運(yùn)用微元思維方法解物理競(jìng)賽試題

1、運(yùn)用微元思維方法解物理競(jìng)賽試題呂賢年 袁孝金所謂微元思維方法是指從整體中取某個(gè)特定的微小部分作為研究對(duì)象，從而達(dá)到解決事物整體問題的一種思維方式。這種思維方法是基于宏觀事物的普遍性（即共性）不僅存在于事物發(fā)展的全過程中，而且也包含在每微元的特殊性（即個(gè)性）之中這一基本屬性的基礎(chǔ)上，而產(chǎn)生的一種創(chuàng)造性思維方式。因此，我們?cè)谘芯课锢韱栴}時(shí)，對(duì)于某一具體的研究對(duì)象，當(dāng)從整體或宏觀上無法求解時(shí)，運(yùn)用微元思維方法，往往會(huì)收到化難為易，化繁為簡的意想不到的效果。本文試通過近年來的有關(guān)全國中學(xué)生物理競(jìng)賽試題為例，導(dǎo)析微元思維方法解題的一般思路，供同學(xué)們參考。一、長度微元l對(duì)長度進(jìn)行微小分割，稱為線分割，分割

2、出來的長度單元，稱之為長度微元，用l表示。例1 一根無限長的均勻帶電細(xì)線，彎成圖1所示的平面圖形。其中AB是半徑為R的半圓弧，AABB。試求圓心O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。（1988年全國中學(xué)生物理競(jìng)賽試題）A B A b a a b a O l B 圖 1 解析 因?yàn)殡姾删鶆虿荚谡麠l曲線上，所以不能把它當(dāng)作點(diǎn)電荷處理。因此，無法直接應(yīng)用初等方法求出它在O點(diǎn)所形成的電場(chǎng)強(qiáng)度。如果將曲線分成無數(shù)小線元，可看作點(diǎn)電荷，則彎曲的帶電細(xì)線在O處所產(chǎn)生的電場(chǎng)，就是各小段線元在O處的電場(chǎng)強(qiáng)度，就能按矢量合成法求得曲線整體在O處的電場(chǎng)強(qiáng)度。在半圓弧AB上取任一小段線元abl，則線元ab對(duì)應(yīng)的圓心角為，對(duì)應(yīng)于直導(dǎo)線線元為

3、a b。當(dāng)0時(shí)，a逼近于b，a逼近于b。此時(shí)，我們可以認(rèn)為ab所帶電荷Q集中于一點(diǎn)（如b點(diǎn)），a b 所帶的電荷集中于對(duì)應(yīng)的另一點(diǎn)（如b點(diǎn)）。這樣，對(duì)于張角所包含的區(qū)域在O點(diǎn)所形成的場(chǎng)強(qiáng)，我們認(rèn)為是由兩個(gè)點(diǎn)電荷形成的。設(shè)細(xì)線上單位長度所帶的正電荷為，則ab線元所帶的電荷為qR,q在O點(diǎn)所形成的場(chǎng)強(qiáng)為：Ek，其中E的方向指向O b。a b 線元所帶電荷為qa b，距離圓心O的距離用r表示（越小，以上考慮越準(zhǔn)確），作aa垂直于Ob，則aabbOB + 。因而a b aa/cos aar/R，又因?yàn)閍a r，故得：a b r2/R.。因此，點(diǎn)電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為：E´kkE，方

4、向與E方向相反。因此，ab與a b 在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)之和為零。根據(jù)同樣的分析可知，AB上各小段電荷與細(xì)線直線部分各小段電荷對(duì)應(yīng)地在O點(diǎn)產(chǎn)和的場(chǎng)強(qiáng)相消，故整個(gè)細(xì)線電荷在O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零。二、面積微元S對(duì)面積進(jìn)行微小分割，稱為面積分割，分割出來的面積單元稱為面積微元，用S表示。一個(gè)面積元通常需用兩個(gè)參量表示。例2在水平放置的潔凈的平玻璃板上倒一些水銀，由于重力和表面張力的影響，水銀近似呈圓餅形狀（側(cè)面向外凸起），過圓餅軸線的豎直截面如圖2所示。為了計(jì)算方便，水銀和玻璃的接觸角可按180°計(jì)算，已知水銀的密度13.6×103 kg/m3，水銀的表面張力系數(shù)0.49N/m，當(dāng)圓弧

