蒙特卡洛模擬金融衍生產(chǎn)品定價(jià)

1、第8章 蒙特卡洛模擬金融衍生產(chǎn)品定價(jià) 本章介紹蒙特卡洛模擬期權(quán)定價(jià)的內(nèi)容，要求讀者掌握隨機(jī)數(shù)生成方式，了解蒙特卡洛定價(jià)就是模擬風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下標(biāo)的資產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，學(xué)會(huì)蒙特卡洛方法模擬歐式期權(quán)定價(jià)，掌握提高模擬精度的常用方法。8.1 隨機(jī)模擬基本原理 1977年，菲力埔伯耶勒(Phelim Boyle)提出了模擬方法求解金融資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題，其想法是假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格分布是隨機(jī)波動(dòng)，如果知道了這個(gè)波動(dòng)過(guò)程，就可以通過(guò)隨機(jī)模擬不同的路徑，每做完一次模擬，就產(chǎn)生了一個(gè)最終資產(chǎn)價(jià)值，再進(jìn)行若干次這樣的過(guò)程，那么所得到的結(jié)果就是一個(gè)最終的資產(chǎn)價(jià)值分布，從這個(gè)分布中我們可以得到期望的資產(chǎn)價(jià)格。8.1.1 隨機(jī)數(shù)生成函

2、數(shù)1均勻分布隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)MATLAB中的unidrnd函數(shù)可以生成1到N的均勻分布隨機(jī)數(shù)。 調(diào)用方式R=unidrnd(N);R=unidrnd(N,m);R=unirnd(N,m,n);其中，N所要生成的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)，m確定輸出隨機(jī)矩陣R的行數(shù),n確定輸出隨機(jī)矩陣R的列數(shù)2生成服從連續(xù)均勻分布的隨機(jī)數(shù)如果需要生成服從連續(xù)分布的隨機(jī)數(shù)，則需調(diào)用unifrnd函數(shù)，其調(diào)用格式為調(diào)用方式1Runifrnd(A，B)生成位于A、B之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。調(diào)用方式2Runifrnd(A,B,m)生成位于A、B之間的隨機(jī)數(shù)。m=m1,m2表示行數(shù)列數(shù)。調(diào)用方式3Runifrnd(A,B,m,n),m,n分別表

3、示行數(shù)、列數(shù)unifrnd(1,2,5,6),unifrnd(1,2,5,6)812 生成正態(tài)分布隨機(jī)數(shù) 調(diào)用方式R=normrnd(mu,sigma)R=normrnd(mu,sigma,m)R=normrnd(mu,sigma,m,n)813 特定分布隨機(jī)數(shù)發(fā)生器 MATLAB中有統(tǒng)一格式的隨機(jī)數(shù)發(fā)生器，函數(shù)名稱為random，可生成許多服從不同分布的隨機(jī)數(shù)。y=random(name,A1,A2,A3,m,n)表8.1 生成特定分布的隨機(jī)數(shù)函數(shù)參數(shù)表beta分布：beta,二項(xiàng)分布：bino,卡方:chi2,指數(shù)分布：exp,F-分布：f, Gamma:gamLognormal:logn

4、, uniform:unif;Poisson:poiss,T:t;Normal-norm;Noncentral F -ncf, Noncentral-nct814 蒙特卡洛模擬方差削減技術(shù)蒙持卡洛模擬精度與模擬次數(shù)密切相關(guān)，模擬次數(shù)越高其精度越高，但是次數(shù)增加又會(huì)增加計(jì)算量。實(shí)踐證明明減少模擬方差可以提高穩(wěn)定性，減少模擬次數(shù)。有很多種方法可以減小方差，如對(duì)偶變量技術(shù)、控制變量技術(shù)、分層抽樣、矩匹配、條件蒙特卡洛模擬等，但最簡(jiǎn)單并且應(yīng)用最為廣泛的是對(duì)偶變量技術(shù)與控制變量技術(shù)。 對(duì)偶變量技術(shù)就是先隨機(jī)抽樣得到一組數(shù)據(jù)，然后以此為基礎(chǔ)構(gòu)造出另一組對(duì)偶變量。下面以正態(tài)分布為例介紹對(duì)偶變量技術(shù)。首先從正

