高三數(shù)學(xué)課件：第七章第九節(jié)直線與平面、平面與平面所成的角、點(diǎn)到平面的距離

1、第九節(jié) 直線與平面、平面與平面 所成的角、點(diǎn)到平面的距離1.1.直線與平面所成的角直線與平面所成的角(1)(1)定義：如果直線定義：如果直線l與平面與平面垂直，很自然地定義直線垂直，很自然地定義直線l與平與平面面所成的角所成的角為直角為直角,= ,= ；如果直線；如果直線l與平面與平面不垂直，不垂直，則則l在在內(nèi)的射影是一條直線內(nèi)的射影是一條直線l，將，將_所成的角所成的角定義為定義為直線直線l與平面與平面所成的角所成的角. .2l與與l(2)(2)一般求法一般求法作直線作直線l的方向向量的方向向量 和平面和平面的法向量的法向量n，并且可選，并且可選 與與n所所成的角成的角1 100， .利用

2、數(shù)量積運(yùn)算可求出利用數(shù)量積運(yùn)算可求出coscos1 1，則直線，則直線l與與平面平面所成的角所成的角= ,sin=_.= ,sin=_.212coscos1 1【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)思考：直線與平面所成的角、平面的法向量與直線的方向思考：直線與平面所成的角、平面的法向量與直線的方向向量的夾角具有怎樣的關(guān)系？向量的夾角具有怎樣的關(guān)系？提示提示: :當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量的夾角是銳角時，其當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量的夾角是銳角時，其余角為線面角；當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量的夾角是鈍余角為線面角；當(dāng)直線的方向向量與平面的法向量的夾角是鈍角時，其補(bǔ)角的余角是線面角角時，其補(bǔ)角

3、的余角是線面角. .(2)(2)長方體長方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=AAAB=AA1 1=2=2，AD=1AD=1，E E為為CCCC1 1的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則異面直線則異面直線BCBC1 1與與AEAE所成角的余弦值為所成角的余弦值為_._.【解析解析】建立坐標(biāo)系如圖，則建立坐標(biāo)系如圖，則A(1,0,0)A(1,0,0)，E(0,2,1)E(0,2,1)，B(1,2,0)B(1,2,0)，C C1 1(0,2,2)(0,2,2)，答案答案: :1111BC1,0,2 AE1,2,1cosBC AE30.10|BC |AE| ，30102.

4、2.平面與平面所成的角平面與平面所成的角(1)(1)半平面半平面在一個平面上作一條直線，則這條直線將平面分成兩部分，其在一個平面上作一條直線，則這條直線將平面分成兩部分，其中中_都稱為半平面都稱為半平面. .(2)(2)二面角二面角從一條直線從一條直線l出發(fā)的兩個出發(fā)的兩個_組成的圖形叫作二面組成的圖形叫作二面角，記為角，記為_._.每部分每部分半平面半平面,-l-(3)(3)二面角的平面角二面角的平面角定義：過二面角定義：過二面角-l-的棱的棱l上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)O O作垂直于棱作垂直于棱l的平的平面，分別與兩個面面，分別與兩個面,相交得到兩條射線相交得到兩條射線OAOA，OB,OB,則則

5、_稱為二面角稱為二面角-l-的平面角的平面角. .范圍：范圍：_._.(4)(4)直二面角直二面角當(dāng)二面角當(dāng)二面角-l-是是_時稱它為直二面角時稱它為直二面角. .AOBAOB0 01801809090【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)思考：若思考：若ABAB、CDCD是二面角是二面角-l-的兩個面內(nèi)與棱的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直垂直的直線，則二面角的大小線，則二面角的大小與與有何關(guān)系？有何關(guān)系？提示提示: := 或或=-=- . .AB,CD AB,CD AB,CD (2)(2)思考：如圖思考：如圖, ,n1 1, ,n2 2分別是二分別是二面角面角-l-的兩個半平面的兩個半平面,的法的法向量向

6、量, ,則二面角的平面角則二面角的平面角的余弦值的余弦值與與coscos 有何關(guān)系？有何關(guān)系？提示提示: :對于，對于，cos=-coscos=-cos 對于，對于，cos=coscos=cos.3.3.點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離(1)(1)點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離定義：從空間中一點(diǎn)定義：從空間中一點(diǎn)P P到平面到平面作垂線作垂線PDPD交平面交平面于于D D，則，則_的長度的長度d d稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)P P到平面到平面的距離的距離. .求法：假如知道了平面求法：假如知道了平面的法向量的法向量n以及平面上任一點(diǎn)以及平面上任一點(diǎn)A A，則，則向量向量 在法向量在法向量n所在方向上的投影長度所在

