于 的函數(shù)解析式.【思路分析】此題雖然不難，但是非?？简灴忌鷮τ诤瘮?shù)圖像的理解。很多考生看到圖二的函數(shù)圖像沒有數(shù)學(xué)感覺，反響不上來那個M點是何含義，于是無從下手。其實M點就表示當(dāng)平移間隔 為2的時候整個陰影部分面積為8，相對的，N點表示挪動間隔 超過4之后陰影部分面積就不動了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當(dāng)D挪動過了0點的時候.所以根據(jù)這么幾種情況去作答就可以了。第二問建立函數(shù)式那么需要看出當(dāng) 時，陰影部分面積就是整個梯形面積減去ODE的面積，于是根據(jù)這個構(gòu)造函數(shù)式即可。動態(tài)幾何連帶函數(shù)的問題往往需要找出圖形的挪動與函數(shù)的變化之間

4、的對應(yīng)關(guān)系，然后利用對應(yīng)關(guān)系去分段求解?！窘狻?由圖2知， 點的坐標(biāo)是2，8由此判斷： ; 點的橫坐標(biāo)是4， 是平行于 軸的射線，直角梯形 的面積為： . 3分2當(dāng) 時，陰影部分的面積=直角梯形 的面積 的面積 根本上實際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關(guān)系【例2】：在矩形 中， ， .分別以 所在直線為 軸和 軸，建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系. 是邊 上的一個動點不與 重合，過 點的反比例函數(shù) 的圖象與 邊交于點 .1求證： 與 的面積相等;2記 ，求當(dāng) 為何值時， 有最大值，最大值為多少?3請?zhí)骄浚菏欠翊嬖谶@樣的點 ，使得將 沿 對折后， 點恰好落在 上?

5、假設(shè)存在，求出點 的坐標(biāo);假設(shè)不存在，請說明理由.【思路分析】此題看似幾何問題，但是實際上AOE和FOB這兩個直角三角形的底邊和高恰好就是E,F點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，而這個乘積恰好就是反比例函數(shù)的系數(shù)K。所以直接設(shè)點即可輕松證出結(jié)果。第二問有些同學(xué)可能仍然糾結(jié)這個EOF的面積該怎么算，事實上從第一問的結(jié)果就可以發(fā)現(xiàn)這個矩形中的三個RT面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個小RT面積即可，經(jīng)過一系列化簡即可求得表達式，利用對稱軸求出最大值。第三問的思路就是假設(shè)這個點存在，看看能不能證明出來。因為是翻折問題，翻折之后大量相等的角和邊,所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道比較典型的幾何題

6、目，做垂線就OK.【解析】1證明：設(shè) ， ， 與 的面積分別為 ， ，由題意得 ， .，即 與 的面積相等.2由題意知： 兩點坐標(biāo)分別為 ， ， 想不到這樣設(shè)點也可以直接用X去代入,費事一點而已當(dāng) 時， 有最大值.3解：設(shè)存在這樣的點 ，將 沿 對折后， 點恰好落在 邊上的 點，過點 作 ，垂足為 .由題意得： ， ， ，又 ，.將和所求的量放在這一對有關(guān)聯(lián)的三角形當(dāng)中， ，解得 .存在符合條件的點 ，它的坐標(biāo)為 .【例3】如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21。動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段

7、CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動到點B時，點P隨之停頓運動。設(shè)運動的時間為t秒。1設(shè)BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;2當(dāng)t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形?3是否存在時刻t，使得PQBD?假設(shè)存在，求出t的值;假設(shè)不存在，請說明理由?！舅悸贩治觥?此題是一道和一元二次方程結(jié)合較為嚴密的代幾綜合題，大量時間都在計算上。第三講的時候我們已經(jīng)討論過解決動點問題的思路就是看運動過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變化。對于該題來說，當(dāng)P,Q運動時，BPQ的高的長度始終不變，即為CD長，所以只需關(guān)注變化的底邊BQ即可，于是列

8、出函數(shù)式。第二問那么要分類討論，牢牢把握住高不變這個條件，通過勾股定理建立方程去求解。第三問很多同學(xué)畫出圖形以后就不知如何下手，此時不要忘記這個題目中貫穿始終的不動量高，過Q做出垂線以后就發(fā)現(xiàn)利用角度互余關(guān)系就可以證明PEQ和BCD是相似的，于是建立兩個直角三角形直角邊的比例關(guān)系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。 這道題放在這里是想讓各位體會一下那個不動量高的作用，每一小問都和它休戚相關(guān)，利用這個不變的高區(qū)建立函數(shù)，建立方程組乃至比例關(guān)系才能拿到全分?！窘馕觥拷猓?1如圖1，過點P作PMBC，垂足為M，那么四邊形PDCM為矩形。PM=DC=12QB=16-t，S= 1216-t=96-t2