5、態(tài)分布變量中隨機(jī)抽取N個(gè)樣本值，分別為，由此可以得到個(gè)模擬值，那么衍生證券蒙特卡洛估計(jì)值為 以為基礎(chǔ)，構(gòu)造對(duì)偶隨機(jī)數(shù)，是與相互對(duì)偶的隨機(jī)數(shù)，由正態(tài)分布的性質(zhì)知，也是服從正態(tài)分布，由對(duì)偶隨機(jī)數(shù)生成的估計(jì)值為對(duì)和取平均得到新的估計(jì)如果隨機(jī)抽樣的樣本模擬得到的估計(jì)值比較小，那么與之對(duì)偶的隨機(jī)抽樣樣本得到的估計(jì)值可能會(huì)偏大，二者的平均值就可能會(huì)接近真實(shí)值。如果，那么從上面的不等式可以看出，利用對(duì)偶技術(shù)可以增加估計(jì)穩(wěn)定性，提高了估計(jì)精確度。8.1.5 隨機(jī)模擬控制變量技術(shù) 摔制變量技術(shù)就是將與所估計(jì)的未知變量密切相關(guān)的另一個(gè)已知量的真實(shí)值和估計(jì)值之間的差異作為控制量，以提高估計(jì)精度。在定價(jià)實(shí)踐中，將這兩

6、種衍生證券用相同的隨機(jī)抽樣樣本和時(shí)間間隔，實(shí)施同樣的蒙特卡洛模擬過(guò)程，能夠得到兩個(gè)模擬估計(jì)值，以第二種衍生證券真實(shí)值與估計(jì)值之間的差異作為控制變量，最后得到第一種衍生證券的蒙特卡洛估計(jì)值。 假定是需要估汁的第一種衍生證券的價(jià)值，是價(jià)值容易估計(jì)的第二種衍生證券的價(jià)值，第一種證券與第二種證券相似，而和分別是第一種衍生證券和第二種衍生證券在同樣的隨機(jī)抽樣樣本的蒙特卡洛估計(jì)值，那么利用控制變量技術(shù)得到第一種衍生證券的價(jià)格估計(jì)值為這里就是控制變量，它實(shí)際上是第一種衍生證券的蒙特卡洛模擬的估計(jì)誤差，且上述方程的方差之間的關(guān)系為 如果，一定有因此，當(dāng)兩種衍生證券的協(xié)方差很大時(shí)，或者當(dāng)兩種衍生證券的價(jià)格高度相

7、關(guān)時(shí)，上述關(guān)系是成立的，兩種衍生證券的正相關(guān)性越強(qiáng)，估計(jì)效率越理想。然的從實(shí)際應(yīng)用的角度看，這種控制變量技術(shù)的應(yīng)用十分有限，因此，下面是更一般的控制變量技術(shù)，其控制變量的形式為方差為 這是關(guān)于控制變量系數(shù)的二次三項(xiàng)式，下面的目標(biāo)是能夠找到特殊的使方差最小.這時(shí)只要取就可以保證方差最小，這種控制變量技術(shù)的缺點(diǎn)是需要提前知道協(xié)方差的信息，而這一般需要靠經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)。8.2 蒙持卡洛方法模擬期權(quán)定價(jià)(編程)考821 蒙特卡洛方法模擬歐式期權(quán)定價(jià)在期權(quán)計(jì)算中，我們可以利用風(fēng)險(xiǎn)中性的方法計(jì)算期權(quán)的價(jià)格。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)形式如下：其中，是期權(quán)的價(jià)格，是到期日的現(xiàn)金流，是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度。 如果知道了風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度就可以

