線性系統(tǒng)的時域分析法

1、第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法一、教學目的與要求：對本章的講授任務(wù)很重，要使學生通過本章的學習建立起分析系統(tǒng)特性的概念及方法，圍繞控制系統(tǒng)要解決的三大問題，怎樣從動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能及穩(wěn)定性三方面衡量控制系統(tǒng)，要求學生掌握一階、二階系統(tǒng)的典型輸入信號響應，參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響，尤其是二階系統(tǒng)參數(shù)與特征根的關(guān)系，系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念與判據(jù)方法，精度問題，即穩(wěn)態(tài)誤差的分析與求法。二、授課主要內(nèi)容： 本章著重討論標準二階系統(tǒng)的階躍響應，明確系統(tǒng)的特征參數(shù)與性能指標的關(guān)系。通過對系統(tǒng)階躍響應的分析，明確系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，掌握時域判穩(wěn)方法。1系統(tǒng)時間響應的性能指標1） 典型輸入信號2） 動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程

2、3） 動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能2 一階系統(tǒng)的時域分析3 二階系統(tǒng)的時域分析1） 二階系統(tǒng)數(shù)學模型的標準形式2） 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應3） 系統(tǒng)參數(shù)與特征根及瞬態(tài)響應的關(guān)系4高階系統(tǒng)的時域分析1）高階系統(tǒng)的單位階躍響應2）閉環(huán)主導極點5 性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析1） 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件2） 勞斯赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算1）誤差與穩(wěn)態(tài)誤差2）系統(tǒng)類型與靜態(tài)誤差系數(shù)（詳細內(nèi)容見講稿）三、重點、難點及對學生的要求（掌握、熟悉、了解、自學）重點：二階系統(tǒng)的特點，勞斯穩(wěn)定判據(jù)，穩(wěn)態(tài)誤差。難點： 二階系統(tǒng)階躍響應與特征根及參數(shù)和的關(guān)系。要求：1. 掌握一階系統(tǒng)對典型試驗信號的輸出響應的推導，

3、理解系統(tǒng)參數(shù)T和K的物理意義。2. 重點掌握不同二階系統(tǒng)階躍響應的特點，及階躍響應與特征根在根平面位置之間的關(guān)系；理解系統(tǒng)參數(shù)和的物理意義。3. 掌握控制系統(tǒng)階躍響應性能指標的含義，以及計算二階欠阻尼系統(tǒng)性能指標的方法。4. 掌握勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。5. 理解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的“型”及輸入信號的形式之間的關(guān)系。6. 理解高階系統(tǒng)主導極點的概念，以及高階系統(tǒng)可以低階近似的原理。7. 了解根據(jù)系統(tǒng)的階躍和脈沖響應曲線獲得系統(tǒng)數(shù)學模型的方法。 四、主要外語詞匯時域分析法 time scale analytical method根軌跡法 root-locus plot method頻域

4、分析法 phase scale analytical method性能指標 performance specification高階系統(tǒng) higher-order system穩(wěn)定性 stability勞思-赫爾維茨判據(jù) rouths stability criterion 穩(wěn)態(tài)誤差 stability error誤差系數(shù) error parameter 五、輔助教學情況（見課件）六、復習思考題1 什么是時域分析法？2 什么是系統(tǒng)的時間響應？3 什么是瞬態(tài)響應？4 什么是穩(wěn)態(tài)響應？5 什么是動態(tài)性能指標？動態(tài)性能指標有哪些？6 什么是系統(tǒng)的穩(wěn)定性？7 判別線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本方法有哪些？8