7、方向上的投影長度d d就等于點(diǎn)就等于點(diǎn)P P到平面到平面的距離，且的距離，且d= .d= .線段線段PDPDAP AP| nn(2)(2)直線到與它平行平面的距離直線到與它平行平面的距離設(shè)直線設(shè)直線l平行于平面平行于平面，則，則l上所有的點(diǎn)到上所有的點(diǎn)到的距離的距離_，稱為，稱為l與與的距離的距離. .(3)(3)兩個平行平面的距離兩個平行平面的距離設(shè)兩個平面設(shè)兩個平面與與平行，則平行，則上所有的點(diǎn)到上所有的點(diǎn)到的距離的距離d_d_，_稱為兩個平行平面稱為兩個平行平面，之間的距離之間的距離. .相等相等相等相等d d【即時應(yīng)用即時應(yīng)用】(1)(1)思考：如何求線面距離與面面距離？思考：如何求線

8、面距離與面面距離？提示提示: :求這兩種距離，通常都轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離求這兩種距離，通常都轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離. .(2)(2)思考：如何推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式？思考：如何推導(dǎo)點(diǎn)到平面的距離公式？提示提示: :如圖如圖, ,點(diǎn)點(diǎn)A A到平面到平面的距離就是向量的距離就是向量 在平面在平面的法向量的法向量n上投影的絕對值上投影的絕對值, ,即即d=| |sinABO=| |cos ,d=| |sinABO=| |cos|利用該公式求點(diǎn)到平面的距離簡便易行利用該公式求點(diǎn)到平面的距離簡便易行. .AB AB AB AB AB|AB|AB|.|AB| | nnnn(3)(3)已知在長方體已知在長

9、方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，底面是邊長為中，底面是邊長為2 2的正方形，的正方形，高為高為4 4，則點(diǎn)，則點(diǎn)A A1 1到截面到截面ABAB1 1D D1 1的距離是的距離是_._.【解析解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則則A A1 1(2,0,4)(2,0,4)，A(2,0,0)A(2,0,0)，B B1 1(2,2,4)(2,2,4)，D D1 1(0,0,4)(0,0,4)， =(-2,0,4),=(-2,0,4), =(0,2,4), =(0,0,4), =(0,2,4), =(0,0,4),1AD 1AB 1AA

10、 設(shè)平面設(shè)平面ABAB1 1D D1 1的一個法向量為的一個法向量為n=(x=(x，y y，z)z)，由由得得 ，令，令z=1z=1，則，則n=(2,-2,1)=(2,-2,1)，設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A A1 1到平面到平面ABAB1 1D D1 1的距離為的距離為d d，則則答案答案: :11AD2x4z0,AB2y4z0 nnx2zy2z 1|AA|4d.|3 nn43熱點(diǎn)考向熱點(diǎn)考向 1 1 用空間向量求空間角用空間向量求空間角 【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】1.1.異面直線所成角的求法異面直線所成角的求法利用空間向量求異面直線所成的角可利用直線的方向向量轉(zhuǎn)化利用空間向量求異面直線所成的角可利用直線的方向向量

11、轉(zhuǎn)化成向量所成的角成向量所成的角. .2.2.利用向量求直線與平面夾角的方法利用向量求直線與平面夾角的方法(1)(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量, ,轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角為求兩個方向向量的夾角( (或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角) )；(2)(2)通過平面的法向量來求通過平面的法向量來求, ,即求出斜線的方向向量與平面的法即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角向量所夾的銳角, ,取其余角就是斜線和平面所成的角取其余角就是斜線和平面所成的角. .3.3.求二面角的常用方法求二面角的常用方法(1)(1)分別求出二面角的兩個面所在平

12、面的法向量，然后通過兩個分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小形判斷所求角的大小. .(2)(2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量兩個向量, ,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小. .【提醒提醒】求線面角和二面角的兩種方法各有利弊，要善于結(jié)合求線面角和二面角的兩種方法各有利弊，要善于結(jié)合題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń忸}題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)

13、的方法解題. . 【例例1 1】(1)(1)已知正方體已知正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，則直線，則直線BCBC1 1與平面與平面A A1 1BDBD所成所成的角的余弦值是的角的余弦值是( )( ) 2233A B C D4332(2)(2012(2)(2012福建高考福建高考) )如圖如圖, ,在長方體在長方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,AA,AA1 1=AD=1,E=AD=1,E為為CDCD中點(diǎn)中點(diǎn). .求證求證:B:B1 1EADEAD1 1; ;在棱在棱AAAA1 1上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn)P,P

14、,使得使得DPDP平面平面B B1 1AE?AE?若存在若存在, ,求求APAP的長的長; ;若不存在若不存在, ,說明理由說明理由; ;若二面角若二面角A-BA-B1 1E-AE-A1 1的大小為的大小為3030, ,求求ABAB的長的長. .【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)選選C.C.建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示. .設(shè)正方體的棱長為設(shè)正方體的棱長為1,1,直線直線BCBC1 1與平面與平面A A1 1BDBD所成的角為所成的角為,則則D(0,0,0),AD(0,0,0),A1 1(1,0,1),B(1,1,0),C(1,0,1),B(1,1,0),C1 1(0(0