5、餅的半徑很大時(shí)，試估算其厚度h的數(shù)值大約是多少？取1位有效數(shù)字即可。（1988年全國中學(xué)生物理競(jìng)賽試題）圖2 h 解析 潔凈的玻璃平板上的水銀呈現(xiàn)圓餅形狀。此時(shí)，由于水銀所受重力的作用而產(chǎn)生對(duì)水銀圓餅側(cè)壁的壓力，方向向外，與指向圓餅內(nèi)水銀的表面張力相平衡，若以整個(gè)圓餅為研究對(duì)象，很難列出對(duì)應(yīng)的方程求解。F 圖 3 F´ F3 h x F2 F1 F4 在側(cè)面任一處取寬為x，高為h的面積元S，則由于重力而產(chǎn)生的水銀對(duì)S的側(cè)壓力為： F·S·h·x·x式中為水銀對(duì)側(cè)壁的平均壓強(qiáng)，由于壓力F使圓餅側(cè)面向外凸出，因而使側(cè)面的面積增大，如圖3所示，但是在

6、水銀與空氣接觸的表面層中，由于表面張力作用，又使水銀面有收縮到最小的趨勢(shì)，上下兩層的表面張力的合力的水平分力F´指向水銀內(nèi)部，與F的方向相反。設(shè)上表面處的表面張力F1的方向與水平方向成角，則的大小為：F´F1cos + F2 x·cos +·x ·x（1+ cos）當(dāng)水銀面的形狀穩(wěn)定時(shí)，F(xiàn)´ F。由于圓餅半徑很大，面積元S兩側(cè)的表面張力F3、F4可認(rèn)為大小相等，方向相反而抵消，因而由得：x（1+cos）gh2x/2由可得： h 因?yàn)榈娜≈捣秶?，所以有：1將和的數(shù)值代入式可得：h0.027即上的取值范圍是2.7×

7、10-3h3.78×10-3m，所以水銀層的厚度的估算數(shù)值可取為3×10-3或4×10-3m。三、體積微元V對(duì)體積進(jìn)行微小分割稱為體積分割，分割出來的體積單元，稱為體積微元，用V表示。實(shí)際問題中，所分割的體積元可以有多種形式，其中最常見的是正交體積分割，分割出來的體積元在三維正交坐標(biāo)中，可表示為Vx·y·。例3 空間某一體積為V的區(qū)域內(nèi)平均電場(chǎng)強(qiáng)度（）定義為： （）上式中的Vi為體積為B內(nèi)第i個(gè)體積元。為第i個(gè)體積元內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)(只要體積元足夠小，可以認(rèn)為其中各個(gè)點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向都相同)，為累加號(hào)，例如V1+V2+V。今有一半徑為a，原來不帶電的

8、金屬球，現(xiàn)使它處在電量為q的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，點(diǎn)電荷位于金屬球外與球心的距離為R ，試計(jì)算金屬球表面感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)在球內(nèi)的平均電場(chǎng)強(qiáng)度。（1987年全國中學(xué)生物理競(jìng)賽試題）解析 根據(jù)靜電平衡的條件，導(dǎo)體內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度處處為零，根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理，可以通過求點(diǎn)電荷q的場(chǎng)強(qiáng)的辦法得出感應(yīng)電荷的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)表示金屬球表面上所有感應(yīng)電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，表示點(diǎn)電荷q單獨(dú)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度，根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡條件，在金屬球內(nèi)會(huì)一點(diǎn)之處有：所以（）（）設(shè)想在金屬球內(nèi)密度為的體電荷均勻分布，則總電量Qa3·因?yàn)榫鶆驇щ娗蝮w對(duì)球外電荷作用力，與球體的電荷全部集中在球心的點(diǎn)電荷對(duì)球外電荷的作用力相同。因此，

9、Q對(duì)點(diǎn)電荷的作用力可用庫侖定律求得：圖 4 r1 R V1 · O k·。上式中表示方向的單位矢量。把帶電球體分割成無數(shù)個(gè)體積為Vi的體積元。如圖4所示，每個(gè)體積元所帶電量為V，點(diǎn)電荷對(duì)這一帶電體積元的作用力為：Vi。點(diǎn)電荷q對(duì)整個(gè)帶電體作用力為各體積元所受作用力的和，即+。根據(jù)牛頓第三定律有：因此 k·k··a3·即（） k·。由此可得：（） k·。四、時(shí)間微元t對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)間進(jìn)行微小分割，稱為時(shí)間分割，分割出來的時(shí)間單元，稱之為時(shí)間微元，用t表示。圖 5 1 2 · S N M L1 L2 P Q U C