5、什么是誤差？什么是穩(wěn)態(tài)誤差？如何計算穩(wěn)態(tài)誤差？9 慣性環(huán)節(jié)在什么情況下可近似比例環(huán)節(jié)? 而在什么情況下可近似為積 分環(huán)節(jié)?10 慣性環(huán)節(jié)與二階環(huán)節(jié)的階躍響應曲線有何不同？11 有那些措施能增加系統(tǒng)的穩(wěn)定程度？它們對系統(tǒng)的性能還有什么影響?12 將二階系統(tǒng)的增益調(diào)得很大，系統(tǒng)是否會不穩(wěn)定？13 系統(tǒng)時間常數(shù)的改變，對系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)定性有何影響？14 控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與什么有關(guān)？15 怎樣減小或消除擾動所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差？16 擾動作用點之后的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差有無影響？17 定值調(diào)節(jié)系統(tǒng)與隨動調(diào)節(jié)系統(tǒng)其響應曲線有何區(qū)別? 在階躍響應曲線中定義其時域指標，兩種調(diào)節(jié)系統(tǒng)有什么異同點?七、參考教材

6、（資料） 1自動控制原理上冊 南京航空學院 西北工業(yè)大學 北京航空學院 合編 國防工業(yè)出版社參考該書第三章有關(guān)內(nèi)容。2自動控制原理 東北工學院 楊自厚 冶金工業(yè)出版社參考該書第三章有關(guān)內(nèi)容。八、講稿第三章 線性系統(tǒng)的時域分析法在確定系統(tǒng)的數(shù)學模型后，便可以用幾種不同的方法去分析控制系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。在經(jīng)典控制理論中，常用時域分析法、根軌跡法或頻域分析法來分析線性控制系統(tǒng)的性能。顯然，不同的方法有不同的特點和適用范圍，但是比較而言，時域分析法是一種直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，具有直觀、準確的優(yōu)點，并且可以提供系統(tǒng)時間響應的全部信息。本章主要研究線性控制系統(tǒng)性能分析的時域法。31

7、系統(tǒng)時間響應的性能指標控制系統(tǒng)性能的評價分為動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標兩類。為了求解系統(tǒng)的時間響應，必須了解輸入信號(即外作用)的解析表達式。然而，在一般情況下，控制系統(tǒng)的外加輸入信號具有隨機性而無法預先確定，因此需要選擇若干典型輸入信號。1， 典型輸入信號一般說來，我們是針對某一類輸入信號來設(shè)計控制系統(tǒng)的。某些系統(tǒng)，例如室溫系統(tǒng)或水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)，其輸入信號為要求的室溫或水位高度，這是設(shè)計者所熟知的。但是在大多數(shù)情況下，控制系統(tǒng)的輸入信號以無法預測的方式變化。例如，在防空火炮系統(tǒng)中，敵機的位置和速度無法預料，使火炮控制系統(tǒng)的輸入信號具有了隨機性，從而給規(guī)定系統(tǒng)的性能要求以及分析和設(shè)計工作帶來了困

8、難。為了便于進行分析和設(shè)計，同時也為了便于對各種控制系統(tǒng)的性能進行比較，我們需要假定一些基本的輸入函數(shù)形式，稱之為典型輸入信號。所謂典型輸入信號，是指根據(jù)系統(tǒng)常遇到的輸入信號形式，在數(shù)學描述上加以理想化的一些基本輸入函數(shù)?？刂葡到y(tǒng)中常用的典型輸入信號有：單位階躍函數(shù)、單位斜坡(速度)函數(shù)、單位加速度(拋物線)函數(shù)、單位脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)，這些函數(shù)都是簡單的時間函數(shù)，便于數(shù)學分析和實驗研究。實際應用時究竟采用哪一種典型輸入信號，取決于系統(tǒng)常見的工作狀態(tài)；同時，在所有可能的輸入信號中，往往選取最不利的信號作為系統(tǒng)的典型輸入信號。這種處理方法在許多場合是可行的。例如，室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)和水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)，以及