8、模擬全路徑，也可模擬終端價(jià)格，例如計(jì)算障礙期權(quán)等路徑依賴型期權(quán)時(shí)可以模擬全路徑，而歐式期權(quán)可模擬終端價(jià)格。如果標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) 那么風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的關(guān)鍵在于尋找風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度。對(duì)于幾何布朗運(yùn)動(dòng)，可以證明風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，標(biāo)的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程如下：對(duì)于歐式看漲期權(quán)，到期日歐式看漲期權(quán)現(xiàn)金流如下：其中，是執(zhí)行價(jià)，是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，是標(biāo)準(zhǔn)差，是正態(tài)分布的隨機(jī)變量。對(duì)到期日的現(xiàn)金流用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，就可以知道期權(quán)的價(jià)格。*(考)【例8-1】假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，股票現(xiàn)在價(jià)格，歐式期權(quán)執(zhí)行價(jià)，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，股票波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差，期權(quán)的到期日，試用蒙特卡洛模擬方法計(jì)算該期權(quán)價(jià)格。下面用MATLAB編寫一個(gè)子程

9、序blsmc進(jìn)行計(jì)算function eucall,varprice,ci=blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)% 蒙特卡洛方法計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格% 輸入?yún)⒔? sO:股票價(jià)格% K:執(zhí)行價(jià)% r 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率% sigma 股票波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差% Nu 模擬的次數(shù)% 輸出參數(shù)% eucall: 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格% varprice模擬期權(quán)價(jià)格的方差% ci 95概率保證的期權(quán)價(jià)格區(qū)間randn(seed,O);%定義隨機(jī)數(shù)發(fā)生器種子是0，這樣可以保證每次模擬的結(jié)果相同nuT=(r-0.5*sigma2)*T;sit=sigma*sqrt(T);discpayoff=exp(-r*

10、T)*max0,s0*exp(nuT+sit*randn(Nu,l)-K);%期權(quán)到期時(shí)的現(xiàn)金流eucall,varprice,ci=normfit(discpayoff)調(diào)用子程序可得到歐式看漲期權(quán)價(jià)格。c,var,ci=blsmc(50,52,0.1,5/12,0.4,1000)c = 5.44452285431324449ci = 4.877583065095581從上面的結(jié)果可以看到，蒙特卡洛模擬得到的期權(quán)價(jià)格為5.4445，樣本正態(tài)擬合的方差為9.1361，95的置信區(qū)間為4.8776，6.0115，模擬波動(dòng)的區(qū)間還是很大的。我們用了normfit函數(shù)對(duì)模擬的結(jié)果用正態(tài)分布函數(shù)進(jìn)行擬

11、合，這不是必需的，主要是為了考察模擬結(jié)果的穩(wěn)定性，如果不需要考察結(jié)果是否穩(wěn)定，也可直接對(duì)模擬的結(jié)果求均值。此時(shí)可將最后一句改為price=mean(discpayoff)。歐式期權(quán)的公式解如下：call,put= blsprice(50,52,0.1,5/12,0.4)put = 5.068933121521976公式解5.1911和模擬值5.4445二者之間還是存在較大的差距，增加模擬的次數(shù)為10000次時(shí)結(jié)果如下：c,var,ci=blsmc(50,52,0.1,5/12,0.4,10000)var = 8.933464757068791ci = 4.958672541451405 5.3

12、08900319557867模擬結(jié)果入5.1338，可以看到期權(quán)模擬精度有了顯著提高，95%的的置信區(qū)間為4.9587，5.3089，置信區(qū)間較1000時(shí)大大縮小，模擬可靠性增加。下面用對(duì)偶方法計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格。function eucall,varprice,ci=dul_blsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)% 蒙特卡洛方法計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格(對(duì)偶法）% 輸入?yún)⒔? sO:股票價(jià)格% K:執(zhí)行價(jià)% r 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率% sigma 股票波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差% Nu 模擬的次數(shù)% 輸出參數(shù)% eucall: 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格% varprice模擬期權(quán)價(jià)格的方差% ci 95概率保

