角頻率Ω和數(shù)字頻率w的物理含義

1、角頻率和數(shù)字頻率w的物理含義 頻率f，角頻率和數(shù)字頻率w的物理含義-附MATLAB仿真 古人云：基礎(chǔ)不牢，地動(dòng)山搖。勿在浮沙筑高臺(tái)。此話真不假，比如MATLAB中下標(biāo)從1開始而物理概念t從0開始，結(jié)果往往會(huì)差一點(diǎn)，做FFT后結(jié)果會(huì)莫名其妙的差一點(diǎn)，做仿真的時(shí)候經(jīng)常會(huì)因?yàn)檫@樣一些基本概念不清而導(dǎo)致對(duì)結(jié)果無法正確的解釋。盲目的追求多學(xué)習(xí)，不求甚解是得不償失的，最后無知的還是你自己。一定要?jiǎng)幽X子想想，把知識(shí)消化了才能靈活運(yùn)用。本文是數(shù)字信號(hào)處理的基本功，是本人學(xué)習(xí)思考后的總結(jié)，網(wǎng)上沒有發(fā)現(xiàn)有人講此很基本的內(nèi)容，相信肯定有不懂的，所以貼出來希望大家能受益。最后，原大家得大智慧，斷貪嗔癡，阿彌陀佛。1。

2、 模擬角頻率：?jiǎn)挝籸ad/s大OMEGA的物理含義是2*pi的時(shí)間段里面包含y=sin(OMEGA*t)正弦信號(hào)的個(gè)數(shù)。 = 2*pi/T ，現(xiàn)象下手指頭繞原點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過一個(gè)周期T的時(shí)間，我們繞了 圈，則在2*pi的時(shí)間段內(nèi)，正弦y=sin(OMEGA*t)就會(huì)有個(gè)完整的波形。我們往往看到 = 2*pi/T每秒經(jīng)歷多少弧度，單位rad/s，你想想到 當(dāng)初其實(shí)就是刻畫你繞原點(diǎn)畫圓圈的快慢了嗎？正弦信號(hào)和余弦信號(hào)實(shí)際上是繞圓周運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)在x軸和y軸上的投影。=2*pi*ft=0:pi/50:2*pi; for OMEGA = 1:4y(:,OMEGA) = sin(OMEGA*t).'

3、 strOMEGA='OMEGA=',num2str(OMEGA);endh=plot(t',y);legend(h,str);2. 頻率f：?jiǎn)挝籋z，頻率f的物理含義是1s的時(shí)間段內(nèi)包含有f個(gè)y=sin(f*t)完整周期的信號(hào)波形。根據(jù)f = 1/T 可以看出 f 表征的是1s時(shí)間段內(nèi)振動(dòng)了多少次。頻率f不同于角頻率是繞著一個(gè)周期T時(shí)間間隔內(nèi)物體繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)的圈數(shù)。由 = 2*pi*f ，看出f已經(jīng)和圓周2*pi脫離關(guān)系了，手指頭繞原點(diǎn)畫圓圈投影到x軸或者y軸上的情況是指尖左右移動(dòng)，或者上下振動(dòng)的情況，這就是f 的物理含義：在周期T內(nèi)上下振動(dòng)的次數(shù)，或者左右移動(dòng)的次數(shù)。T

4、 = 1/f 下圖中是正弦的情況，f = 1 就是1s內(nèi)指尖從(1, 0)點(diǎn)向(-1,0)點(diǎn)移動(dòng)再移回來1次。 f = 4 就是1s內(nèi)指尖從(1, 0)點(diǎn)向(-1,0)點(diǎn)移動(dòng)再移回來4次clear;t=0:1/100:1; for f= 1:4y(:,f) = sin(2*pi*f*t).' strf='f=',num2str(f);endh=plot(t',y);legend(h,str);3. 數(shù)字頻率w：?jiǎn)挝皇莚ad。學(xué)習(xí)數(shù)字信號(hào)處理的要明白，數(shù)字頻率實(shí)際上是和采樣周期Ts聯(lián)系在一起的，離開采樣周期Ts或者采樣頻率Fs = 1/Ts單獨(dú)談數(shù)字頻率w是沒有實(shí)

5、際價(jià)值的，因?yàn)榇藭r(shí)它沒有任何物理意義，這個(gè)我當(dāng)初學(xué)的時(shí)候也沒有弄明白，此點(diǎn)大家要謹(jǐn)記！數(shù)字頻率w是從單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣而來的，這個(gè)N不是別的就是數(shù)字周期，先給出數(shù)字頻率w和數(shù)字周期N之間的關(guān)系：N=(2*pi/w)*k當(dāng)信號(hào)是 以N為周期的時(shí)候，要求(2*pi/w)是個(gè)有理數(shù)，對(duì)這個(gè)不明白的請(qǐng)看數(shù)字信號(hào)處理的課本。w=2*pi*k/N，可見w的物理含義是相鄰的兩個(gè)采樣點(diǎn)之間的弧度，w = T = /Fs 是用Fs歸一化后的頻率。此時(shí)想想手指不沿著單位圓繞著原點(diǎn)做轉(zhuǎn)圈了，而是在單位圓上有N個(gè)樹坑，第一個(gè)樹坑和第二個(gè)樹坑之間的弧度大小為w。注意：采樣頻率s >= 2* 和數(shù)字頻率是一點(diǎn)