9、工作狀態(tài)突然改變或突然受到恒定輸入作用的控制系統(tǒng)，都可以采用階躍函數(shù)作為典型輸入信號；跟蹤通信衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)，以及輸入信號隨時間逐漸變化的控制系統(tǒng)，斜坡函數(shù)是比較合適的典型輸入；加速度函數(shù)可用來作為宇宙飛船控制系統(tǒng)的典型輸入；當控制系統(tǒng)的輸入信號是沖擊輸入量時，采用脈沖函數(shù)最為合適；當系統(tǒng)的輸入作用具有周期性的變化時，可選擇正弦函數(shù)作為典型輸入。同一系統(tǒng)中，不同形式的輸入信號所對應的輸出響應是不同的，但對于線性控制系統(tǒng)來說，它們所表征的系統(tǒng)性能是一致的。通常以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，則可在一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進行比較和研究。應當指出，有些控制系統(tǒng)的實際輸入信號是變化無

10、常的隨機信號，例如定位雷達天線控制系統(tǒng)，其輸入信號中既有運動目標的不規(guī)則信號，又包含有許多隨機噪聲分量，此時就不能用上述確定性的典型輸入信號去代替實際輸入信號，而必須采用隨機過程理論進行處理。為了評價線性系統(tǒng)時間響應的性能指標，需要研究控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的時間響應過程。2 動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。 (1)動態(tài)過程動態(tài)過程又稱過渡過程或瞬態(tài)過程，指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。由于實際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦以及其它一些原因，系統(tǒng)輸出量不可能完全復現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

11、和參數(shù)選擇情況，動態(tài)過程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然，一個可以實際運行的控制系統(tǒng)，其動態(tài)過程必須是衰減的，換句話說，系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動態(tài)過程除提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息外，還可以提供響應速度及阻尼情況等信息。這些信息用動態(tài)性能描述。(2)穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)力式。穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應，表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息，用穩(wěn)態(tài)性能描述由此可見，控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的性能指標，通常由動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性兩部分組成。3動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件，因此只有當動態(tài)過程收斂時，研究系統(tǒng)

12、的動態(tài)性能才有意義。(1)動態(tài)性能通常在階躍函數(shù)作用下，測定或計算系統(tǒng)的動態(tài)性能。一般認為，階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴峻的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其它形式的函數(shù)作用下，其動態(tài)性能也是令人滿意的。描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間t的變化狀況的指標，稱為動態(tài)性能指標。為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止狀態(tài)，而且輸出量及其各階導數(shù)均等于零。對于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實際情況的。對于圖31所示單位階躍響應h(t)，其動態(tài)性能指標通常如下：延遲時間t 指響應曲線第一次達到其終值一半所需的時間。上升時間 指響應從

13、終值10%上升到終值90%所需的時間；對于有振蕩的系統(tǒng)，亦可定義為響應從零第一次上升到終值所需的時間。上升時間是系統(tǒng)響應速度的一種度量。上升時間越短，響應速度越快。峰值時間t 指響應超過其終值到達第一個峰值所需的時間。調(diào)節(jié)時間 指響應到達并保持在終值土5%內(nèi)所需的最短時間。超調(diào)量% 指響應的最大偏離量h（）與終值h()的差與終值A(chǔ)()比的百分數(shù)，即 %= （3-1）若h()<h()，則響應無超調(diào)。超調(diào)量亦稱為最大超調(diào)量，或百分比超調(diào)量。上述五個動態(tài)性能指標，基本上可以體現(xiàn)系統(tǒng)動態(tài)過程的特征。在實際應用中，常用的動態(tài)性能指標多為上升時間、調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量。通常，用或評價系統(tǒng)的響應速度用%評

14、價系統(tǒng)的阻尼程度；而2J是員吐反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標。應當指出除簡單的一、二階系統(tǒng)外，要精確確定這些動態(tài)性能指標的解析表達式是很困難的。(2)穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進行測定或計算。若時間趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。32 一階系統(tǒng)的時域分析凡以一階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。在工程實踐中，一階系統(tǒng)不乏其例。有些高階系統(tǒng)的特性，常可用一階系統(tǒng)的特性來近似表征。1一階系統(tǒng)的數(shù)學模型研究圖32(a)所示RC電路

