幾何原本證明

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 請分析原本中命題1,2,3,4的證明及其嚴(yán)謹(jǐn)性。命題1 在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。證明：設(shè)AB是已知直線，那么要求在線段AB上作一個等邊三角形。以A為圓心，且以AB為距離畫圓BCD；（公設(shè)3）再以B為心，且以BA為距離畫圓BCD；（公設(shè)3）由兩圓的交點(diǎn)C到A，B連線CA，CB。（公設(shè)1）因為點(diǎn)A時圓CDB的圓心，AC等于AB；（定義15）又點(diǎn)是圓的圓心，等于；（定義）但是，已經(jīng)證明了等于，所以線段，都等于，而且等于同量的量彼此相等。（公理）三條線段，彼此相等。所以三角形是等邊的，即在已知有限直線上作出了這個三角形。分析：在兩圓相交于點(diǎn)時不嚴(yán)謹(jǐn)，因為此時要

2、用到連續(xù)性，而在這之前的定義、公設(shè)和公理里面都還沒有連續(xù)性的描述，這里原本只是根據(jù)幾何直觀和經(jīng)驗確定兩圓相交的。其余各處都嚴(yán)謹(jǐn)。命題由一個已知點(diǎn)（作為端點(diǎn)）作一線段等于已知直線。證明：設(shè)是已知點(diǎn)，是已知線段，那么要求由點(diǎn)（作為端點(diǎn)）作一線段等于已知線段。由點(diǎn)到點(diǎn)B連線AB，（公設(shè)1）在AB上作等邊三角形DAB，（命題1）延長DA，DB成直線AE，BF，（公設(shè)2）以B為圓心，以BC的距離畫圓CGH。（公設(shè)3）再以D為圓心，以DG為距離畫圓GKL。（公設(shè)3）因為點(diǎn)B是圓CGH的心，故BC=BG。（定義15）且點(diǎn)D是圓GKL的心，故DL=DG。（定義15）又DA等于DB，所以余量AL=余量BG。（公

3、理3）所以線段AL、BC的每一個都等于BG，又因等于同量的兩彼此相等。（公理1）所以，AL也等于BC。分析：在證明中用到了命題1的結(jié)論。此外，隱含著兩圓內(nèi)切。關(guān)于G點(diǎn)的確定，就是圓與直線的交點(diǎn)，也必須用到連續(xù)性才能正確說明，這里不嚴(yán)謹(jǐn)。命題3 已知兩條不相等的線段，試由大的上邊截取一條線段使它對于另一條線段。證明：設(shè)AB,c是兩條不相等的線段，且AB大于c。這樣要求由較大的AB上截取一段等于較小的c。由點(diǎn)A取AD等于線段C（命題2）以A為心，以AD為距離畫圓DEF。（公設(shè)3）因為點(diǎn)A是圓DEF的圓心，故AE對于AD。（定義15）但c也等于AD，所以線段AE、c的每一條都等于AD。這樣，AE也等

4、于c。（公理1）分析：命題3的證明中用到了命題2的結(jié)論。仍然和命題2一樣，在圓與線段相交的過程中只是憑借幾何直觀給出的，沒有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪B續(xù)性說明。命題4 如果兩個三角形中，一個的兩邊分別等于另一個的兩邊，而且這些相等的線段所夾的角相等，那么，他們的底邊等于底邊，三角形全等于三角形，這樣其余的角也等于相應(yīng)的角，即那些等邊所對的角。證明：設(shè)ABC，DEF是兩個三角形，兩邊AB，AC分別等于邊DE，DF，以及角BAC等于EDF。則可證底BC也等于底EF，三角形ABC全等于三角形DEF，角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE。如果移動三角形ABC到三角形DEF上，若點(diǎn)A落在點(diǎn)D上且線段AB落在DE上，因為AB等于DE，那么點(diǎn)B也就與點(diǎn)E重合。又，AB與DE重合，因為角BAC等于角EDF，線段AC也與DF重合。因為AC等于DF，故底BC也與底EF重合?！臼聦嵣?，當(dāng)B與E重合且C與F重合時，底BC不與底EF重合，則二條直線就圍成一快空間：這是不可能的，所以底BC就與EF重合】二者就相等。（公理4）這樣，整個三角形ABC與整個三角形EDF重合，于是它們?nèi)?。且其余的角也與其余的角重合，于是它們都相等，即角ABC等于角DEF，且角ACB等于角DFE。分析：命題4的證明中用到了反證法。雖然是重合比對