6、關(guān)系都沒有！順便說下數(shù)字周期N，N有兩種含義：f(n) = f(n+N) 周期信號(hào) f(n)的一個(gè)周期內(nèi)有0N-1共N個(gè)采樣點(diǎn)。 cos(2pi*f*t) = cos( *t) = cos(*n*Ts) = cos(*Ts*n) = cos(w*n)clear;w = pi/4;N = 2*pi/w; % N = 8 ，此處是在數(shù)據(jù)上采樣N個(gè)點(diǎn)，F(xiàn)FT時(shí)在頻譜上也采樣N個(gè)點(diǎn)n = 0:N-1;x = sin(n*w); h=plot(n, x, '-o');注意上圖中沒有時(shí)間信息，所以沒有任何物理含義。這在實(shí)際中是沒有用的，所以要加上采樣信息Ts或者Fs，才能知道具體的物理含義

7、,比如這些圓周上的樹坑是以多快的速度挖好的？ = w*Fs=w/Ts是1天挖好(Ts較小)的還是3天挖好的（Ts較大）。由于采樣丟失了Ts信息，即丟失了挖樹坑的快慢信息，而僅僅將單位圓上樹坑的個(gè)數(shù)N以及樹坑之間的間距w保留了下來，僅僅是個(gè)最終結(jié)果。現(xiàn)實(shí)世界中有果比有因，非因果的東西是沒有意義的，所以我們必須弄清楚這些樹坑是以什么多長(zhǎng)時(shí)間挖好的，即要補(bǔ)充Ts采樣信息，才可以對(duì)應(yīng)到模擬角頻率，*Ts = w 或者頻率 f 上，2*pi*f*Ts = w 。clear; close all;% 該信號(hào)的數(shù)字周期N = 8，模擬周期T = N*Ts = 0.008s ，實(shí)際頻率 f = 125 Hzw

8、 = pi/4;N = 2*pi/w; % N = 8 n = 0:N-1; % n = 0:N 可能會(huì)更好看一些，但是要清楚第N+1點(diǎn)可是下一個(gè)采樣周期的第一個(gè)點(diǎn)x = sin(n*w); h=plot(n, x, '-o'); %注意n沒有定標(biāo)，沒有物理含義！Fs = 1000; %采樣頻率為1000HzTs = 1/Fs; t = n*Ts; % t 時(shí)間序列的給法永遠(yuǎn)只有這么一種，請(qǐng)銘記！T = N*Ts; %模擬周期Tf = w*Fs/(2*pi); % 信號(hào)的真實(shí)頻率ffigure; plot(t, x)% （1） 做FFT的點(diǎn)數(shù)和時(shí)間采樣的點(diǎn)數(shù)N（注意和數(shù)字周期N

9、相同）相同時(shí)頻率f的定標(biāo) - 數(shù)據(jù)上采樣N個(gè)點(diǎn)，頻譜上采樣N個(gè)點(diǎn)freq = n*Fs/N - Fs/2; %頻率序列的定標(biāo)，注意此式子是本來面目，不要給此式子穿個(gè)馬甲就不認(rèn)識(shí)了，下面是此式子的變形% freq = (n/N - 1/2)*Fs; freq = (n - N/2)/N * Fs; % 注意0N-1時(shí) 第N 點(diǎn)對(duì)應(yīng)著 Fs， N/2 點(diǎn)對(duì)應(yīng)著 Fs/2，F(xiàn)s/N 就是頻率分辨率% freq = (n - N/2)/N; 就是歸一化頻率，從-0.5 到 0.5 - 1/N , 看看不是 -0.5 0.5 哦，實(shí)際結(jié)合硬件編程就要這樣干X = fftshift(abs(fft(x);

10、 %采用 N= 8點(diǎn)的FFT時(shí)的FFT，做FFT的點(diǎn)數(shù)和時(shí)間采樣的點(diǎn)數(shù)相同x_IFFT = ifft(fft(x); figure; plot(freq, X);gridfigure; plot(t, x_IFFT); gridt_ = (0:N-1)*Ts - N*Ts/2; % 等價(jià)的有 t_ = (0-N/2:N-1-N/2)*Ts; 即 t_ = (-N/2: N/2 - 1)*Tsfigure; plot(t_, x_IFFT);grid;% 可以看出來頻譜沒有混疊！而且頻率正確% （2） 做FFT的點(diǎn)數(shù)和時(shí)間采樣的點(diǎn)數(shù)N不同時(shí)頻率f的定標(biāo)，補(bǔ)零后FFT補(bǔ)零后的FFT和補(bǔ)零前的FFT