15、，其運動微分方程為T(t)+c(t)=r(t) (32)其中，c(t)為電路輸出電壓；r(c)為電路輸入電壓；TRC為時間常數(shù)。當該電路的初始條件為零時，其傳遞函數(shù)為 2一階系統(tǒng)的單位階躍響應設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)，r(t)1(t)，則由式(33)可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應為 h（t）=1- t0 （3-4）由式(34)可見，一階系統(tǒng)的單位階躍響應是一條初始值為零，以指數(shù)規(guī)律上升到終值1的曲線，如圖33所示。圖33表明，一階系統(tǒng)的單位階躍應為非周期響應，具備如下兩個重要特點1)可用時間常數(shù)T去度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值。98.2。根據(jù)這一特點，可用實驗方法測定一階系統(tǒng)的時間常數(shù)，或測定所

16、測系統(tǒng)是否屬于一階系統(tǒng)。1) 響應曲線的斜率初始值為1T，并隨時間的推移而下降。例如 從而使單位階躍響應完成全部變化所需的時間為無限長，即有h（）=1。此外，初始斜率特性，也是常用的確定一階系統(tǒng)時間常數(shù)的方法之一。根據(jù)動態(tài)性能指標的定義，一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為 顯然，峰值時間t和超調(diào)量%都不存在由于時間常數(shù)T反映系統(tǒng)的慣性，所以一階系統(tǒng)的慣性越小苴晌應過程快；反之慣性越大響應越慢3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應當輸入信號為理想單位脈沖函數(shù)時，由于R(5)1，所以系統(tǒng)輸出量的拉氏變換式與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同，即C（s）=這時系統(tǒng)的輸出稱為脈沖響應，其表達式為4。一階系統(tǒng)的單位斜坡響應設(shè)系統(tǒng)的輸入信號為單

17、位斜坡函數(shù)，則由式(33)可以求得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應式(36)表明：一階系統(tǒng)的單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)分量，是一個與輸入斜坡函數(shù)斜率相同但時間滯后f的斜坡函數(shù)，因此在位置上存在穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，其值正好等于時間常數(shù)一階系統(tǒng)單位斜坡響應的瞬態(tài)分量為衰減非周期函數(shù)。5 一階系統(tǒng)的單位加速度響應設(shè)系統(tǒng)的輸入信號為單位加速度函數(shù)，則由式(3-3)叮以求得階系統(tǒng)的單位加速度響應為c（t）=一階系統(tǒng)對上述典型輸入信號的響應歸納于表32之中。由表32可見，單位脈沖函數(shù)與單位階躍函數(shù)的一階導數(shù)及單位斜坡函數(shù)的二階導數(shù)的等價關(guān)系，對應有單位脈沖響應與單位階躍響應的一階導數(shù)及單位斜坡響應的二階導數(shù)的等價關(guān)系。這個等價對

18、應關(guān)系表明：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)；或者，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分，而積分常數(shù)由零輸出初始條件確定。這是線性定常系統(tǒng)的一個重要特性，適用于任何階線性定常系統(tǒng)，但不適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。因此，研究線性定常系統(tǒng)的時間響應，不必對每種輸入信號形式進行測定和計算，往往只取其中一種典型形式進行研究。 33 二階系統(tǒng)的時域分析凡以二階微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制：工程中，不僅二階系統(tǒng)的典型應用極為普遍，而且不少高階系統(tǒng)的特性在一定條件下可用二階系統(tǒng)的特性來表征。因此，著重研究二階系統(tǒng)的分析和計算方法，具

19、有較大的實際意義。1. 二階系統(tǒng)的數(shù)學模型為了使研究的結(jié)果具有普遍的意義，可將式(39)表示為如下標準形式: 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。控制系統(tǒng)在實際運行過程中，總會受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動，例如負載和能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會在任何微小的擾動作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因而，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動控制理論的基本任務(wù)之一1穩(wěn)定性的基本概念任何系統(tǒng)在擾動作用下都會偏離原平衡狀態(tài)，產(chǎn)生初始偏差。所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復到

