幾何計(jì)算題中的求線段長(zhǎng)度

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上幾何計(jì)算題中的求線段長(zhǎng)度 章蓓蓓 幾何計(jì)算題一直是我們各級(jí)各類(lèi)考試中必考題型，它不象證明題有一個(gè)明確的求解方向，而是要同學(xué)們自己猜想、探究、發(fā)現(xiàn)所以有些同學(xué)對(duì)幾何計(jì)算題產(chǎn)生了畏懼心理，每每遇到，便停筆不前其實(shí)幾何計(jì)算題還是有章可循的，下面以求幾何圖形中線段長(zhǎng)度為例，作一個(gè)簡(jiǎn)單闡述仔細(xì)回顧我們所做過(guò)的幾何計(jì)算題，大致有如下幾類(lèi)：一、 用算術(shù)方法直接求解這一類(lèi)型題目又有不同層次要求（1）比如有些問(wèn)題中要求某條線段長(zhǎng)，由中點(diǎn)、中位線、特殊四邊形、三角函數(shù)、等式性質(zhì)、相似形、勾股定理等知識(shí)直接可解，思路很明顯例如：如圖1，在梯形ABCD中，ADBC，對(duì)角線ACBD，且AC=5

2、cm，BD=12cm，求梯形ABCD的中位線長(zhǎng)圖1ADEBCO分析：要求中位線即要求梯形的兩底，而該題的條件集中在對(duì)角線上，所以應(yīng)將對(duì)角線AC平移至經(jīng)過(guò)點(diǎn)D ，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則可得口ACED，進(jìn)而可得RtBDC，利用勾股定理可求出BE=13cm，也就是兩底之和等于13cm，所以中位線長(zhǎng)為6.5cm （2）而有些題目并不能一眼就看出結(jié)果的求法，但只要根據(jù)已知條件，將能求的線段盡可能多地求出來(lái)，當(dāng)成為已知的量越來(lái)越多，未知的量越來(lái)越少，“包圍圈”越收越緊時(shí)，要求的量便自然“浮出水面”了ABOCDEF 例如：圖2 如圖2，AB是半圓O的直徑，C為半圓上一點(diǎn)，CAB的角平分線AE交BC于點(diǎn)D，

3、交半圓O于點(diǎn)E若AB=10，tanCAB=，求線段BC和CD的長(zhǎng)分析：根據(jù)已知條件易求出AC=8，BC=6，而線段CD的長(zhǎng)卻不易看出，仔細(xì)分析條件，發(fā)現(xiàn)角平分還沒(méi)有起到作用，兩個(gè)圓周角等可以帶來(lái)一系列相等的量，比如弧、弦、其它的圓周角，但一一作了嘗試仍沒(méi)有發(fā)現(xiàn)解題缺口，所以不妨試一試弧中點(diǎn)的另一用法垂徑定理，所以連結(jié)EO、CO，可得COE=BOE，進(jìn)而可得F為線段BC中點(diǎn)，CF=3、OF=4、EF=1此時(shí)再看線段CD，它與線段CF重疊，如能求出CD與CF的比值，問(wèn)題便可解了，這可由ADC與EDF相似先得出CD：FD=AC：EF=8：1，所以CD：CF=8：9，所以CD=×3=該題先求

4、出一系列看似與結(jié)果無(wú)關(guān)的量，最后用相似形解出二、 列代數(shù)方程求解ABCDOGFE321在幾何計(jì)算題中，有一大部分問(wèn)題用以上方法還不能解決在這類(lèi)題目中，我們無(wú)法直接求出答案，盡管由已知條件求出一系列可求的量之后，包括目標(biāo)線段在內(nèi)仍然有兩條以上的線段無(wú)法求出這時(shí)應(yīng)換個(gè)角度，去尋找未知線段中某兩條線段之間的關(guān)系，而線段間的關(guān)系往往又離不開(kāi)由相似形得到的比例式或由勾股定理得到的等式等等，接下來(lái)設(shè)出可能不止一個(gè)未知數(shù)，再尋找出相應(yīng)于未知數(shù)個(gè)數(shù)的關(guān)系式，問(wèn)題便也解決了不過(guò)在關(guān)系式的選擇中也存在方法的優(yōu)劣，一個(gè)好方法可以為我們減輕計(jì)算量，也節(jié)省了時(shí)間例如：如圖3，O為正方形ABCD的中心，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使

5、CF=CE，連接DF，BE平分DBC，交DC于點(diǎn)E，交DF于點(diǎn)G，連接OG（1） 求證：BCEDCF；圖3（2） 若GE·GB=42，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)分析：由邊角邊很容易證得BCEDCF，進(jìn)而可得出3=2=1，BGDF，BFGBDG，G是DF中點(diǎn)，OG是DBF的中位線等等一系列結(jié)論，但要求正方形的邊長(zhǎng)則已知條件還嫌不夠，所以先要求出所有能求出的量觀察已知條件是兩線段之積的形式，便可想到與相似三角形有關(guān)，可以看出與GE、GB有關(guān)的相似三角形BCEDCF，所以GD2=GE·GB=42，由前面說(shuō)明可知G是DF中點(diǎn)，所以DF2=（2GD）2=4（42）=168，另一方面，DF

6、與CF、邊DC構(gòu)成RtDCF，如果能知道CF與CD的關(guān)系，問(wèn)題便迎刃而解了CF是由BF減去邊長(zhǎng)BC得到的，前面可證BF=BD，也就是邊長(zhǎng)的倍，此時(shí)，RtDCF的三邊中，一邊的平方已知，另兩邊的關(guān)系也已探索出，故可設(shè)邊長(zhǎng)DC=a，則CF=a-a，列出方程：a2+（a-a）2=168，解得a=2，問(wèn)題獲得解決像這樣的問(wèn)題所占的比例非常大，當(dāng)然有的簡(jiǎn)單，線段間的關(guān)系容易看出，而有的較為復(fù)雜，就象這道題，關(guān)系較為隱蔽，不易被發(fā)現(xiàn)，但同學(xué)們要記住：相似形和勾股定理用得最為頻繁三、利用證明結(jié)果求解有些問(wèn)題中，需要先根據(jù)已知條件證明出某兩條線段之間具有相等或倍量關(guān)系，而其中一條線段長(zhǎng)度是已知條件，故而求出另一條線段的長(zhǎng)ACDFE。O1。O2B例如：如圖4：O1與O2相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C、D是O1上的點(diǎn)，且AC=AD，連接CB、DB并延長(zhǎng)分別交O2于點(diǎn)E、F，已知CB=5，BE=4求DF長(zhǎng)圖4分析：乍一看本題，很多同學(xué)會(huì)想到分別求出BD、BF長(zhǎng)，然后相加，但題中又不具備足夠的求線段BD、BF長(zhǎng)的條件再觀察題目，已知條件似乎很少，但不要忘了圓本身就可以挖掘出很多條件，比如C=D，此時(shí)再加上條件AC=AD，如能再找到一對(duì)條件，就可以證明出某對(duì)三角形全等了分析到這，就想到連接AE、