9、由圖可知：CM=PD=2t，CQ=t。熱以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。假設(shè)PQ=BQ。在RtPMQ中， ，由PQ2=BQ2得 ，解得t= ;假設(shè)BP=BQ。在RtPMB中， 。由BP2=BQ2 得：即 。由于=-7040無解，PBBQ假設(shè)PB=PQ。由PB2=PQ2，得整理，得 。解得 舍想想看為什么要舍?函數(shù)自變量的取值范圍是多少?綜合上面的討論可知：當(dāng)t= 秒時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形。3設(shè)存在時刻t，使得PQBD。如圖2，過點Q作QEADS，垂足為E。由RtBDCRtQPE，得 ，即 。解得t=9所以，當(dāng)t=9秒時，PQBD?！纠?】在R

10、tABC中，C=90，AC = 3，AB = 5.點P從點C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立即以原來的速度沿AC返回;點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動.伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BC-CP于點E.點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點Q到達點B時停頓運動，點P也隨之停頓.設(shè)點P、Q運動的時間是t秒t0.1當(dāng)t = 2時，AP = ，點Q到AC的間隔 是 ;2在點P從C向A運動的過程中，求APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;不必寫出t的取值范圍3在點E從B向C運動的過程中，四邊形QBED能否成為直角梯形?假設(shè)能，求t的值

11、.假設(shè)不能，請說明理由;4當(dāng)DE經(jīng)過點C 時，請直接寫出t的值.【思路分析】仍然是一道放在幾何圖形當(dāng)中的函數(shù)題。但是此題略有不同的是動點有一個折返的動作，所以加大了考慮的難度,但是這個條件根本不影響做題,不需要太專注于其上。首先應(yīng)當(dāng)注意到的是在運動過程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因為給出了AC和CB的長度,據(jù)此估計出運動可能呈現(xiàn)的狀態(tài).第一問簡單不用多說,第二問做出垂線利用三角形內(nèi)的比例關(guān)系做出函數(shù).第三問尤其注意直角梯形在此題中有兩種呈現(xiàn)方式.DE/QB和PQ/BC都要分情況討論.最后一問那么可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量關(guān)系去求解.解：11， ;2作QF

12、AC于點F，如圖3， AQ = CP= t， .由AQFABC， ，得 . .即 .3能.當(dāng)DEQB時，如圖4.DEPQ，PQQB，四邊形QBED是直角梯形.此時AQP=90.由APQ ABC，得 ，即 . 解得 .如圖5，當(dāng)PQBC時，DEBC，四邊形QBED是直角梯形.此時APQ =90.由AQP ABC，得 ，即 . 解得 .4 或 .【注：點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C.方法一、連接QC，作QGBC于點G，如圖6.由 ，得 ，解得 .方法二、由 ，得 ，進而可得，得 ， . .點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C，如圖7.【例5】如圖，在 中， ， ， ， 分別是邊 的中點，點 從點 出發(fā)沿

13、 方向運動，過點 作 于 ，過點 作 交 于，當(dāng)點 與點 重合時，點 停頓運動.設(shè) ， .1求點 到 的間隔 的長;2求 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式不要求寫出自變量的取值范圍;3是否存在點 ，使 為等腰三角形?假設(shè)存在，懇求出所有滿足要求的 的值;假設(shè)不存在，請說明理由.【思路分析】此題也是一道較為典型的題。第一問其實就是重要暗示，算DH的長度實際上就是后面PQ的長度，在構(gòu)建等腰三角形中發(fā)揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問列函數(shù)式，最重要的是找到y(tǒng)QR和xBQ要通過哪些量練聯(lián)絡(luò)在一起.我們發(fā)現(xiàn)RQ和QC所在的QRC和BAC是相似的,于是建立起比例關(guān)系得出結(jié)果.第三問仍然是要分類討論,但凡看

14、到構(gòu)成特殊圖形的情況都要去討論一下.不同類之間的解法也有所不同,需要注意一下.解：1 ， ， ， .點 為 中點， .2 ， .即 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式為： .3存在，分三種情況：當(dāng) 時，過點 作 于 ，那么 .當(dāng) 時， ，當(dāng) 時，那么 為 中垂線上的點，于是點 為 的中點，綜上所述，當(dāng) 為 或6或 時， 為等腰三角形.【總結(jié)】通過以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來說這類函數(shù)型動態(tài)幾何題是偏難的，不光對幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗考生的方程、函數(shù)的計算才能。解決這類問題需要注意這么幾個點：首先和純動態(tài)幾何題一樣，始終把握在變化中不動的量將函數(shù)的變量放在同一組關(guān)系中建立聯(lián)絡(luò),尤其是