20、原平衡狀態(tài)的性能。其實，關(guān)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性有多種定義方法。上面所闡述的穩(wěn)定性概念，實則是指平衡狀態(tài)穩(wěn)定性，由俄國學者李雅普諾夫子1892年首先提出，一直沿用至今。有關(guān)李雅普諾夫穩(wěn)定性的嚴密數(shù)學定義及穩(wěn)定性定理，將在第九章介紹。在分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，我們所關(guān)心的是系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性，即系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入作用下，系統(tǒng)方程的解在時間t趨于無窮時的漸近行為。毫無疑問，這種解就是系統(tǒng)齊次微分方程的解，而“解”通常稱為系統(tǒng)方程的一個“運動”，因而謂之運動穩(wěn)定性。嚴格地說，平衡狀態(tài)穩(wěn)定性與運動穩(wěn)定性并不是一回事，但是可以證明，對于線性系統(tǒng)而言，運動穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)穩(wěn)定性是等價的。按照李雅普諾夫分析穩(wěn)

21、定性的觀點，首先假設(shè)系統(tǒng)具有一個平衡工作點，在該平衡工作點上，當輸入信號為零時，系統(tǒng)的輸出信號亦為零。一旦擾動信號作用于系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸出量將偏離原平衡工作點。若取擾動信號的消失瞬間作為計時起點，則t=0時刻系統(tǒng)輸出量增量及其各階導數(shù)，便是研究to時系統(tǒng)輸出量增量的初始偏差。于是，to時的系統(tǒng)輸出量增量的變化過程，可以認為是控制系統(tǒng)在初始擾動影響下的動態(tài)過程。因而，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可敘述如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其動態(tài)過程隨時間的推移逐漸衰減并趨于零(原平衡工作點)，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的動態(tài)過程隨時間的推移而發(fā)散

22、，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 上述穩(wěn)定性定義表明，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于系統(tǒng)自身的固有特性，而與外界條件無關(guān)。因此，設(shè)線性系統(tǒng)在初始條件為零時，作用一個理想單位脈沖(t)，這時系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應c(t)。這相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原系統(tǒng)的輸出增量為脈沖響應c(t)。這相當于系統(tǒng)在擾動信號作用下，輸出信號偏離原平衡工作點的問題。若t時，脈沖響應 即輸出增量收斂于原平衡工作點，則線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)如式(361)所示，且設(shè)(i=1，2，n) 為特征方程D(s)=0的根，而且彼此不等。那么，由于(t)的拉氏變換為1，所以系統(tǒng)輸出增量的拉氏變換為

23、C(s)= =式中，q+2r=n。于是系統(tǒng)的脈沖響應為c(t)= + t (3-77)系統(tǒng)才稱為穩(wěn)定系統(tǒng)；否則，稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。由此可見，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部；或者說，閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均嚴格位于左半s平面。應該指出，由于我們所研究的系統(tǒng)實質(zhì)上都是線性化的系統(tǒng)，在建立系統(tǒng)線性化模型的過程中略去了許多次要因素，同時系統(tǒng)的參數(shù)又處于不斷地微小變化之中，所以臨界穩(wěn)定現(xiàn)象實際上是觀察不到的。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)而言，當輸入信號為有界函數(shù)時，由于響應過程中的動態(tài)分量隨時間推移最終衰減至零，故系統(tǒng)輸出必為有界函數(shù)；對于不穩(wěn)定的線性系統(tǒng)而言，在有界輸入信號作用下，

24、系統(tǒng)的輸出信號將隨時間的推移而發(fā)散，但也不意味會無限增大，實際控制系統(tǒng)的輸出量只能增大到一定的程度，此后或者受到機械止動裝置的限制，或者使系統(tǒng)遭到破壞，或者其運動形態(tài)進入非線性工作狀態(tài)，產(chǎn)生大幅度的等幅振蕩。3，勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根。對于高階系統(tǒng)，求根的工作量很大，因此希望使用一種間接判斷系統(tǒng)特征根是否全部嚴格位于s左半平面的代替方法。勞思和赫爾維茨分別于1877年和1895年獨立提出了判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)，稱為勞思赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)。這種判據(jù)以線性系統(tǒng)特征方程系數(shù)為依據(jù)，其數(shù)學證明從略(1)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)設(shè)線性系統(tǒng)的特