15、，1 1，1)1)，11DA101 DB110 BC101 ， ， ， ， 設(shè)設(shè)n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面A A1 1BDBD的一個法向量的一個法向量, ,則則 令令z=1,z=1,則則x=-1,y=1.x=-1,y=1.n=(-1,1,1)=(-1,1,1)，sin=sin=coscosn,BC,BC1 1= =0, 0, , ,cos=cos=1DAxz0DBxy0, nn1 16332，2231 sin.3 (2)(2)以以A A為原點(diǎn)為原點(diǎn), , 的方向分別為的方向分別為x x軸軸,y,y軸軸,z,z軸的軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系正方向建立空間直角坐標(biāo)系( (如圖

16、如圖),),設(shè)設(shè)AB=a,AB=a,則則A(0,0,0),A(0,0,0),D(0,1,0),DD(0,1,0),D1 1(0,1,1),E( 1,0),B(0,1,1),E( 1,0),B1 1(a,0,1),(a,0,1),故故 = =(0,1,1), =( 1,-1), =(a,0,1), =( 1,0).(0,1,1), =( 1,-1), =(a,0,1), =( 1,0).1AB,AD,AA a,21AD 1B Ea,21AB AE a,2BB1 1EADEAD1 1. .11aAD B E0 () 1 1 110,2 假設(shè)在棱假設(shè)在棱AAAA1 1上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)P(0,0,

17、zP(0,0,z0 0),),使得使得DPDP平面平面B B1 1AE.AE.此時此時 =(0,-1,z=(0,-1,z0 0).).又設(shè)平面又設(shè)平面B B1 1AEAE的法向量的法向量n=(x,y,z).=(x,y,z).n平面平面B B1 1AE,AE,n n 得得取取x=1,x=1,得平面得平面B B1 1AEAE的一個法向量的一個法向量n=(1, -a).=(1, -a).要使要使DPDP平面平面B B1 1AE,AE,只要只要n 有有 -az-az0 0=0,=0,解得解得又又DPDP 平面平面B B1 1AE,AE,存在點(diǎn)存在點(diǎn)P,P,滿足滿足DPDP平面平面B B1 1AE,AE

18、,此時此時DP 1AB , AE, axz0,axy0.2a,2DP, a201z,21AP.2連接連接A A1 1D,BD,B1 1C,C,由長方體由長方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1及及AAAA1 1=AD=1,=AD=1,得得ADAD1 1AA1 1D.D.BB1 1CACA1 1D,ADD,AD1 1BB1 1C.C.又由知又由知B B1 1EADEAD1 1, ,且且B B1 1CBCB1 1E=BE=B1 1, ,ADAD1 1平面平面DCBDCB1 1A A1 1, , 是平面是平面A A1 1B B1 1E E的一個法向量的一個法向量, ,

19、此時此時 =(0,1,1).=(0,1,1).設(shè)設(shè)ADAD1 1與與n所成的角為所成的角為,則則cos=cos=1AD 1AD 1212aaAD2.|AD |a2 1a4 nn二面角二面角A-BA-B1 1E-AE-A1 1的大小為的大小為3030, ,|cos|=cos30|cos|=cos30, ,即即解得解得a=2,a=2,即即ABAB的長為的長為2.2.23a32,25a2 14【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】如圖，在四面體如圖，在四面體ABCDABCD中，平面中，平面ABCABC平面平面ACDACD，ABBC,AD=CD,ABBC,AD=CD,CAD=30CAD=30. .(1)(1)若若AD=

20、2,AB=2BC,AD=2,AB=2BC,求四面體求四面體ABCDABCD的體積；的體積；(2)(2)若二面角若二面角C-AB-DC-AB-D為為6060，求異面直線，求異面直線ADAD與與BCBC所成角的余弦值所成角的余弦值. .【解析解析】(1)(1)如圖如圖1,1,設(shè)設(shè)F F為為ACAC的中點(diǎn)，連接的中點(diǎn)，連接DFDF，由于，由于AD=CDAD=CD，所以所以DFAC.DFAC.故由平面故由平面ABCABC平面平面ACDACD，知，知DFDF平面平面ABCABC，即即DFDF是四面體是四面體ABCDABCD的面的面ABCABC上的高，上的高，且且DF=ADsin30DF=ADsin30=

21、1=1，AF=ADcos30AF=ADcos30= =3.在在RtRtABCABC中，因中，因AC=2AF= AC=2AF= ，AB=2BCAB=2BC，由勾股定理易知由勾股定理易知故四面體故四面體ABCDABCD的體積的體積V= SV= SABCABCDFDF2 32 154 15BCAB.55,13114 152 1541.32555 (2)(2)如圖如圖2 2，過，過F F作作FMACFMAC，交，交ABAB于于M M，已知，已知AD=CDAD=CD，平面，平面ABCABC平面平面ACDACD，易知，易知FCFC，F(xiàn)DFD，F(xiàn)MFM兩兩垂直，以兩兩垂直，以F F為原點(diǎn)，射線為原點(diǎn)，射線F