15、找出題中是否有可以將這些條件聯(lián)絡(luò)起來的相似三角形組來構(gòu)造比例關(guān)系。其次要注意特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函數(shù)自變量的取值范圍，合理挑選出可能的情況。最后就是在計算環(huán)節(jié)認真細心，做好每一步。第二部分 發(fā)散考慮【考慮1】如下圖，菱形 的邊長為6厘米， .從初始時刻開場，點 、 同時從 點出發(fā)，點 以1厘米/秒的速度沿 的方向運動，點 以2厘米/秒的速度沿 的方向運動，當(dāng)點 運動到 點時， 、 兩點同時停頓運動，設(shè) 、 運動的時間為 秒時， 與 重疊部分的面積為 平方厘米這里規(guī)定：點和線段是面積為 的三角形，解答以下問題：1點 、 從出發(fā)到相遇所用時間是 秒;2點 、 從開

16、場運動到停頓的過程中，當(dāng) 是等邊三角形時 的值是 秒;3求 與 之間的函數(shù)關(guān)系式.【思路分析】此題一二問不用多說，第三問是比較少見的分段函數(shù)。需要將x運動分成三個階段,第一個階段是03，到3時剛好Q到B.第二階段是36，Q從B返回來.第三階段那么是再折回去.根據(jù)各個分段運動過程中圖形性質(zhì)的不同分別列出函數(shù)式即可.【考慮2】直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標(biāo)分別為4,0，0,3.現(xiàn)有兩動點P,Q分別從A,C同時出發(fā)，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設(shè)運動時間為t秒.1填空：菱形ABCD的邊長是 、面積是 、 高BE的長是 ;2探究以下問題：假設(shè)點P的速

17、度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當(dāng)點Q在線段BA上時，求APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值;假設(shè)點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變?yōu)槊棵雓個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應(yīng)的k值，使得APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請?zhí)骄慨?dāng)t=4秒時的情形，并求出k的值.【思路分析】仍然是面積和時間的函數(shù)關(guān)系，仍然是先做垂線，然后利用三角形的比例關(guān)系去列函數(shù)式。注意這里這個函數(shù)式的自變量取值范圍是要去求的，然后在范圍中去求得S的最大值。最后一問翻折后假設(shè)要構(gòu)成菱形，那么需三角形APQ為等腰三角形即可，于是繼續(xù)分情況去討論就行了。【考慮3】：等邊三角

18、形 的邊長為4厘米，長為1厘米的線段 在 的邊 上沿 方向以1厘米/秒的速度向 點運動運動開場時，點 與點 重合，點 到達點 時運動終止，過點 分別作 邊的垂線，與 的其它邊交于 兩點，線段 運動的時間為 秒.1線段 在運動的過程中， 為何值時，四邊形 恰為矩形?并求出該矩形的面積;2線段 在運動的過程中，四邊形 的面積為 ，運動的時間為 .求四邊形 的面積 隨運動時間 變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 的取值范圍.【思路分析】 第一問就是看運動到特殊圖形那一瞬間的靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)成正常的幾何題去求解。因為要成為矩形只有一種情況就是PM=QN，所以此時MN剛好被三角形的高線垂直平分，不難。第二問也是

19、較為明顯的分段函數(shù)問題。首先是N過AB中點之前，其次是N過中點之后同時M沒有過中點，最后是M,N都過了中點，按照這三種情況去分解題目討論。需要注意的就是四邊形始終是個梯形，且高MN是不變的，所以PM和QN的長度就成為了求面積S中變化的部分。這一類題目計算繁瑣，思路多樣，所以希望大家仔細琢磨這8個經(jīng)典題型就可以了，中考中總逃不出這些題型的。只要研究透了，面對它們的時候思路上來的就快，做題自然不在話下了。第三部分 考慮題解析【考慮1解析】解：16.28.3當(dāng)0 時，當(dāng)3 時，當(dāng) 時，設(shè) 與 交于點 .解法一過 作 那么 為等邊三角形.解法二如右圖，過點 作 于點 ， ，于點過點 作 交 延長線于點 .【考慮2解析】解：15 , 24,2由題意，得AP=t，AQ=10-2t.如圖1,過點Q作QGAD，垂足為G，由QGBE得AQGABE, ,QG= , 1分 5.1分 5.這個自變量的范圍很重要當(dāng)t= 時，S最大值為6. 要使APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，只需APQ為等腰三角形即可.當(dāng)t=4秒時，點P的速度為每秒1個單位，AP= .以下分兩種情況討論:第一種情況：當(dāng)點Q在CB上時, PQPA，只存在點Q1,使Q1A=Q1P.如圖2,過點Q1作Q1MAP，垂足為點M，Q1M交AC于點F,那么AM