25、征方程為D（s）= ， (3-78)(2)勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思穩(wěn)定判據(jù)為表格形式，見表33，稱為勞思表。勞思表的前兩行由系統(tǒng)特征方程(378)的系數(shù)直接構(gòu)成。勞思表中的第1行，由特征方程的第1，3，5，項系數(shù)組成；第2行，由第2，4，6，項系數(shù)組成。勞思表中以后各行的數(shù)值，需按表33所示逐行計算，凡在運算過程中出現(xiàn)的空位，均置以零，這種過程一直進行到第n行為止，第n+1行僅第一列有值，且正好等于特征方程最后一項系數(shù)。表中系數(shù)排列呈上三角形。按照勞思穩(wěn)定判據(jù)，由特征方程(378)所表征的線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分且必要條件是：勞思表中第一列各值為正。如果勞思表第一列出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)就不穩(wěn)定，且第一列各

26、系數(shù)符號的改變次數(shù)，代表特征方程（3-78）的正實部根的數(shù)目。勞思穩(wěn)定判據(jù)與赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)在實質(zhì)上是相同的。顯然，勞思表中第一列各數(shù)與各順序赫爾維茨行列式之間，存在如下關(guān)系：，。因此，在d。>0的情況下，如果所有的順序赫爾維茨行列式為正，則勞思表中第一列的所有元素必大于零。值得指出，對于高階系統(tǒng)特征方程，可以采用遞推勞思表來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4，勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況當應用勞思穩(wěn)定判據(jù)分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，有時會遇到兩種特殊情況，使得勞思表中的計算無法進行到底，因此需要進行相應的數(shù)學處理，處理的原則是不影響勞思穩(wěn)定判據(jù)的判別結(jié)果。(1)勞思表中某行的第一列項為零，而其余各項不為零，或

27、不全為零此時，計算勞思表下一行的第一個元時，將出現(xiàn)無窮大，使勞思穩(wěn)定判據(jù)的運用失效。例如，特征方程為D(s)=(2)勞斯表中出現(xiàn)全零行這種情況表明特征方程中存在一些絕對值相同但符號相異的特征根。例如，兩個大小相等但符號相反的實根和(或)一對共軛純虛根，或者是對稱于實軸的兩對共軛復根。當勞思表中出現(xiàn)全零行時，可用全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個輔助方程F(s)=0，并將輔助方程對復變量s求導，用所得導數(shù)方程的系數(shù)取代全零行的元，便可按勞思穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)運算下去，直到得出完整的勞思計算表。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同但符號相反的根數(shù)。所有那些數(shù)值相同但符號相異的根，均可由輔助方程求得。

28、5勞思穩(wěn)定判據(jù)的應用在線性控制系統(tǒng)中，勞思判據(jù)主要用來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則這判據(jù)并不能直接指出使系統(tǒng)穩(wěn)定的方法；如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞思判據(jù)也不能保證系統(tǒng)具備滿意的動態(tài)性能。換句話說，勞思判據(jù)不能表明系統(tǒng)特征根在s平面上相對于虛軸的離。由高階系統(tǒng)單位階躍響應表達式(366)可見，若負實部特征方程式的根緊靠虛軸，由于或的值很小，系統(tǒng)動態(tài)過程將具有緩慢的非周期特性或強烈的振蕩特性。了使穩(wěn)定的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應，我們常常希望在s左半平面上系統(tǒng)特征根的位與虛軸之間有一定的距離。為此，可在左半s平面上作一條s=-a的垂線，而a是系統(tǒng)征根位置與虛軸之間的最小給定距離，通常稱為給定穩(wěn)定度，然

