2412垂直于弦的直徑(1)

1、人教版九年級上冊人教版九年級上冊垂徑定理垂徑定理 垂直于弦垂直于弦的的直徑直徑平分弦平分弦, ,并且平并且平分弦所對的兩條弧。分弦所對的兩條弧。CDABCDAB CD CD是直徑，是直徑， AE=BE,AE=BE, AC =BC, AC =BC,AD =BD.AD =BD.OABCDEOBAC解：作解：作OCAB，則，則在在RTOAC中中1252ACABmmOC=OA2-AC2OC=502-252=253 (mm)四邊形四邊形平行四邊形平行四邊形矩形矩形平行四邊形的判定平行四邊形的判定有一個角是直角有一個角是直角(定義定義)判定定理判定定理1(對角線相等對角線相等)判定定理判定定理2有三個角是

2、直角有三個角是直角平行四邊形平行四邊形有一個角有一個角 是直角是直角矩形矩形鄰邊相等鄰邊相等菱形菱形鄰邊相等鄰邊相等正方形正方形有一個角有一個角 是直角是直角有一個角是直角且鄰邊相等有一個角是直角且鄰邊相等正方形的判定正方形的判定判定一判定一：有一個角是直角的菱形：有一個角是直角的菱形是正方形是正方形. .判定二判定二: :有一組鄰邊有一組鄰邊相等的矩形是正方形相等的矩形是正方形. .ABCD01如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條為互相垂直且相等的兩條弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求證四邊形，求證四邊形ADOE是是正方形正方形DOABCE證明：證明： , A

3、BAC ODAB OEAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEACADAB且， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形.(有一組鄰邊相等的矩形是正方形有一組鄰邊相等的矩形是正方形) 它是它是13001300多年前我國隋代建造的石拱橋多年前我國隋代建造的石拱橋, , 是我國古代人民勤是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點(diǎn)到弦的距離弧的中點(diǎn)到弦的距離) )為為7.2m7.2m

4、， 怎樣求出趙州橋主橋拱的半徑？怎樣求出趙州橋主橋拱的半徑？趙州橋趙州橋 實(shí)踐探究實(shí)踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是圓是軸對稱軸對稱圖形，任何一條圖形，任何一條直徑直徑所所在直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸在直線都是它的對稱軸，它有無數(shù)條對稱軸看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBEAM=BM,AB是是 O的一條弦的一條弦.圖中圖中有哪些等量關(guān)系有哪些等量關(guān)系?作直徑作直徑CDAB,垂足為垂足為M.OABCDM CD是

5、直徑是直徑 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.垂徑定理垂徑定理 垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對并且平分弦所對的兩條弧。的兩條弧。如圖如圖, 連接連接OA,OB,OA,OB,OABCDM則則OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.點(diǎn)點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B關(guān)于關(guān)于CD對稱對稱. O關(guān)于直徑關(guān)于直徑CD對稱對稱,當(dāng)圓沿著直徑當(dāng)圓沿著直徑CD對折時對折時,點(diǎn)點(diǎn)A與點(diǎn)與點(diǎn)B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合. AC =BC,AD =BD.垂徑定理垂徑定理三種語言：三種語言：垂直于弦的直徑平分

6、弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧.OABCDMCDAB,如圖如圖 CD是直徑是直徑,AM=BM, AC =BC, AD=BD.EDCOABOBCADDOBCAOBAC垂徑定理的幾個基本圖形：垂徑定理的幾個基本圖形：CDCD過圓心過圓心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BDEDCOAB下列圖形是否具備垂徑定理的條件？下列圖形是否具備垂徑定理的條件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCAB1 1、如圖，、如圖，ABAB是是OO的直徑，的直徑，CDCD為弦，為弦，CDCDABAB于于E E，則下列結(jié)論中則下列結(jié)論中不成立不成立的是

7、（的是（ ）A、COE=DOEOE=DOEB、CE=DECE=DEC、OE=AEOE=AED、BD=BCBD=BC OABECDC2 2、如圖，、如圖，OEOEABAB于于E E，若若OO的半徑為的半徑為10cm,OE=6cm,10cm,OE=6cm,則則AB=AB= cmcm。OABE解：解：連接連接OAOA， OEOEABABcmOEOAAE86102222 AB=2AE=16cmAB=2AE=16cm163 3、如圖，在、如圖，在O中，弦中，弦ABAB的長為的長為8 8cmcm，圓，圓心心O到到AB的距離為的距離為3 3cmcm，求，求O的半徑。的半徑。OABE解：解：過點(diǎn)過點(diǎn)O O作作

8、OEOEABAB于于E E，連接連接OAOAcmOEcmABAE34212222435oAAEOEcm即即O的半徑為的半徑為5 5cm.cm.4 4、如圖，、如圖，CDCD是是O的直徑，弦的直徑，弦ABCDABCD于于E E，CE=1CE=1，AB=10AB=10，求直徑，求直徑CDCD的長。的長。OABECD解：解：連接連接OAOA， CD CD是直徑，是直徑，OEOEABAB AE=1/2 AB=5AE=1/2 AB=5設(shè)設(shè)OA=xOA=x，則，則OE=x-1OE=x-1，由勾股定理得，由勾股定理得x x2 2=5=52 2+(x-1)+(x-1)2 2解得：解得：x=13x=13 OA=

9、13OA=13 CD=2OA=26CD=2OA=26即直徑即直徑CDCD的長為的長為26.26. 用垂徑定理求趙州橋拱半徑用垂徑定理求趙州橋拱半徑37.4m7.2mABOCD關(guān)于弦的問題，關(guān)于弦的問題，常常需要常常需要過圓心過圓心作弦的垂線段作弦的垂線段。 圓心到弦的距離、圓心到弦的距離、半徑、弦半徑、弦構(gòu)成構(gòu)成直直角三角形角三角形，將問，將問題轉(zhuǎn)化為解直角題轉(zhuǎn)化為解直角三角形。三角形。ABOCD解：解：如圖，用如圖，用ABAB表示主橋拱，設(shè)表示主橋拱，設(shè)ABAB所在的圓的圓心為所在的圓的圓心為O,O,半徑為半徑為r r。經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O O作弦作弦ABAB的垂線的垂線OC,OC,垂足垂足為為D D，與，與ABAB交于點(diǎn)交于點(diǎn)C C，則，則D D是是ABAB的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，C C是是ABAB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CDCD就是拱高就是拱高. . AB=37.4m AB=37.4m，CD=7.2