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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上知識點一:函數(shù)的定義域求法1、 分母不為02、 根號下大于等于零3、 無意義,例:的定義域為4、 對數(shù)函數(shù)的定義域為5、 正切函數(shù)的定義域為習(xí)題1:求下列函數(shù)的定義域 6、 抽象函數(shù)定義域的求法(重點)(1) 例:的定義域為,求函數(shù)的定義域為: 解:一般性總結(jié),直接代入法:已知的定義域,求的定義,直接代入即可,根據(jù)不等式解出,即是的定義域。習(xí)題1:若函數(shù)的定義域是,則的定義域為_(2) 例:的定義域為,求函數(shù)的定義域為_解:一般性總結(jié),值域法:已知的定義域為,求的定義域,只需求出的值域即可,即為的定義域。習(xí)題1:若函數(shù)的定義域為,則函數(shù)的定義域為_(3) 已知函數(shù)的定
2、義域為,求函數(shù)的定義域為_解:總結(jié):已知函數(shù),求函數(shù),只需要將上述(1),(2)的兩種方法綜合一下即可。即使找進(jìn)行一次過度。由求出,按照(2)的步驟求出,然后再由求出,按照(1)的步驟即可。知識點二:函數(shù)值域的求法1、 直接代入法:已知,求的值解:將直接代入的表達(dá)式計算結(jié)果即可。2、 計算區(qū)間法:區(qū)間的計算法則(1)的倒數(shù)區(qū)間為 (2)的倒數(shù)區(qū)間為 (3)的倒數(shù)區(qū)間為 (4)的倒數(shù)區(qū)間為 (5)的倒數(shù)區(qū)間為 (6)的倒數(shù)區(qū)間為 (7)的區(qū)間等價于的倒數(shù)區(qū)間為 例題:求的值域解:3、 一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)求值域例題:上的值域_總結(jié),對于一次函數(shù)來說,利用單調(diào)性求值域,即直接代入端點值即可。
3、例題:上的值域 上的值域 上的值域?qū)τ谏鲜鋈N一元二次函數(shù)求值域,首先要判斷對稱軸的位置是否在定義域內(nèi),若不在定義域內(nèi)即可以利用單調(diào)性直接代入端點即可,如的形式,如果對稱軸在定義域內(nèi),一定在對稱軸處取得最值,再其中一個端點處取得值域的另外一端。4、分離常數(shù)法:(1)例:求函數(shù)的值域為_解:,由此可知的值域為總結(jié):分離常數(shù)法適用于齊次式(齊次式即為因式的分子和分母的最高次冪一樣高,常見的有一次比一次式和二次比二次式。)如例題所示為一次比一次的分式,按照分離常數(shù)后的結(jié)果,全部根據(jù)得出定義域和值域。的定義域為,值域為,根據(jù)的對稱中心,橫坐標(biāo)即為定義域取不到的點,縱坐標(biāo)即為值域取不到的點。的對稱中心可
4、以由的圖像向右移動一個單位并向上一個單位平移得到,所以對稱中心也依次平移到了點處,所以定義域為,值域為。習(xí)題1:求下列函數(shù)的值域 ,(特殊的齊次式)注:換元法將設(shè)為t之后,就可以變?yōu)辇R次式了。根據(jù)區(qū)間計算法求值域就可以了 ,仍然是特殊的齊次式,換元之后之后改變?nèi)≈捣秶?。根?jù)區(qū)間計算法求值域就可以了。補充知識點:對勾函數(shù)的性質(zhì)(1)當(dāng)時,對勾函數(shù)有最低點(最小值),其橫坐標(biāo)為,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增。(2) 當(dāng)時,對勾函數(shù)有最高點(最大值),其橫坐標(biāo)為,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減。(3) 其圖像如圖所示 (2) 例1:求的值域_分析:分式的分子與分母都是二次式,依然符合齊次式的特征,所以需要通過分離
5、常數(shù)求解解:然后按照對勾函數(shù)性質(zhì)求出分母的值域,再按照區(qū)間計算法求出函數(shù)的值域即可。例2:求的值域_判別式法,適用于定義域為R的函數(shù)求值域接總結(jié):若函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一個系數(shù)含有的二次方程,則在時,若,則,從而確定函數(shù)的最值,并驗證時對應(yīng)的x的值是否在函數(shù)定義域內(nèi),以決定時,的值的取舍。5、對勾函數(shù)法,適用于一次比二次或者二次比一次的非齊次式。例題1:的值域為解:轉(zhuǎn)換成了對勾函數(shù),按照對勾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.例題2:求的值域_解:然后利用對勾函數(shù)求出值域即可6、換元法求值域(1)適用于的形式例題:方法一:利用單調(diào)性,因為函數(shù)和均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以代入斷電之即可。方