22、MFM，F(xiàn)CFC，F(xiàn)DFD分別為分別為x x軸，軸，y y軸，軸，z z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系. .設(shè)設(shè)AD=2AD=2，由，由CD=ADCD=AD，CAD=30CAD=30，易知點(diǎn)，易知點(diǎn)A A，C C，D D的坐標(biāo)分別為的坐標(biāo)分別為A(0, ,0),C(0, ,0),D(0,0,1),A(0, ,0),C(0, ,0),D(0,0,1),則則顯然向量顯然向量k=(0,0,1)=(0,0,1)是平面是平面ABCABC的一個法向量的一個法向量. .已知二面角已知二面角CABDCABD為為6060，故可取平面，故可取平面ABDABD的單位法向量的單位法向量t

23、=(=(l,m,n),m,n),使得使得t, ,k=60=60，從而，從而33AD0, 3,1 . 1n.2由由t , ,有有 m+n=0,m+n=0,從而從而由由l2 2+m+m2 2+n+n2 2=1,=1,得得l= =設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y,0)(x,y,0)，由由 可取可取l= =有有解之得解之得AD 33m.6 6.322xy363xy3036，ABBC,AB, t6,34 6xx09.y37 3y9 或舍去易知易知l= = 與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去與坐標(biāo)系的建立方式不合，舍去. .因此點(diǎn)因此點(diǎn)B B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ).( ).所以所以從而從而又異面直線的夾角

24、又異面直線的夾角(0, (0, , ,故異面直線故異面直線ADAD與與BCBC所成角的余弦值為所成角的余弦值為634 6 7 3,0994 62 3CB(,0).99 22AD CB cos|AD|CB|2 33()39,64 62 33 1()()99 23.6熱點(diǎn)考向熱點(diǎn)考向 2 2 用空間向量求空間距離用空間向量求空間距離【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】求平面求平面外一點(diǎn)外一點(diǎn)P P到平面到平面的距離的步驟的距離的步驟(1)(1)求平面求平面的法向量的法向量n；(2)(2)在平面在平面內(nèi)取一點(diǎn)內(nèi)取一點(diǎn)A,A,確定向量確定向量 的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；(3)(3)代入公式代入公式d= d= 求解求解. . P

25、A |PA| nn【例例2 2】(1)(1)在棱長為在棱長為1 1的正方體的正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，點(diǎn)中，點(diǎn)E E為為BBBB1 1的的中點(diǎn)，則點(diǎn)中點(diǎn)，則點(diǎn)C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距離是的距離是_._.(2)(2)已知四棱錐已知四棱錐P-ABCDP-ABCD中中PAPA平面平面ABCDABCD，且且PA=4PQ=4PA=4PQ=4，CDA=BAD=90CDA=BAD=90,AB=2,AB=2,CD=1,AD= ,M,NCD=1,AD= ,M,N分別是分別是PDPD，PBPB的中點(diǎn)的中點(diǎn). .求證：求證：MQMQ平面平面P

26、CBPCB；求截面求截面MCNMCN與底面與底面ABCDABCD所成二面角的大??；所成二面角的大小；求點(diǎn)求點(diǎn)A A到平面到平面MCNMCN的距離的距離. .2【解題指南解題指南】(1)(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的距離公式建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到面的距離公式求解求解. .(2)(2)以以A A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解：為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解：求出平面求出平面PCBPCB的一個法向量的一個法向量n0 0, ,只需證明只需證明 n0 0=0=0即可；即可；先求出截面先求出截面MCNMCN的一個法向量的一個法向量n, ,只需利用夾角公式求得兩個只需利用夾角公

27、式求得兩個平面的法向量的夾角平面的法向量的夾角 , ,便可得出答案；便可得出答案；利用點(diǎn)到平面的距離公式解題利用點(diǎn)到平面的距離公式解題. .MQ AP 【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)以以A A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示. .則則A A1 1(0,0,1)(0,0,1)，E(1,0E(1,0， ) )，D(0,1,0)D(0,1,0)，C C1 1(1,1,1).(1,1,1). =(0,1,-1), =(0,1,-1),設(shè)平面設(shè)平面A1EDA1ED的一個法向量為的一個法向量為n1 1=(x,y,z)=(x,y,z)，121A D 11A E(1,0,)2

28、 由由 得得令令z=2z=2，則，則n1 1=(1,2,2).=(1,2,2).又又 =(-1,-1,0)=(-1,-1,0)，點(diǎn)點(diǎn)C C1 1到平面到平面A A1 1EDED的距離的距離答案答案: :1 11111A Dyz01A Exz02 ，nnyz.1xz211C A1111|C A|3d1.|3 nn(2)(2)以以A A為原點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以ADAD，ABAB，APAP所在直線分別為所在直線分別為x,y,zx,y,z軸建立空軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示間直角坐標(biāo)系如圖所示, ,由由AB=2AB=2，CD=1CD=1，AD= AD= ，PA=4PQ=4PA=4PQ=4，M M，N N分

29、別是分別是PDPD，PBPB的中點(diǎn)，可得的中點(diǎn)，可得2A(0,0,0),B(0,2,0),C( ,1,0),D( ,0,0),A(0,0,0),B(0,2,0),C( ,1,0),D( ,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M( ,0,2),N(0,1,2)P(0,0,4),Q(0,0,3),M( ,0,2),N(0,1,2)，設(shè)平面設(shè)平面PCBPCB的一個法向量為的一個法向量為n0 0=(x,y,z),=(x,y,z),則有則有令令z=1,z=1,則則x=x= ,y=2,y=2n0 0=(=( , ,2 2, ,1)1)，又又MQMQ 平面平面PCBPCB，MQMQ平面平面PCB.

