通過肋片的導(dǎo)熱

1、通過肋片的導(dǎo)熱 摘要 在工程實際中，往往需要增加（對流）傳熱量，應(yīng)用比較廣泛的較為有效的一種方法就是增加換熱面積，即采用肋片在材料消耗量增加較少的條件下能較多地增大換熱面積。試從微分方程對肋片進行進行數(shù)學(xué)分析，建立溫度場。 肋片，又稱翅片是指依附于基礎(chǔ)面上的擴展表面，圖（1）給出了四種典型的肋片結(jié)構(gòu)。 問題的描述 通過肋片的導(dǎo)熱有個特點，就是在肋片伸展的方向上有表面的對流傳熱及輻射傳熱，因而肋片中沿導(dǎo)熱熱流傳遞的方向上熱流量是不斷變化的。分析肋片的導(dǎo)熱要回答兩個問題：從基礎(chǔ)面伸出部分（即肋片）的溫度沿導(dǎo)熱熱量傳遞的方向是如何變化的，以及通過肋片的散熱熱流量（亦可簡稱散熱量）有多少。在這將從導(dǎo)熱

2、微分方程出發(fā)來解決這些問題，但僅以等截面直肋為例，其余肋片暫不作分析。 從圖（1b）所示的結(jié)構(gòu)中取出一個肋片來分析，如圖（2a）所示。肋片與基礎(chǔ)表面相交處（稱為肋根）的溫度t為已知，為不失一般性，設(shè)t大于周圍流體溫度t。該肋片與周圍環(huán)境之間有熱交換，并已知包括對流傳熱及輻射傳熱在內(nèi)的復(fù)合換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h?，F(xiàn)在的任務(wù)是要確定肋片中的溫度分布及通過該肋片的散熱量。 模型的建立 基本假設(shè)與符號的說明 根據(jù)所給問題的條件，可以做以下假定，從而既能使問題得到適當(dāng)簡化，便于數(shù)學(xué)處理，又能保持實際問題的基本特點：（1）材料的導(dǎo)熱系數(shù)、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h以及沿肋高方向的橫截面積Ac均各自為常數(shù)；（2）肋片溫度

3、在垂直于紙面方向（即長度方向）不發(fā)生變化，因此可取一個截面（即單位長度）來分析；（3）表面上的換熱熱阻1/h遠大于肋片中的導(dǎo)熱熱阻/，因而在任一截面上肋片溫度可認為是均勻的；（4）肋片頂端可視為絕熱，即在肋的頂端根據(jù)所給問題的條件，可以做以下假定，從而既能使問題得到適當(dāng)簡化，便于數(shù)學(xué)處理，又能保持實際問題的基本特點：（1）材料的導(dǎo)熱系數(shù)、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)以及沿肋高方向的橫截面積均各自為常數(shù)；（2）肋片溫度在垂直于紙面方向（即長度方向）不發(fā)生變化，因此可取一個截面（即單位長度）來分析；（3）表面上的換熱熱阻遠大于肋片中的導(dǎo)熱熱阻/，因而在任一截面上肋片溫度可認為是均勻的；（4）肋片頂端可視為絕熱，即

4、在肋的頂端。 經(jīng)過上述簡化，所研究的問題就變成了一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，如圖（2b）所示，并且可以設(shè)想，肋片各截面的溫度沿高度方向是逐步降低的（圖2c）。求解的任務(wù)就是要找出截面溫度沿高度方向的變化規(guī)律。 數(shù)學(xué)模型描述 現(xiàn)在來建立肋片中溫度場的數(shù)學(xué)模型描寫。首先，導(dǎo)熱微分方程式可簡化為 （a）現(xiàn)在需要進一步確定的是源項的表達式。對于所研究的問題，肋片的兩個側(cè)面并不是計算區(qū)域的地界（計算區(qū)域的邊界是x=0及x=H），但通過該兩表面有熱量的傳遞。在這種情況下，可以把通過邊界所交換的熱量折算成整個截面積上的體積源項。取長度為dx的微元段來分析。設(shè)參與換熱的截面周長為P，則表面的總散熱量為 （b）相應(yīng)的微元