13、證的期權(quán)價(jià)格區(qū)間randn(seed,O);%定義隨機(jī)數(shù)發(fā)生器種子是0，這樣可以保證每次模擬的結(jié)果相同nuT=(r-0.5*sigma2)*T;sit=sigma*sqrt(T);rand=randn(Nu,1);discpayoff=exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*rand)-K);discpayoff1= exp(-r*T)*max(0,s0*exp(nuT+sit*(-1)*rand)-K);%期權(quán)到期時(shí)的現(xiàn)金流duleucall,dulvarprice,dulci=normfit(discpayoff;discpayoff1)調(diào)用子程序可得到歐式看漲期權(quán)價(jià)

14、格。c,var,ci=dul_blsmc(50,52,0.1,5/12,0.4,10000);結(jié)果如下c =var = 8.902468445392321ci = 5.086032462943382 5.332806699308480模擬的結(jié)果為5.2094，離精確值5.19l1非常接近，說(shuō)明對(duì)偶技術(shù)還是非常有效的822 蒙特卡洛方法模擬障礙期權(quán)定價(jià)障礙期權(quán)是特殊形式的期權(quán)，例如確定一個(gè)障礙值，在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)有可能超過(guò)該價(jià)格，也有可能低于該價(jià)格，對(duì)于敲出期權(quán)而言，如果在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觸及障礙值時(shí)，期權(quán)合同可以提前終止執(zhí)行；相反地對(duì)于敲入期權(quán)麗言，如果標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格觸及障礙值時(shí)，期權(quán)

15、合同開(kāi)始生效。注意障礙值可以低于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)在的價(jià)格，也可以高于。如果稱為上漲期權(quán)，反之稱為下跌期權(quán)。對(duì)于下跌敲出看跌期權(quán)，該期權(quán)首先是看跌期權(quán)，股票價(jià)格是，執(zhí)行價(jià)是，買入看跌期權(quán)就首先保證以執(zhí)行價(jià)賣掉股票，下跌敲出障礙期權(quán)相當(dāng)于在看跌期權(quán)的基礎(chǔ)上附加提前終止執(zhí)行的條款，內(nèi)容是當(dāng)股票價(jià)格觸及障礙值時(shí)看跌期權(quán)就提前終止執(zhí)行。因?yàn)樵撈跈?quán)對(duì)于賣方有利，所以其價(jià)格應(yīng)低于看躍期權(quán)的價(jià)格。下面考慮下跌敲入看跌期權(quán)，同樣地該期權(quán)首先是看跌期權(quán)，下跌敲入期權(quán)相當(dāng)于在看跌期權(quán)的基礎(chǔ)上，附加何時(shí)生效的條款，內(nèi)容是當(dāng)股票的價(jià)格觸及障礙值時(shí)，看跌期權(quán)開(kāi)始生效，綜合地看，標(biāo)準(zhǔn)的看跌期權(quán)合同可以拆分為兩份產(chǎn)品，分別是下跌敲

16、出看跌期權(quán)與下跌敲入看躍期權(quán)，用公式表示如下其中，是標(biāo)準(zhǔn)看跌期權(quán)價(jià)格，與分別表示下跌敲入看跌期權(quán)與下跌敲出看跌期權(quán)的價(jià)格。如果下跌敲出看跌期權(quán)提前終止時(shí)賣方補(bǔ)償一些費(fèi)用給買方，上述公式表示的平價(jià)義系就就不再有效。當(dāng)障礙值確定時(shí)，障礙期權(quán)存在公式解，其形式如下：其中，是股票價(jià)格，是障礙值，是看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)，是存續(xù)期，是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，是波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)差，其他參數(shù)如下：a=(Sb/S0)(-1+2*r/sigma2); b=(Sb/S0)(1+2*r/sigma2);d1=(log(S0/K)+(r+sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d2=(log(S0/K)+(r-sigma2/

17、2)*T)/(sigma*sqrt(T);d3=(log(S0/Sb)+(r+sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d4=(log(S0/Sb)+(r-sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d5=(log(S0/Sb)-(r-sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d6=(log(S0/Sb)-(r+sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d7=(log(S0*K/Sb2)-(r-sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d8=(log(S0*K/Sb2)-(r+sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(