30、PCB.22222BC210 PB0 24 MQ(01)2 ， ， ， ， ，.00BC(x,y,z)2, 1,002xy0PB(x,y,z) 0,2, 402y4z0 ，nn2202MQ(01)2,2,10,2 ， ，n設(shè)平面設(shè)平面MCNMCN的一個法向量為的一個法向量為n=(x,y,z)=(x,y,z)，又又 則有：則有：令令z=1,z=1,則則x=x= ,y=1,y=1n=(=( ，1 1，1)1)，又又 =(0=(0，0 0，4)4)為平面為平面ABCDABCD的一個法向量，的一個法向量，2CM(1 2) CN(2 0 2)2 ， ， ， ，22CM(x,y,z) (, 1,2)0 x

31、y2z022CN(x,y,z)2,0,202x2z0, nn22AP 又截面又截面MCNMCN與底面與底面ABCDABCD所成的二面角為銳二面角，所成的二面角為銳二面角，截面截面MCNMCN與底面與底面ABCDABCD所成二面角的大小為所成二面角的大小為 ,所求的距離所求的距離AP41cos,242| |AP| nnn.3CA(2, 1,0) |CA|221 1 1 0|3d.|22 nn【互動探究互動探究】在本例在本例(1)(1)中，若條件不變，結(jié)論改為中，若條件不變，結(jié)論改為“則直線則直線A A1 1C C1 1與平面與平面A A1 1EDED所成角的大小為所成角的大小為_”_”，則如何求

32、解？，則如何求解？【解析解析】由例題由例題(1)(1)的解法知，平面的解法知，平面A A1 1EDED的一個法向量為的一個法向量為n1 1=(1,2,2)=(1,2,2)， =(-1,-1,0).=(-1,-1,0).設(shè)所求角為設(shè)所求角為，則，則sin=|cossin=|cos|=, |=故直線故直線A A1 1C C1 1與平面與平面A A1 1EDED所成角的大小為所成角的大小為4545. .答案答案: :454511C A11C A111111|C A |32.2| |C A |32nn【反思反思感悟感悟】空間距離包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到線的距離、空間距離包括兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到線的距離、點(diǎn)

33、到面的距離等點(diǎn)到面的距離等. .其中點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線的距離可以用空間向量的其中點(diǎn)到點(diǎn)、點(diǎn)到線的距離可以用空間向量的模來求解，而點(diǎn)到面的距離則借助平面的法向量求解，也可借模來求解，而點(diǎn)到面的距離則借助平面的法向量求解，也可借助于幾何體的體積求解助于幾何體的體積求解. .【變式備選變式備選】如圖所示的多面體是由底面為如圖所示的多面體是由底面為ABCDABCD的長方體被截的長方體被截面面AEFGAEFG所截而得，其中所截而得，其中AB=4AB=4，BC=1BC=1，BE=3BE=3，CF=4CF=4，若如圖所示，若如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系：建立空間直角坐標(biāo)系：(1)(1)求求 和點(diǎn)和點(diǎn)G G的坐標(biāo)；

34、的坐標(biāo)；(2)(2)求異面直線求異面直線EFEF與與ADAD所成的角；所成的角；(3)(3)求點(diǎn)求點(diǎn)C C到截面到截面AEFGAEFG的距離的距離. .EF【解析解析】 (1) (1)由圖可知：由圖可知：A(1,0,0)A(1,0,0)，B(1,4,0)B(1,4,0)，E(1,4,3)E(1,4,3)，F(xiàn)(0,4,4)F(0,4,4)， =(-1,0,1)=(-1,0,1)，又又 ，設(shè)，設(shè)G(0,0G(0,0，z)z)，則則(-1,0(-1,0，z)=(-1,0,1)z)=(-1,0,1)，z=1z=1，即，即G(0,0,1).G(0,0,1).(2) =(-1,0,0)(2) =(-1,0

35、,0)， =(-1,0,1)=(-1,0,1)，ADAD和和EFEF所成的角為所成的角為4545. .EFAGEFAD EFAD EF2cos2|AD| |EF| ，(3)(3)設(shè)設(shè)n平面平面AEFGAEFG，n=(x=(x0 0，y y0 0，z z0 0) )，而而 =(-1,0,1)=(-1,0,1)， =(0,4,3)=(0,4,3)，則則 , ,得得n=(z=(z0 0， z z0 0，z z0 0) )，取，取z z0 0=4=4，則，則n=(4,-3,4)=(4,-3,4)， =(0,0,4)=(0,0,4)，所求距離為所求距離為點(diǎn)點(diǎn)C C到截面到截面AEFGAEFG的距離為的距