11、，兩者會(huì)有較大的不同，但兩頻譜的包絡(luò)還是一致的。設(shè)補(bǔ)零前數(shù)據(jù)長(zhǎng)N，補(bǔ)零后數(shù)據(jù)長(zhǎng)M（補(bǔ)了M-N個(gè)零值），則補(bǔ)零前的FFT有N條譜線，分別代表的頻率點(diǎn)是（0,1,.,N-1)*fs/N；補(bǔ)零后的FFT有M條譜線，分別代表的頻率點(diǎn)是（0,1,.,M-1)*fs/M。由于補(bǔ)零前后數(shù)據(jù)長(zhǎng)度不一樣，它們的分辨率（分別為df1=fs/N，df2=fs/M）不一樣，在頻域中譜線所代表的頻率也不一樣，所以這兩個(gè)頻譜所描述的對(duì)象也不相同。這里舉一個(gè)例子，fs=1000HZ，補(bǔ)零前后數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N=500和M=800，對(duì)應(yīng)的df1=2，df2=1.25。補(bǔ)零前的頻譜是對(duì)應(yīng)于0,2,4,.,500HZ的頻譜，而補(bǔ)零后的頻

12、譜是對(duì)應(yīng)于0,1.25,2.5,.,500HZ的頻譜，所以兩頻譜中對(duì)應(yīng)頻率不兩同，描述當(dāng)然不同。注意補(bǔ)零前后fs始終沒有變！但是當(dāng)特殊情況：M=（2n)*N時(shí)，補(bǔ)零后的頻譜相當(dāng)于在補(bǔ)零前的頻譜中插入（2n)-1條譜線。與補(bǔ)零前的頻譜中相重合的譜線，它們的幅值和相位完全一致。Nfft = 1024; % 此處 Nffft/N = 128，所以要對(duì)結(jié)果的頻譜進(jìn)行128點(diǎn)的抽取，才可以得到正確的頻率定標(biāo)！X_Nfft = fftshift(abs(fft(x,Nfft);freqNormalized = (0:Nfft-1) - Nfft/2)/Nfft;freq = freqNormalized(

13、1:128:end)*Fs; % 結(jié)果和上面的結(jié)果完全相同 -500 -375 -250 -125 0 125 250 375X_ = X_Nfft(1:128:end);figure; plot(freq , X_);grid4. 說說0N-1和1N和歸一化頻率歸一化頻率： -1 - -1/2 - 0 - 1/2 - 1 頻率f： -Fs - -Fs/2 - 0 - Fs/2 -Fs模擬角頻率：-s - -s/2 - 0 - s/2 - s數(shù)值頻率w： -2*pi - -pi - 0 - pi - 2*pi0N-1和1N都是描述單位圓上N個(gè)樹坑的分布情況的，是一個(gè)正弦周期內(nèi)應(yīng)該采樣的點(diǎn)的范圍

14、。 0N-1描述的概念是這樣的：第一個(gè)采樣點(diǎn)N=0對(duì)應(yīng)w的w=0，最后一個(gè)采樣點(diǎn)N-1點(diǎn)對(duì)應(yīng)w = 2*pi*(N-1)/N。此時(shí)w=pi 處對(duì)應(yīng)f = Fs/2或 = s/2的模擬最高頻分量對(duì)應(yīng) N/2而不是0 + (N-1)/2 = (N-1)/2，因?yàn)樽詈笠稽c(diǎn)即N-1點(diǎn)不對(duì)應(yīng)Fs，從圖像上可以很清楚的看到這一點(diǎn)，不注意的話在此就要犯錯(cuò)。A/D采樣就是按這樣0N-1的方式操作。比如fftshift后往往要調(diào)整下頻率范圍此時(shí)要用到中點(diǎn)(N-1)/2 1N描述的也是單位圓上N個(gè)樹坑的分布情況，只不過第一點(diǎn)N=1的位置在 w = 2*pi/N的位置，最后一點(diǎn)N點(diǎn)對(duì)應(yīng)w = 2*pi*N/N =

15、2*pi是零頻率的位置。由于MATLAB中下標(biāo)從1開始，所以這樣表達(dá)有時(shí)候比較方便。此時(shí)w=pi 處對(duì)應(yīng)f = Fs/2或 = s/2的模擬最高頻分量對(duì)應(yīng)N/2，而不是1 + N/2，因?yàn)镹=1點(diǎn)采樣沒有在t=0處。下面看一個(gè) 1：N的例子clear;N=100; % 數(shù)字周期 NFs=2000; % 采樣頻率，只有確定了采樣頻率才能從數(shù)字信號(hào)頻率確定實(shí)際模擬頻率Ts=1/Fs;n=1:N; % n = 0:N 可能會(huì)更好看一些，但是要清楚第N+1點(diǎn)可是下一個(gè)采樣周期的第一個(gè)點(diǎn)w=0.02*pix=sin(w*n); %數(shù)字頻率w=0.02*pit=n*Ts; % t 時(shí)間序列的給法永遠(yuǎn)只有這么一種，請(qǐng)銘記！plot(t,x);grid on; %注意此時(shí)信號(hào)的第t = 0時(shí)沒有采樣點(diǎn)T=N*Tsf = w*Fs/(2*pi); % 信號(hào)的真實(shí)頻率