利用多媒體對課本一道幾何題的探究分析

1、居巢區(qū)黃麓鎮(zhèn)中心學(xué)校數(shù)學(xué)課經(jīng)驗(yàn)交流材料利用多媒體對課本一道幾何題的探究分析黃麓鎮(zhèn)中心學(xué)校 許大慶二五年四月利用多媒體對課本一道幾何題的探究分析多媒體教學(xué)已逐步走向課堂，是時(shí)代發(fā)展的潮流。本人就初三課本上一道幾何題利用多媒體進(jìn)行動態(tài)分析，從而產(chǎn)生一個(gè)個(gè)新圖形，通過圖形的演變過程，了解它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握特殊與一般的規(guī)律。例題：如圖，O1、O2都經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線CD與O1交于點(diǎn)C，與O2交于D，經(jīng)過點(diǎn)B的直線EF與O1交于點(diǎn)E，與O2交于F。求證：CEDF。思路探究：欲證兩直線平行，最基本的可以從同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）相等，兩直線平行，也可以用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行去思考。從本圖

2、的結(jié)構(gòu)看，內(nèi)錯(cuò)角、同位角暫不明顯，在否定這條思路的情況下，從同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行入手，怎樣得到CEF+DEF？聯(lián)想在圖上的角，什么情況下兩個(gè)角的和為180°（圓內(nèi)接四邊形內(nèi)對角互補(bǔ)），在這個(gè)前提下連接AB構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形，后面的分析讓同學(xué)們?nèi)ネ瓿?。同學(xué)甲：DFB+DAB180°。同學(xué)乙：DABCEB。因?yàn)镈AB是圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角，所以DFB+DAB180°，CEDF。教師提問：你們在解決這個(gè)問題的過程中，關(guān)鍵的一步是什么？同學(xué)甲：作公共弦，構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形，把兩圓中的圓周角轉(zhuǎn)到了同一個(gè)圓，公共弦起到了媒介的作用。變式，把CD、EF或兩圓的位置關(guān)系作適當(dāng)?shù)?/p>

3、變動，會出現(xiàn)多種不同的圖形，各種圖形中CE和DF有什么關(guān)系呢？下面我們利用多媒體用運(yùn)動的觀點(diǎn)，研究圖形的變化，用分類的方法進(jìn)行歸納。一、在兩圓相交的情況下，運(yùn)動割線。在例題圖形的基礎(chǔ)上，延長兩條割線，這兩條割線的延長線的交點(diǎn)在圓外。如圖2。如果我們保持EF不動，把割線CD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使CD與EF的交點(diǎn)分別在圓上（如圖3）和圓內(nèi)（如圖4）。（動態(tài)演示）先研究圖4，你現(xiàn)在能否證明CEDF。你的思路是什么？ 思路探究：要證明CEDF，這里有沒有同位角或內(nèi)錯(cuò)角關(guān)系？（有）在內(nèi)錯(cuò)角關(guān)系的情況下，先找一對內(nèi)錯(cuò)角E和F，而E和F分別是O1和O2上的圓周角，直接證明是無法進(jìn)行的，能不能尋找媒介，找到它們的等量

4、關(guān)系。（這時(shí)有學(xué)生提出連接AB），作出公共弦，找出與E相等的角，與F相等的角，最終得到EF，CEDF。請同學(xué)們比較一下圖中的證題思路與圖中的證題思路有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)。相同點(diǎn)：公共弦起著媒介作用，把兩圓上的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)圓中。CEDF。不同點(diǎn)：前者是用同旁內(nèi)角互補(bǔ)、兩直線平行，而后者由于圖形的變化，存在著內(nèi)錯(cuò)角，通過內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行來證明。再看圖，這是兩割線的交點(diǎn)在圓上，這時(shí)的D、F兩點(diǎn)重合，不存在線段DF。這時(shí)我們過D、F的重合點(diǎn)作O2的切線，這條切線MN與線段EC又存在著什么樣的位置關(guān)系？如圖。大家都回答是平行的。提問：你能證明它們的平行關(guān)系嗎？逆向思維：MNCD1C，C是O2上的圓

5、周角，1是O2上的弦切角，怎樣找出1與C相等的理由，通過公共弦，尋找它們之間的關(guān)系，所以作公共弦AB，這時(shí)為O2的圓周角，且1，又C，1C。你比較一下它與前面兩個(gè)問題的證明有什么相同點(diǎn)與不同點(diǎn)。相同點(diǎn)：連接AB，得到公共弦，尋找角的等量關(guān)系。CEMN（DF）。不同點(diǎn)：雖利用內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，在這個(gè)圖中的角既有圓內(nèi)角，又有弦切角，而不是單純的圓周角。二、兩圓相交，一條直線CD是切線，一條直線EF是割線，動態(tài)演示割線EF不變，繼續(xù)將割線CD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C與A重合時(shí)，如圖，這時(shí)直線EC和DF在什么位置上，又有什么關(guān)系呢？無疑，學(xué)生的回答是平行的。你能說出理由嗎？它和前面的證明有什么相同點(diǎn)和不