6、法二:換元,將的形式設(shè)為新參數(shù)t解:,然后按照一元二次函數(shù)的形式求值域即可。例題2:求的值域分析,因為函數(shù)是單調(diào)遞增的,而是單調(diào)遞減函數(shù),所以在定義域內(nèi)無法判斷其單調(diào)性,所以只能通過換元的方法求值域,即然后將函數(shù)轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)的形式,最后按照一元二次函數(shù)的形式就值域。(2) 三角換元求值域例題1:求的值域分析,對于形如的形式,按照三角換元的形式進(jìn)行求解。解:,由此可知值域為例題2:求的值域同樣利用三角換元的形式解:,所以可知值域為7、 利用幾何意義和函數(shù)圖像的性質(zhì)求值域例題1:求的值域分析,這樣的函數(shù)求值域比較難,而且形式比較復(fù)雜,所以,當(dāng)不符合以上上面的任何一種形式的求值域方式時,需要考
7、慮用幾何意義和圖像的性質(zhì)求值域。所謂的幾何意義,主要包括,兩點間的距離公式,點到直線的距離公式,斜率公式等解將該式子理解成P這個點,到點A和點B的兩點間的距離和。所以求值域過程如圖所示做A點關(guān)于x軸的對稱點,所以PA+PB有最小值,無最大值,所以連接和B點的直線與x軸的交點為最小值點,所以函數(shù)的最小值為的距離。例題2:求的值域分析,利用斜率和圓的性質(zhì)求值域解:將該式子理解成單位圓外一點與單位圓上的點所連線的斜率的2倍,所以如圖所示:具體求解過程如下:,所以綜上所示函數(shù)的值域為8、 忽略定義域的值域問題例題1:函數(shù)的值域為,求的取值范圍。分析,若想讓函數(shù)取到的值域,則必須能取到的所有值,即的必須
8、大于等于零,如果所示:如圖所示,必須能取到x軸下方的部分,至于小于零的部分,雖然跟根號下大于等于零矛盾,可以通過定義域的規(guī)定,去除掉。解:例題2:已知函數(shù)的值域為R,則實數(shù)的取值范圍是_分析過程如上,若的值域要為R,必須可以取到大于零的所有值,且分析可知,所以等價于能取得大于零的所有值,所以依然是大于等于零,對于小于零的部分,雖然與真數(shù)大于零矛盾,依然可以通過定義域去除掉。9、 利用導(dǎo)數(shù)求值域例如高次函數(shù)或者各類基本初等函數(shù)混合的復(fù)雜函數(shù)求值域,可以利用導(dǎo)數(shù)的方法就值域例題:,上的值域解:然后利用極值點判斷出函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)值域即可。知識點三:單調(diào)性判斷單調(diào)性的方法:1、掌握所
9、有基本初等函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間 2、單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 3、導(dǎo)函數(shù)大于零單調(diào)遞增,導(dǎo)函數(shù)小于零單調(diào)遞減 4、取倒數(shù)和添負(fù)號均改變一次單調(diào)性 5、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,同增異減 6、奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相反 7、增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù) 8、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同 9、觀察函數(shù)圖像,若圖像從左下角向右上角變化,則為增函數(shù),若函數(shù)圖像從左上角向右下角變化,則為單調(diào)遞減函數(shù)。 10、分段函數(shù)的單調(diào)性:例題:已知函數(shù)是上的減函數(shù),那么的取值范圍是_分析:對于分段函數(shù),不單要討論每個分段區(qū)間上的單調(diào)性,即,還需要注意分段點處的單調(diào)性, 11、
10、單調(diào)區(qū)間不可以用并集,若要連接兩個單調(diào)區(qū)間,只能用逗號,或者“和”例題:的單調(diào)遞減區(qū)間為_根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì):是單調(diào)遞減區(qū)間,而是單調(diào)遞減區(qū)間的寫法,是錯誤的。知識點四:奇偶性1、 奇函數(shù):,圖像關(guān)于原點對稱,定義域?qū)ΨQ,若在處有定義,則必有2、 是奇函數(shù)證明過程如下:3、 偶函數(shù):,圖像關(guān)于y軸對稱,定義域?qū)ΨQ4、 復(fù)合函數(shù)奇偶性:同奇則奇,一偶則偶。5、 函數(shù)奇偶性的運算法則:奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)*奇函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)*偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)/奇函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)/偶函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)*偶函數(shù)=奇函數(shù) 奇函數(shù)/偶函數(shù)=奇函數(shù)總結(jié):奇偶性相同的函數(shù)做乘