18、T);利用上面的公式編寫下跌敲出障礙期權(quán)價(jià)格的程序如下 function P=DownOutPut(S0,K,r,T,sigma,Sb)a=(Sb/S0)(-1+2*r/sigma2); b=(Sb/S0)(1+2*r/sigma2);d1=(log(S0/K)+(r+sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d2=(log(S0/K)+(r-sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d3=(log(S0/Sb)+(r+sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d4=(log(S0/Sb)+(r-sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);

19、d5=(log(S0/Sb)-(r-sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d6=(log(S0/Sb)-(r+sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d7=(log(S0*K/Sb2)-(r-sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);d8=(log(S0*K/Sb2)-(r+sigma2/2)*T)/(sigma*sqrt(T);P=K*exp(-r*T)*(normcdf(d4)-normcdf(d2)-a*(normcdf(d7)-normcdf(d5).-S0*(normcdf(d3)-normcdf(d1)-b*(normcdf(d8)-

20、normcdf(d6);【例8-2】我們考慮一個(gè)歐式看跌股票期權(quán)。股票的價(jià)格為50，看跌期權(quán)執(zhí)行價(jià)為50，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為0.1，時(shí)間為5個(gè)月，股票年波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4。首先公式的解如下：S0=50;K=50;r=0.1;T=5/12;sigma=0.4;call,put=blsprice(S0,K,r,T,sigma)call =put = 4.075980984787780 看跌期權(quán)價(jià)格為4.076. 對(duì)于上述看跌期權(quán)，進(jìn)一步地，我們考慮障礙值等于40時(shí)下跌敲出期權(quán)的價(jià)格：P=DownOutPut(S0,K,r,T,sigma,40)P = 由于該下跌敲出看跌期權(quán)提供的條件過(guò)于優(yōu)厚，買方承

21、受大量風(fēng)險(xiǎn)，作為回報(bào)價(jià)格較看跌期權(quán)便宜許多。 下面用蒙特卡洛方法模擬下跌敲出看跌期權(quán)價(jià)格，在模擬中我們給出了模擬次數(shù)為NRep1,每次模擬時(shí)間分為NSteps步離散，障礙值為變量Sb，其現(xiàn)金流如下： 當(dāng)時(shí)，CashFlow=0。我們可以先模擬路徑，然后讓小于Sb的路徑的現(xiàn)金流為0，程序如下：% DOPutMC(s0,k,r,T,sigma,sb,NSteps,NRep1)function P,aux,CI= DOPutMC(s0,k,r,T,sigma,sb,NSteps,NRep1)% 利用蒙特卡洛方法對(duì)歐式下跌敲出期權(quán)定價(jià)% 輸入?yún)?shù)% sO:股票價(jià)格% k:執(zhí)行價(jià)% r 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率% T

22、:期權(quán)存續(xù)期 % sigma 股票波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差% Sb 障礙值% NSteps 時(shí)間離散數(shù)目% NRepl: 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格% varprice模擬期權(quán)價(jià)格的方差% ci 95概率保證的期權(quán)價(jià)格區(qū)間% 輸出參數(shù)% P 下跌敲出看跌期權(quán)價(jià)格% CI 蒙特卡洛摩尼的方差% NCrossed 價(jià)格的95%-置信區(qū)間% 用蒙特卡洛方法模擬風(fēng)險(xiǎn)中性下股價(jià)路徑dt=T/NSteps;nudt=(r-0.5*sigma2)*dt;sidt=sigma*sqrt(dt);randn(seed,0);rand=randn(NRep1,NSteps);rand1=nudt+sidt*rand;rand2=cu

23、msum(rand1,2);% 沿列方向逐列累加path=s0*exp(rand2);% 利用路徑進(jìn)行定價(jià)payoff=zeros(NRep1，1);for i=1:NRep1ax=path(i,:); if min(ax)sb payoff(i)=0; %如果路徑中的任意一點(diǎn)價(jià)格低于障礙值，現(xiàn)金流為0 else payoff(i)=max(0,k-ax(NSteps); endendP,aux,CI=normfit(exp(-r*T)*payoff);%P為期權(quán)價(jià)格運(yùn)行程序：s0=50;k=50;r=0.1;T=5/12;sigma=0.4;sb=40;NSteps=600;NRep1=10