36、離為AGAE ，nnAGAE 0000 xz04y3z00000 xz,3yz4 34CF|CF|16 41d.|41nn16 41.41熱點(diǎn)考向熱點(diǎn)考向 3 3 用空間向量解決探索性問題用空間向量解決探索性問題【方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛】探索性問題的類型及解題策略探索性問題的類型及解題策略探索性問題分為存在判斷型和位置判斷型兩種：探索性問題分為存在判斷型和位置判斷型兩種：(1)(1)存在判斷型存在判斷型存在判斷型問題的解題策略是：先假設(shè)存在，并在假設(shè)的前提存在判斷型問題的解題策略是：先假設(shè)存在，并在假設(shè)的前提下進(jìn)行推理，若不出現(xiàn)矛盾則肯定存在，若出現(xiàn)矛盾則否定假下進(jìn)行推理，若不出現(xiàn)矛盾則肯定存在，若

37、出現(xiàn)矛盾則否定假設(shè)設(shè). .(2)(2)位置判斷型位置判斷型與平行、垂直有關(guān)的探索性問題的解題策略為：將空間中的與平行、垂直有關(guān)的探索性問題的解題策略為：將空間中的平行與垂直轉(zhuǎn)化為向量的平行或垂直來解決平行與垂直轉(zhuǎn)化為向量的平行或垂直來解決. .與角有關(guān)的探索性問題的解題策略為：將空間角轉(zhuǎn)化為與向與角有關(guān)的探索性問題的解題策略為：將空間角轉(zhuǎn)化為與向量有關(guān)的問題后應(yīng)用公式量有關(guān)的問題后應(yīng)用公式coscos= ( (其中其中n1 1, ,n2 2是是兩平面的兩平面的法向量或兩直線的方向向量法向量或兩直線的方向向量) )即可解決即可解決. . 1212| |n nnn【例例3 3】如圖，在三棱錐如圖，

38、在三棱錐P-ABCP-ABC中，中，AB=ACAB=AC，D D為為BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，POPO平面平面ABCABC，垂足，垂足O O落在落在線段線段ADAD上，已知上，已知BC=8BC=8，PO=4PO=4，AO=3AO=3，OD=2.OD=2.(1)(1)證明：證明：APBCAPBC；(2)(2)在線段在線段APAP上是否存在點(diǎn)上是否存在點(diǎn)M M，使得二面角，使得二面角A-MC-BA-MC-B為直二面角？為直二面角？若存在，求出若存在，求出AMAM的長；若不存在，請說明理由的長；若不存在，請說明理由. .【解題指南解題指南】建立坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系，(1)(1)利用利用 來證明；來證明；

39、(2)(2)假設(shè)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，求出兩個半平面的法向量，判斷兩法向量存在滿足條件的點(diǎn)，求出兩個半平面的法向量，判斷兩法向量是否能垂直即可是否能垂直即可. .若垂直，則假設(shè)成立；若不垂直，則假設(shè)不成若垂直，則假設(shè)成立；若不垂直，則假設(shè)不成立立. .AP BC0 【規(guī)范解答規(guī)范解答】(1)(1)如圖以如圖以O(shè) O為原點(diǎn)，以為原點(diǎn)，以 的正方向分別為的正方向分別為y y軸，軸，z z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0)O(0,0,0)，A(0,-3,0),B(4,2,0)A(0,-3,0),B(4,2,0)，C(-4,2,0),C(-4,2,0)

40、,P(0,0,4).P(0,0,4). ，即，即APBC.APBC.ODOP ，AP0 3 4 BC8 0 0AP BC0 ， ， ， ， .，APBC (2)(2)假設(shè)存在假設(shè)存在M M，設(shè)，設(shè) , ,其中其中0,1),0,1),則則 =(0,-3,-4)=(0,-3,-4).=(0,-3,-4)=(0,-3,-4).=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4)=(-4,-2-3,4-4) =(-4,5,0), =(-8,0,0) =(-4,5,0), =(-8,0,0)PMPA PMBMBPPMBPPA AC BC 設(shè)平面設(shè)平

41、面BMCBMC的一個法向量的一個法向量n1 1=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) )，平面平面APCAPC的一個法向量的一個法向量n2 2=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),由由即即可取可取n1 1=(0,1,=(0,1, ),),111111BM4x23y44z0,BC8x0, nn111x0,23zy ,44 2344 由由得得 可取可取n2 2=(5,4,-3).=(5,4,-3).由由n1 1n2 2=0,=0,得得4-3 =04-3 =0，解得解得= = ，故，故AM=3.AM=3.綜上所述，存在點(diǎn)綜上所述，存在點(diǎn)M M符合題意，符合題意，AM=3.A

42、M=3.222222AP3y4z0,AC4x5y0, nn22225xy ,43zy ,4 2344 25【反思反思感悟感悟】1.1.開放性問題是近幾年高考中出現(xiàn)較多的一種開放性問題是近幾年高考中出現(xiàn)較多的一種題型，向量法是解此類問題的常用方法題型，向量法是解此類問題的常用方法. .2.2.對于探索性問題，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)對于探索性問題，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在有解但不滿足題意或無解則不存在. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】(2012