11、除等于偶函數(shù),奇偶性不同的函數(shù)做乘除等于奇函數(shù)6、 奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。7、 唯一的一個及時奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)是8、 一些反應(yīng)奇偶性的重要表達(dá)式:(1)奇函數(shù),偶函數(shù) (2)奇函數(shù) (3)奇函數(shù) (4)奇函數(shù)知識點五:周期性1、 特殊函數(shù)的周期性:, ,2、反應(yīng)周期函數(shù)的表達(dá)式(1),周期函數(shù)最基礎(chǔ)表達(dá)式,以T為周期 (2), 變形:依然是周期函數(shù),周期為 (3), (4),C為常數(shù), (5) , (6), 證:,3、 利用奇偶性推導(dǎo)周期性:若為偶函數(shù),為奇函數(shù),則為周期函數(shù), 且周期為。同理若為奇函數(shù),為偶函數(shù),則 依然為周期函數(shù),且周期為4、 利用對稱性和奇偶性
12、推導(dǎo)周期性:若是偶函數(shù),且,則以 為周期的周期函數(shù)5、利用計算得出函數(shù)周期性:例:已知函數(shù)滿足:,則分析:此題需要求的值,因為2010過于大,所以分析可知需要利用函數(shù)的周期性去求解,所以根據(jù)題的已知條件,依次計算,觀察規(guī)律即可得出周期的結(jié)論。知識點六:對稱性1、 反應(yīng)函數(shù)對稱性的式子:,均反應(yīng)是函數(shù)的對稱軸。2、 奇函數(shù)原點對稱,偶函數(shù)y軸對稱3、 與關(guān)于y軸對稱 與關(guān)于x軸對稱 與關(guān)于原點對稱知識點七:函數(shù)圖像1、 的圖像,將y軸右側(cè)的函數(shù)圖像向左翻轉(zhuǎn)2、 的圖像,將x軸下方的圖像圖像向上翻轉(zhuǎn)3、 函數(shù)的平移變化,左加,右減,上加,下減例題1:圖像經(jīng)過怎樣的變化可以得到平移變化1:先平移的變
13、化:平移變化2:先拉壓的變化:例題2:圖像經(jīng)過怎樣的平移變化可以得到該題需要注意的是,在平移過程中只對x做變化,也就是說需要注意前面的負(fù)號。知識點八:求函數(shù)的表達(dá)式1、 換元法求表達(dá)式例題:已知,求函數(shù)的表達(dá)式解:2、 直接帶入法求表達(dá)式例題:已知函數(shù),求的表達(dá)式解:3、 配方法求表達(dá)式例題1:已知,求函數(shù)的表達(dá)式解:例題2:已知,求的表達(dá)式解:3、利用奇偶性求函數(shù)表達(dá)式例題1:已知是奇函數(shù),當(dāng)時,求時,的表達(dá)式解:,利用奇偶性求表達(dá)式題型1,求法固定。例題2:已知函數(shù)是偶函數(shù),當(dāng)時,求當(dāng)時,的表達(dá)式。解:例題3:已知定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),滿足,求,的表達(dá)式。解:4、 利用對稱性求表達(dá)式
14、(1) 利用對稱軸求函數(shù)表達(dá)式例題:已知,且和關(guān)于對稱,求的表達(dá)式解:類型是有兩個函數(shù),關(guān)于一條對稱軸對稱(2) 利用對稱點求函數(shù)表達(dá)式例題:已知,當(dāng)時,求的表達(dá)式解:5、 倒代換求表達(dá)式例題:已知,求的表達(dá)式分析:觀察表達(dá)式,只有和兩種形式,用倒代換求表達(dá)式解:6、 反代換就表達(dá)式例題:已知,求的表達(dá)式分析,題中只含有表達(dá)式,兩種形式,所以采用反代換的形式求表達(dá)式解:知識點九:函數(shù)的凹凸性1、 凹函數(shù):若函數(shù)上每一點的切線都在圖像的下方,則函數(shù)為凹函數(shù)。(函數(shù)的鼓出方向?qū)χ鴛軸方向,則為凹函數(shù))。如圖所示:凹函數(shù)的性質(zhì):2、 凸函數(shù):若函數(shù)上每一點的切線都在圖像的上方,則函數(shù)為凸函數(shù)。(若函