24、000;P,aux,CI=DOPutMC(s0,k,r,T,sigma,sb,NSteps,NRep1)P = 0.592069149986891aux = 1.668695291705626CI = 0.559359363792887 0.624778936180894該期權(quán)模擬的價(jià)格為0.5594，和前面的公式解0.5424尚存在差距，增加模擬次數(shù)，代碼如下：s0=50;k=50;r=0.1;T=5/12;sigma=0.4;sb=40;NSteps=600;NRep1=20000;P,aux,CI=DOPutMC(s0,k,r,T,sigma,sb,NSteps,NRep1)aux =

25、1.602236168134015CI =結(jié)果和公式解比較接近，如果將存續(xù)期改為2/12年，再考察其價(jià)格變化，代碼如下：P,aux,CI=DOPutMC(s0,k,r,2/12,sigma,sb,60,50000)P = 1.352650569271812aux = 2.366421196429638CI = 1.3733932865983958.2.3 蒙特卡洛方法模擬亞式期權(quán)定價(jià)亞式期權(quán)是一種路徑依賴型期權(quán)，它的收益函數(shù)依賴于期權(quán)存續(xù)期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)的平均價(jià)格。平均價(jià)格分算術(shù)平均和幾何平均兩種，對(duì)于離散算術(shù)平均價(jià)格定義為 （8.1）其中是離散時(shí)間樣本點(diǎn)。 離散幾何平均價(jià)格定義為 （8.2）亞式

26、看漲期權(quán)到期現(xiàn)金流為其中，是執(zhí)行價(jià)，是時(shí)刻的股價(jià)?！纠?-3】股票價(jià)格為50，亞式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)為50，存續(xù)則為5個(gè)月，期權(quán)到期現(xiàn)金流是每月均價(jià)與執(zhí)行價(jià)之差，股票波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為0.1，下面用蒙特卡洛方法計(jì)算該亞式期權(quán)價(jià)格：該期權(quán)定價(jià)程序?yàn)椋? DOPutMC(s0,k,r,T,sigma,sb,NSteps,NRep1)function P,aux,CI= AsianMC(s0,k,r,T,sigma,NSteps,NRep1)% 利用蒙特卡洛方法對(duì)亞式期權(quán)定價(jià)% 輸入?yún)?shù)% sO:股票價(jià)格% k:執(zhí)行價(jià)% r 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率% T:期權(quán)存續(xù)期 % sigma 股票波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)

27、差% NSteps 時(shí)間離散數(shù)目% NRepl:模擬路徑數(shù)% 輸出參數(shù)% P 下跌敲出看跌期權(quán)價(jià)格% CI 蒙特卡洛模擬的方差% NCrossed 價(jià)格的95%-置信區(qū)間% 用蒙特卡洛方法模擬風(fēng)險(xiǎn)中性下股價(jià)路徑dt=T/NSteps;nudt=(r-0.5*sigma2)*dt;sidt=sigma*sqrt(dt);randn(seed,0);rand=randn(NRep1,NSteps);rand1=nudt+sidt*rand;rand2=cumsum(rand1,2);% 沿列方向逐列累加path=s0*exp(rand2);% 利用路徑進(jìn)行定價(jià)payoff=zeros(NRep1，

28、1);for i=1:NRep1 payoff(i)=max(0,mean(path(i,:)-k);endP,aux,CI=normfit(exp(-r*T)*payoff); 運(yùn)行程序s0=50;k=50;r=0.1;T=5/12;sigma=0.4;NSteps=5;NRep1=50000;P,aux,CI= AsianMC(s0,k,r,T,sigma,NSteps,NRep1）P =aux = 5.966879973484831CI = 3.909871203577914這是一個(gè)比較粗糙的估計(jì)，我們可以用控制變量(control variable)技術(shù)提高估計(jì)精度。構(gòu)造顯然它和收益函