43、(2012武漢模擬武漢模擬) )如圖，平面如圖，平面PADPAD平面平面ABCDABCD，四邊形，四邊形ABCDABCD為正方形，為正方形，PADPAD是直角三角形，且是直角三角形，且PA=AD=2PA=AD=2，E E、F F、G G分別是線段分別是線段PAPA、PDPD、CDCD的中點(diǎn)的中點(diǎn). .(1)(1)求證：求證：PBPB平面平面EFGEFG；(2)(2)求異面直線求異面直線EGEG與與BDBD所成角的余弦值；所成角的余弦值；(3)(3)在線段在線段CDCD上是否存在一點(diǎn)上是否存在一點(diǎn)Q Q，使得，使得A A點(diǎn)到平面點(diǎn)到平面EFQEFQ的距離為的距離為 ，若存在，求出，若存在，求出C

44、QCQ的值？若不存在，請說明理由的值？若不存在，請說明理由. .45【解析解析】方法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系方法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, ,則則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).F(0,1,1),G(1,2,0).(1) =(2,0,-2), =(0,-1,0),(1) =(2,0,-2), =(0,-1,0), =(1,1,-1), =(1,1,-1),設(shè)設(shè)

45、即即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)，PBFEFG PBsFEtFG ， 解得解得s=t=2.s=t=2.又又 與與 不共線，不共線， 與與 共面共面 . .PB PB 平面平面EFGEFG，PBPB平面平面EFG.EFG.t2,ts0,t2, PB2FE2FG, FEFG FG PBFE ，(2) =(1,2,-1)(2) =(1,2,-1)， =(-2,2,0).=(-2,2,0).故異面直線故異面直線EGEG與與BDBD所成角的余弦值為所成角的余弦值為 EG BD EG BD243cos,6|EG | |BD

46、|6 2 2 3.6(3)(3)假設(shè)在線段假設(shè)在線段CDCD上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)Q Q滿足題設(shè)條件，令滿足題設(shè)條件，令CQ=m(0m2),CQ=m(0m2),則則DQ=2-m,DQ=2-m,點(diǎn)點(diǎn)Q Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2-m,2,0), =(2-m,2,-1),(2-m,2,0), =(2-m,2,-1),而而 =(0,1,0),=(0,1,0),設(shè)平面設(shè)平面EFQEFQ的一個法向量為的一個法向量為n=(x,y,z),=(x,y,z),則則EQ EFEF(x,y,z) 0,1,00,EQ(x,y,z) 2m,2, 10y0,2m x2yz0. nn令令x=1,x=1,則則n=(1,0,2-m)

47、,=(1,0,2-m),又又 =(0,0,1)=(0,0,1)，點(diǎn)點(diǎn)A A到平面到平面EFQEFQ的距離的距離d=d=即即(2-m)(2-m)2 2= ,= ,m= m= 或或m= ,m= ,又又m= 2m= 2不合題意，舍去不合題意，舍去. .故存在點(diǎn)故存在點(diǎn)Q Q，當(dāng)，當(dāng)CQ= CQ= 時，點(diǎn)時，點(diǎn)A A到平面到平面EFQEFQ的距離為的距離為AE 2AE2m4| |512m ，nn16923103103234.5方法二：方法二：(1)(1)取取ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)H H，連接，連接GHGH，HEHE，E E、F F、G G分別是線段分別是線段PAPA、PDPD、CDCD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，G

48、HADEFGHADEF，E E、F F、H H、G G四點(diǎn)共面四點(diǎn)共面. .又又H H為為ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，EHPB.EHPB.又又EHEH平面平面EFGEFG，PB PB 平面平面EFGEFG，PBPB平面平面EFG.EFG.(2)(2)取取BCBC的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M，連接，連接GMGM、AMAM、EMEM，則，則GMBDGMBD，EGM(EGM(或其補(bǔ)角或其補(bǔ)角) )就是異面直線就是異面直線EGEG與與BDBD所成的角所成的角. .在在RtRtMAEMAE中，中，同理同理EG= EG= ，又，又GM= BD= GM= BD= ，在在MGEMGE中，中，cosEGM= cosEGM=

49、故異面直線故異面直線EGEG與與BDBD所成角的余弦值為所成角的余弦值為 22EMAEAM6，6122222EGGMME2EG GM6263,62 623.6(3)(3)假設(shè)在線段假設(shè)在線段CDCD上存在一點(diǎn)上存在一點(diǎn)Q Q滿足題設(shè)條件，過點(diǎn)滿足題設(shè)條件，過點(diǎn)Q Q作作QRABQRAB于于R R，連接，連接RERE，則，則QRAD.QRAD.四邊形四邊形ABCDABCD是正方形，是正方形，PADPAD是直角三角形，是直角三角形，ADABADAB，ADPA.ADPA.又又ABPA=AABPA=A，ADAD平面平面PAB.PAB.又又E E、F F分別是分別是PAPA、PDPD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，EF

50、ADEFAD，EFEF平面平面PAB.PAB.又又EFEF平面平面EFQEFQ，平面平面EFQEFQ平面平面PAB.PAB.過過A A作作ATERATER于于T T，則，則ATAT平面平面EFQEFQ，ATAT就是點(diǎn)就是點(diǎn)A A到平面到平面EFQEFQ的距離的距離. .設(shè)設(shè)CQ=x(0 x2),CQ=x(0 x2),則則BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,BR=CQ=x,AR=2-x,AE=1,在在RtRtEAREAR中，中， 解得解得故存在點(diǎn)故存在點(diǎn)Q Q，當(dāng)，當(dāng)CQ= CQ= 時，點(diǎn)時，點(diǎn)A A到平面到平面EFQEFQ的距離為的距離為22AR AE(2x) 14ATRE52x1，2x.