6、同點(diǎn)？分析思路略。相同點(diǎn)：公共弦起媒介作用。DFEC。不同點(diǎn)：在本圖中，既用到同圓中的圓周角又用到了同圓中的圓周角和弦切角的等量關(guān)系。隨著位置的變化，角也產(chǎn)生了變化。強(qiáng)調(diào)由運(yùn)動帶來的變化。三、兩圓相交，兩條直線CD、EF都是切線時(shí)。在圖的基礎(chǔ)上，切線AD不動，動態(tài)演示線段EF，使B、F兩點(diǎn)重合，得到圖，這時(shí)的EC和DF平行嗎？若平行，你能說出理由嗎？受前面思維的影響，同學(xué)們都提出了連接公共弦AB，最佳方法證明EABDBA，讓學(xué)生思考片刻，聚焦在ABE和ABD，找相等的角。1E，D，所以EABDBA。再次讓學(xué)生比較這里的證明與前面的證明方法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，以拓展學(xué)生的思維空間。相同點(diǎn)：公共弦。

7、DFEC。不同點(diǎn)：兩個(gè)弦切角和兩個(gè)圓周角對應(yīng)相等，通過三角形內(nèi)角和等于180°，得第三組角對應(yīng)相同，再與原始圖相比較，研究角不是在四邊形，而是在三角形，其根源是由于原來的割線（與圓有兩個(gè)交點(diǎn)）在運(yùn)動中變?yōu)榍芯€，A、C重合，B、F重合，所以四邊形轉(zhuǎn)變?yōu)槿切巍Ｋ?、前面我們研究的都是在兩圓相交的前提下，動態(tài)研究割線的位置變化。下面我們動態(tài)演示，拉動兩圓使它們由相交到內(nèi)切、再到外切。演示過程如下：O2不動，拉動O1向右運(yùn)動，使它們內(nèi)切，如圖9。圖1中，兩割線分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，當(dāng)O2和O1內(nèi)切時(shí)，A、B兩點(diǎn)變?yōu)橐稽c(diǎn)，所以兩割線都過切點(diǎn)A作圖10。在圖10中，直線CE與DF平行嗎？就圖10來

8、說，要想說明CEDF，最簡單的方法要證C1，而C是O2中的圓周角，1是O1中的圓周角，通過什么媒介來尋找C與1的等量關(guān)系？由于兩圓有相交轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄡?nèi)切，這里沒有公共弦存在，我們能不能創(chuàng)設(shè)一條直線替代公共弦呢？創(chuàng)設(shè)什么樣的一條直線呢？前面的過程對你有沒有借鑒？這時(shí)有學(xué)生提出了過A點(diǎn)作兩圓的公切線，我問：你為什么會想到公切線？他說有公切線，就能得到弦切角，這些弦切角就能和C、1產(chǎn)生等量關(guān)系了。回答的很好！如果我們就圖8繼續(xù)探究，O2不動，拉動O1向左運(yùn)動，使O2和O1外切，得圖11。原來的割線CD、EF分別過兩交點(diǎn)A、B，所以A、B重合后，兩割線同時(shí)過切點(diǎn)，過A點(diǎn)作直線CD交O2于D，交O1于C，作

9、直線EF交O2于F，交O1于E，如圖11，則直線CE和DF平行嗎？尋求理由。由于有圖10作鋪墊，對于圖11，學(xué)生的思維比較流暢，很快說出了方法和思路。提問：通過圖10和圖11的解答，你能總結(jié)一下它與前面的證題思路有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)嗎？相同點(diǎn)：通過弦切角與圓周角的等量關(guān)系，證明CEDF。不同點(diǎn)：前面的輔助線都是作公共弦AB，由于兩圓位置的變化，A、B兩點(diǎn)重合，不存在公共弦，但我們可以過切點(diǎn)作公切線，用公切線替換了公共弦，其原因是由于圖形的變化導(dǎo)致由公共弦變?yōu)楣芯€。五、兩圓外離，兩直線CD、EF都是公切線時(shí)，動態(tài)演示，在圖8的基礎(chǔ)上，O2不動，繼續(xù)拉動O1，使兩圓外離。如圖12、圖13，CE和

10、DF平行嗎？你是用什么方法？你又將用到什么定理，和前面的證法有什么不同？本問題中，圓上的角都是弦切角，不存在圓周角，利用切線長定理尋求等角關(guān)系，得到CEDF，CEDF不變。六、兩圓為同心圓，兩線CD、EF都是小圓的切線。動態(tài)演示，由圖8，O2不動，移動O1，使兩圓圓心重合，變?yōu)橥膱A，且兩直線CD、EF都是小圓的切線，如圖14和15。CEDF嗎？ 若CEDF，你能說出理由嗎？在這里你又將用到什么定理？簡析：如圖14，連接OA、OB、OC，可證RtOAERtOBC，12，OEOC，OECOCE，AECBCEDFE，CEDF。提問：通過對上述六類圖形的分析，你有什么體會和收獲？學(xué)生甲：六類圖看僅不同，變化多端，從圓與圓的位置關(guān)系變化到割線與切線的變化，但都有不變的結(jié)論CEDF，我的結(jié)論是環(huán)環(huán)相扣，平行相依。學(xué)生乙：在上述多媒體圖形演示的過程中，我看到了數(shù)學(xué)世界的變化美，這個(gè)變化是有規(guī)律可循，在變化的過程中，圓上的角由圓周角變成弦切角，公共弦變