15、數(shù)的鼓出方向背離x軸方向,則為凸函數(shù)。)如圖所示:凸函數(shù)的性質(zhì):3、 函數(shù)的凹凸性:是凹函數(shù) 是凸函數(shù) ,當(dāng)時,函數(shù)為凸函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)為凹函數(shù)。知識點十:反函數(shù)1、 反函數(shù)定義:將原函數(shù)中的自變量和因變量對換位置,也就是用原函數(shù)中的因變量去表示自變量。2、 反函數(shù)達(dá)的求法:例題:已知函數(shù),求函數(shù)的反函數(shù)。解:3、 反函數(shù)的性質(zhì):(1)原函數(shù)的定義域即為反函數(shù)的值域,原函數(shù)的值域即為反函數(shù)的定義域 (2)原函數(shù)、反函數(shù)具有相同的單調(diào)性 (3)原函數(shù)、反函數(shù)的圖像關(guān)于對稱。4、 一個函數(shù)存在反函數(shù)的條件:函數(shù)在給定定義域內(nèi)具有單調(diào)性。原函數(shù)與反函數(shù)的經(jīng)典函數(shù):指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)例:和如圖所示:知
16、識點十一:函數(shù)的零點問題1、 二分法:用來判斷函數(shù)根的位置。,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有單調(diào)性,所有函數(shù)在內(nèi)有且只有一個實數(shù)根。2、 函數(shù)的零點個數(shù):,的圖像的零點個數(shù),等于和的圖像的交點個數(shù)。,的圖像的零點個數(shù),等于和的圖像的交點個數(shù)。3、常見函數(shù)的交點個數(shù):在定義域內(nèi)有且僅有一個交點。在定義域內(nèi)有3個交點,其中一個在y軸左側(cè),另外兩個在y軸右側(cè),分別是知識點十二:觀察法觀察函數(shù)性質(zhì)所謂的觀察法即是通過觀察函數(shù)表達(dá)式的形式,或者做稍微簡單的化簡變化而得出的函數(shù)性質(zhì)的方法。觀察法要求對函數(shù)的性質(zhì),尤其是對于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性有比較強(qiáng)烈的敏感性,才能比較準(zhǔn)確的觀察出函數(shù)的性質(zhì)。例題1:,通過觀察需要觀察
17、出函數(shù)具有奇函數(shù)且定義域內(nèi)單調(diào)遞增的性質(zhì)。例題2:,通過觀察函數(shù)首先具有奇函數(shù)的性質(zhì),但是無法直接觀察出函數(shù)的單調(diào)性,所有通過對函數(shù)求導(dǎo),才能得出單調(diào)遞增的性質(zhì)。所以原函數(shù)單調(diào)遞增。例題3:,且的值。通過觀察可知函數(shù)是一個奇函數(shù),且互為相反數(shù),所以等于0。函數(shù)經(jīng)典例題:(主要針對函數(shù)的零點和根的分布的問題)1、 設(shè)是周期為2的奇函數(shù),當(dāng)時,則分析:并不在題中給出定義域中,所以無法應(yīng)用進(jìn)行計算,所以需要應(yīng)用奇偶性和周期性將轉(zhuǎn)化到區(qū)間內(nèi)。解:2、 對實數(shù)和,定義運算“”:,設(shè)函數(shù)。若函數(shù)的函數(shù)與x軸有兩個公共點,則實數(shù)的取值范圍是_分析:注意題中語句,函數(shù)與x軸有兩個交點,所以判斷交點個數(shù)問題應(yīng)該
18、考慮函數(shù)圖像,即理解為與的交點個數(shù)。其次需要讀懂題中新定義的算法解:,畫出函數(shù)圖像可知,根據(jù)圖像可知,在BD直線上方,且直線與有兩個交點的地方就是所求的范圍。所以總結(jié),根據(jù)題干描述,只要涉及到交點個數(shù)的問題,基本都需要用函數(shù)的圖像去解決。3、 已知函數(shù),若互不相當(dāng),且,則的取值范圍分析:由此性質(zhì)可以知道,于某條直線有三個交點,才能得到此條件。再次根據(jù)求的范圍可以,多變量問題一定要轉(zhuǎn)化成一個變量。所以一定要將轉(zhuǎn)換成一個未知量才可以。解:如圖所示4、 定義在R上的函數(shù)滿足,則的值為_分析:不在題中給出具體函數(shù)表達(dá)式的定義域中,且2009較大,所以必須轉(zhuǎn)化到的區(qū)間內(nèi),其次根據(jù)一定反映出函數(shù)的周期性,所以根據(jù)需要根據(jù)條件導(dǎo)出函數(shù)的周期。將兩式子相加可以得出,所以可知T=6,所以,所以5、 已知函數(shù)滿足:,則_分析,求的數(shù)比較大,所以應(yīng)該利用函數(shù)的周期性求解,但是無法通過題中給出的已知條件得出周期的性質(zhì),所以,我們只能多算幾遍,根據(jù)算出的結(jié)果判斷函數(shù)的周期性。解:周期是6,所以。上面左邊是第一種方法,右邊是第二種方法,但是第二種方法對于函數(shù)的性質(zhì)要求比較高,而且符合條件的函數(shù)比較不好找,推薦采用第一種方法。6、 已知函數(shù),若數(shù)列,且是遞減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是_分析
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