5、體積為dx，因而相應(yīng)的折算源項為 （c）由于肋片向環(huán)境散熱，相當(dāng)于負的源項，因而取負號。將式（c）代入式（a），得 （d）相應(yīng)的兩個邊界條件為 （e）式（d）、（e）構(gòu)成了溫度場的完整的數(shù)學(xué)描寫。 模型的分析求解 式（d）是關(guān)于溫度的二階非齊次常微分方程，為便于求解，引入過余溫度，可得關(guān)于過余溫度的齊次方程，于是有 （f） （g）其中為一常量。 式（f）是一個二階線性齊次常微分方程，其通解為 （h）其中、由兩個邊界條件式（g）確定，即 （i）最后可得肋片中的溫度分布為 （j）令，即可從上式得出肋端溫度的計算式。因，故得 （k） 由肋片散入外界的全部熱流量都必須通過處的肋根截面。將式（j）的代入

6、傅立葉定律的表達式，即的此熱流量為 （l）式（j）、（k）、（l）中的雙曲函數(shù)和的數(shù)值可從數(shù)學(xué)手冊中查出。 模型的改進與推廣以上根據(jù)肋片末梢端面絕熱的近似邊界條件式（g）得到的理論解，應(yīng)用于大量實際肋片可以獲得實用上足夠精確的結(jié)果。對于必須考慮肋片末梢端面散熱的少數(shù)場合，其理論解可以參看文獻。值得指出，在計算時，有一種巧妙的簡化處理方法可代替較繁的理論解。以圖1所示的直肋為例，假如肋厚為，則可以用假想高度代替實際高，然后仍按式（l）計算。這種處理，實際上是基于這樣一種想法，即為了照顧末梢端面的散熱而把端面面積鋪展到側(cè)面上去。值得指出，實際上沿整個肋表面換熱系數(shù)常常是不均勻的，這時可以按其平均值

7、來計算。如果出現(xiàn)嚴(yán)重的不均勻性，則問題的求解就需要采用其他的數(shù)學(xué)分析方法。肋效率與肋面總效率前面指出，采用肋片主要是為了增加換熱量，我們自然很關(guān)心采用一個肋片能增加多少換熱量？為了表征肋片散熱的有效程度，引進一個稱為肋效率的新參數(shù)。它有以下的物理意義： （m） 已知肋效率即可計算出肋片的實際散熱量。對于等截面直肋，其肋效率為 （n） 對于直肋，假定肋片長度比其厚度要大得多，所以可取單位長度來研究。其中參與換熱的周界，于是有 （o）對于其他形狀肋片的效率暫不作分析。肋面總效率 以上討論的是單個肋片的效率，實際上肋片總是成組地被采用的，如圖圖所示。設(shè)流體的溫度為，流體與整個表面的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為，肋

8、片的表面極為，兩個肋片之間的根部表面積為，根不溫度為，則所有肋片與根部面積之和為，則。計算該表面的對流換熱量時，若以為溫差，則有：其中稱為肋面總效率。顯然，肋面總效率高于肋片效率，在換熱器設(shè)計中有所應(yīng)用。 肋片的選用與最小重量肋片 在大多數(shù)條件下，尤其是對于航天器而言，研究在一定的散熱量下的最小重量的肋片具有重要意義，在此不作分析。在實際應(yīng)用的時候應(yīng)準(zhǔn)確的理解該模型，才能熟練地運用，并能夠?qū)⒁恍┍砻嫔峡磥砼c肋片風(fēng)馬牛不相及的問題與肋片導(dǎo)熱問題聯(lián)系起來，例如溫度計套管的測量精確問題，在此暫不作分析。附圖： 圖（1） 肋片的典型結(jié)構(gòu)圖（2） 通過肋片的熱量傳遞圖（3）肋化表面示意圖雙曲函數(shù)：雙曲正弦： 雙曲余弦： 雙曲正切： 參看文獻：1 姜啟源編 數(shù)學(xué)模型. 北京：高等教育出版社 19932 楊