10、 × × × × × × C r r L1 L2 i i1 i2 例4 如圖5所示，電源的電動(dòng)勢(shì)為E，電容器的電容為C，S是單刀雙擲開關(guān)，MN、PQ是兩根位于同一水平面的平行光滑長導(dǎo)軌，它們的電阻可以忽略不計(jì)，兩導(dǎo)軌間距為L，導(dǎo)軌處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于兩導(dǎo)軌所在的平面并指向圖中紙面向里，L1和L2是兩根橫放在導(dǎo)軌上的導(dǎo)體小棒，質(zhì)量分別為m1和m2，且m1m2。它們?cè)趯?dǎo)軌上滑動(dòng)時(shí)與導(dǎo)軌保持垂直并接觸良好，不計(jì)摩擦，兩小棒的電阻相同，開始時(shí)兩根小棒均靜止在導(dǎo)軌上。現(xiàn)將開關(guān)S先合向1，然后合向2。求：（1）兩根小棒最

11、終速度的大小。（2）在整個(gè)過程中的焦耳熱損耗。（當(dāng)回路中有電流時(shí)，該電流所產(chǎn)生磁場(chǎng)可忽略不計(jì)）（1997年全國中學(xué)生物理競(jìng)賽試題）解析 當(dāng)開關(guān)S先合上1時(shí)，電源給電容器充電，當(dāng)開關(guān)S再合上2時(shí)，電容器通過導(dǎo)體小棒放電，在放電過程中，導(dǎo)體小棒受到安培力作用，在安培力作用下，兩小棒開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度最后均達(dá)到最大。（1）設(shè)兩小棒最終的速度的大小為v，則分別以L1、L2為研究對(duì)象得： Fitim iv1´m iv1m1v 同理得：m2v 由+得：+ m1v + m2v又因?yàn)?Fi1B l i1 t i 1 t i 2 Fi2 B l i2 i1+i2 i所以 t i 1 + t i 2 B

12、L+BL BL(Qq) （m 1 + m 2）v而Q CE q CU ´ CBLv所以解得小棒的最終速度 v （2）因?yàn)榭偰芰渴睾?，所以CE2+（m1+m2）v2+Q熱即產(chǎn)生的熱量Q熱CE2(m1+F2)v2CU2(CBLv)2(m1+F2)v2CU2CB2L2 +（m1+m2） 2五、質(zhì)量微元mO· R 圖 6 對(duì)物體的質(zhì)量進(jìn)行微小分割，稱為質(zhì)量分割，被分割出來的質(zhì)量單元，稱之為質(zhì)量微元，用m表示。例5 半徑為R的光滑固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀彈性繩圈，原長為R，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖6

13、所示。若平衡時(shí)彈性繩圈長為R，求彈性繩圈的勁度系數(shù)k 。（1987年全國中學(xué)生物理競(jìng)賽試題）解析 由于整個(gè)彈性繩圈的大小不能忽略不計(jì)，彈性繩圈不能看成質(zhì)點(diǎn)，所以應(yīng)將彈性繩圈分割成許多小段，其中每一小段m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F。在彈性繩圈上任取一小段質(zhì)量為m作為研究對(duì)象，進(jìn)行受力分析。但是m受的力不在同一平面內(nèi)，可以從一個(gè)合適的角度觀察，選取一個(gè)合適的平面進(jìn)行受力分析，這樣可以看清楚各個(gè)力之間的關(guān)系。從下面和上面觀察，分別畫出正視圖和俯視圖。先看俯視圖7，設(shè)在彈性繩圈的平面上，m所對(duì)應(yīng)的角度是，則每一小段的質(zhì)量m F F T 圖 7 m在該平面上受拉力F的作用，合力為 T2Fcos()2Fsin因?yàn)楫?dāng)很小時(shí)，sin，所以T2F F再看正視圖8，m受重力mg，支持力N，二力的合力與T平衡：Tmg·tan圖8 N O T mg 現(xiàn)在彈性繩圈的半徑為rR所以sin 45° tan 1因此Tmg Mg聯(lián)立，解得彈性繩圈的張力為：F設(shè)彈性繩圈的伸長量為x則xRR R（1）R所以繩圈的勁度系數(shù)為：k綜上所述，應(yīng)用微元思維方法解題主要步驟如下：（1）將所研究的對(duì)象進(jìn)行無限分割，或假設(shè)研究對(duì)象發(fā)生了微小的變化，例如可以是發(fā)生了一小段位移，經(jīng)歷了一小段時(shí)間