29、數(shù)是相關(guān)的，而，這樣用控制變量法可以將前面的程序改為% AsianMCCV.mfunction P, CI= AsianMCCV(S0,X,r,T,sigma,NSamples,NRep1,NPilot)% 利用蒙特卡洛方法對(duì)亞式期權(quán)定價(jià)% 輸入?yún)?shù)% sO:股票價(jià)格% X:執(zhí)行價(jià)% r 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率% T:期權(quán)存續(xù)期 % sigma 股票波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差% NSample 取樣數(shù)目% NRepl:模擬路徑數(shù)% Npilot: 路徑數(shù)目% 輸出參數(shù)% P 下跌敲出看跌期權(quán)價(jià)格% CI 蒙特卡洛模擬的方差% 用蒙特卡洛方法模擬風(fēng)險(xiǎn)中性下股價(jià)路徑 TryPath=AssetPaths1(S0,r,sig

30、ma,T,NSamples,NPilot);%生成路徑StockSum=sum(TryPath,2);PP=mean(TryPath(:,2:(NSamples+1),2);TryPayoff=exp(-r*T)*max(0,PP-X);MatCov=cov(StockSum,TryPayoff);c=-MatCov(1,2)/var(StockSum);dt=T/NSamples;ExpSum=S0*(1-exp(NSamples+1)*r*dt)/(1-exp(r*dt);% MCControlVars=zeros(NRep1,1);for i=1:NRep1 StockPath=Asse

31、tPaths1(S0,r,sigma,T,NSamples,1); Payoff(i)=exp(-r*T)*max(0,mean(StockPath(2:(NSamples+1)-X); ControlVars(i)=Payoff(i)+c*(sum(StockPath)-ExpSum);end P,aux,CI=normfit(ControlVars);function Spaths=AssetPaths1(S0,mu,sigma,T,NSteps,NRep1)dt=T/NSteps;nudt=(mu-0.5*sigma2)*dt;sidt=sigma*sqrt(dt);Increments

32、=nudt+sidt*randn(NRep1,NSteps);LogPaths=cumsum(log(S0)*ones(NRep1,1),Increments,2);Spaths=exp(LogPaths);下面是控制變量模擬的結(jié)果：randn(seed,0);P,CI=AsianMCCV(50,50,0.1,5/12,0.4,5,45000,50000)計(jì)算結(jié)果為P = 3.980870822887436CI = 4.003607140229710根據(jù)前面蒙特卡洛模擬的結(jié)果有randn(seed,0);P,aux,CI=AsianMC(50,50,0.1,5/12,0.4,5,50000)a

33、ux = 5.966879973484831CI = 3.909871203577914可以看出控制變量使得估計(jì)的置信區(qū)間縮小了。8.2.4 蒙特卡洛模擬經(jīng)驗(yàn)等價(jià)勒測(cè)度等價(jià)鞅理論是金融衍生品定價(jià)的重要方法，衍生品價(jià)格就是在等價(jià)鞅測(cè)度下對(duì)衍生品現(xiàn)金流用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，可以用下面方程表示：其中，表示股票價(jià)格，為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，表示0時(shí)刻信息，表示等價(jià)敬測(cè)度下的期望算子。 Duan和simonate(1998)提出了乘數(shù)調(diào)整法，該方法可以保證等價(jià)鞅性質(zhì)，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，等價(jià)鞅下的資產(chǎn)運(yùn)動(dòng)滿足下列條件：其中，這樣模擬的第條路徑為這時(shí)我們可以構(gòu)造一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度測(cè)度實(shí)際上在第條路徑的權(quán)重上乘以，當(dāng)樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)有是風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的新樣本。對(duì)于例8-1我們重新編寫程序如下%function Emseucall,Var,CI=Emsmc(s0,K,r,T,sigma,Nu)% 蒙特卡洛經(jīng)驗(yàn)等價(jià)鞅方法計(jì)算歐式看漲期權(quán)的價(jià)格% 輸