51、3234.5【變式備選變式備選】(2012(2012泉州模擬泉州模擬) )如圖，已知如圖，已知三棱柱三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的側(cè)棱與底面垂直，的側(cè)棱與底面垂直，AAAA1 1= =AB=AC=1AB=AC=1，ABACABAC，M M、N N分別是分別是CCCC1 1，BCBC的中的中點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)P P在直線在直線A A1 1B B1 1上，且上，且(1)(1)證明：無論證明：無論取何值，總有取何值，總有AMPNAMPN；(2)(2)當(dāng)當(dāng)取何值時，直線取何值時，直線PNPN與平面與平面ABCABC所成的角所成的角最大？并求該最大？并求該角取最大值時的正切值角取最

52、大值時的正切值. .(3)(3)是否存在點(diǎn)是否存在點(diǎn)P P，使得平面，使得平面PMNPMN與平面與平面ABCABC所成的二面角為所成的二面角為3030，若存在，試確定點(diǎn)，若存在，試確定點(diǎn)P P的位置，若不存在，請說明理由的位置，若不存在，請說明理由. .111A PA B 【解析解析】如圖，以如圖，以A A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A A1 1(0,0,1),B(0,0,1),B1 1(1,0,1),(1,0,1),M(0,1, ),N( , ,0),M(0,1, ),N( , ,0), =(1,0,0)=(,0,0) =(1,0,0)=(,0,0)，(1) =(

53、0,1, )(1) =(0,1, )，無論無論取何值，總有取何值，總有AMPN.AMPN.121212111A PA B 11APAAA P0111PN(1)22 ， ，AM 1211AM PN00,AMPN,22 (2)(2)m=(0,0,1)=(0,0,1)是平面是平面ABCABC的一個法向量的一個法向量. .sin=|cossin=|cos|, |當(dāng)當(dāng)= = 時，時，取得最大值，取得最大值，此時此時sin= ,cos= ,tan=2sin= ,cos= ,tan=2即當(dāng)即當(dāng)= = 時，時，取得最大值，且取得最大值，且tan=2.tan=2.PN 2200 111115()1()24241

54、2451512(3)(3)假設(shè)存在，假設(shè)存在， , ,設(shè)設(shè)n=(x,y,z)=(x,y,z)是平面是平面PMNPMN的一個的一個法向量法向量. .則則 得得令令x=3x=3，得，得y=1+2,z=2-2y=1+2,z=2-2，n=(3,1+2,2-2),=(3,1+2,2-2),1 1 1NM(, )2 2 2 111xyz022211()xyz02212yx322zx3 ，化簡得化簡得442 2+10+13=0(+10+13=0(* *) )=100-4=100-44 413=-1080,13=-1080,方程方程( (* *) )無解，無解，不存在點(diǎn)不存在點(diǎn)P P使得平面使得平面PMNPM

55、N與平面與平面ABCABC所成的二面角為所成的二面角為3030. .22223cos,291222 m n1.(20131.(2013龍巖模擬龍巖模擬) )已知二面角已知二面角-l-的大小是的大小是 m,nm,n是異是異面直線面直線, ,且且m,nm,n，則，則m,nm,n所成的角為所成的角為( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析解析】選選B.m,n,B.m,n,異面直線異面直線m,nm,n所成的鈍角與二面角所成的鈍角與二面角-l-互補(bǔ)互補(bǔ). .又又異面直線所成角的范圍為異面直線所成角的范圍為m,nm,n所成的角為所成的角為,323326(0,2.32.

56、(20122.(2012西安模擬西安模擬) )如圖，正方體如圖，正方體ABCD-ABCD-A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為1 1，O O是平面是平面A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的中的中心，則心，則O O到平面到平面ABCABC1 1D D1 1的距離是的距離是( )( ) 12A B2423C D22【解析解析】選選B.B.以以D D為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，DADA，DCDC，DDDD1 1所在直線分別為所在直線分別為x,y,zx,y,z軸軸建立空間直角坐標(biāo)系，則建立空間直角坐標(biāo)系，則C C1 1(0,1,1),O( , ,1),D(0,0,0)(0,1,1),O( , ,1),D(0,0,0)和和A A1 1(1,0,1),(1,0,1),顯然顯然 =(1,0,1)=(1,0,1)是平面是平面ABCABC1 1D D1 1的一個法向量的一個法向量. .又又點(diǎn)點(diǎn)O O到平面到平面ABCABC1 1D D1 1的距離的距離12121DA 11 1OC(,0),2 2 1111|DA OC |22d.4|