29、后用新變量代原系統(tǒng)特征方程，得到一個以為變量的新特征方程，對新特征方程應用勞思穩(wěn)定判據(jù)，36 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計算控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，是系統(tǒng)控制準確度(控制精度)的一種度量，通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。在控制系統(tǒng)設(shè)計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的技術(shù)指標。對于一個實際的控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用的類型(控制量或擾動量)、輸入函數(shù)的形式(階躍、斜坡或加速度：不同，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出不可能在任何情況下都與輸入量一致或相當，也不可能在任伺形式的擾動作用下都能準確地恢復到原平衡位置。此外，控制系統(tǒng)中不可避免地存在磨擦、間隙、不靈敏區(qū)、零位輸出等非線性因素，都會造成附加的穩(wěn)態(tài)誤差。可以說，控制系紹的穩(wěn)態(tài)誤差是不可

30、避免的，控制系統(tǒng)設(shè)計的任務(wù)之一，是盡量減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者使穩(wěn)態(tài)誤差小于某一容許值。顯然，只有當系統(tǒng)穩(wěn)定時，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，根本不存在研究穩(wěn)態(tài)誤差的可能性。有時，把在階躍函數(shù)作用下沒有原性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為無差系統(tǒng)；而把具有原理性穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為有差系統(tǒng)。本節(jié)主要討論線性控制系統(tǒng)由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、輸入作用形式和類型所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差即原理性穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法，其中包括系統(tǒng)類型與穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系，同時介紹定量描述系統(tǒng)誤差的兩類系數(shù)，即靜態(tài)誤差系數(shù)和動態(tài)誤差系數(shù)。至于非線性因素所引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，則稱為附加穩(wěn)態(tài)誤差，或結(jié)構(gòu)性穩(wěn)態(tài)誤差。1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

31、如圖328所示。當輸入信號R(s)與主反饋信號B(s)不等時，比較裝置的輸出為E(s)=R(s)-H(s)C(s) (380)此時，系統(tǒng)在E(s)信號作用下產(chǎn)生動作，使輸出量趨于希望值。通常，稱E(s)為誤差信號簡稱誤差(亦稱偏差)。誤差有兩種不同的定義方法：一種是式(380)所描述的在系統(tǒng)輸入端定義誤差的：法；另一種是從系統(tǒng)輸出端來定義，它定義為系統(tǒng)輸出量的希望值與實際值之差。前者義的誤差，在實際系統(tǒng)中是可以量測的，具有一定的物理意義；后者定義的誤差，在系統(tǒng)能指標的提法中經(jīng)常使用，但在實際系統(tǒng)中有時無法量測，因而一般只有數(shù)學意義。上述兩種定義誤差的方法，存在著內(nèi)在聯(lián)系。1 系統(tǒng)類型由穩(wěn)態(tài)誤差

32、計算通式(384)可見，控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值，與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的結(jié)構(gòu)和輸入信號R(s)的形式密切相關(guān)。對于一個給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當輸入信號形式一定時，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。因此，按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號的能力來進行系統(tǒng)分類是必要的。在一般情況下，分子階次為m，分母階次為n的開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為 G(s)H(s)=式中，K為開環(huán)增益；和為時間常數(shù)；為開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標原點上的極點的重數(shù)。現(xiàn)在的分類方法是以的數(shù)值來劃分的：，稱為0型系統(tǒng)；稱為型系統(tǒng)；稱為型系統(tǒng)。當時，除復合控制系統(tǒng)外，使系統(tǒng)穩(wěn)定是相當困難的。因此除航天控制系統(tǒng)外，型及型以上的系統(tǒng)

33、幾乎不采用。這種以開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標原點上的極點數(shù)來分類的方法，其優(yōu)點在于：可以根據(jù)已知的輸入信號形式，迅速判斷系統(tǒng)是否存在原理性穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。它與按系統(tǒng)的階次進行分類的方法不同，階次m與n的大小與系統(tǒng)的大小與系統(tǒng)的型別無關(guān)，且不影響穩(wěn)態(tài)誤差的數(shù)值。為了便于討論，令 必有時，。因此，式(385)可改寫為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計算通式則可表示為3，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)在圖328所示的控制系統(tǒng)中，若r(t)=R，其中R為輸入階躍函數(shù)的幅值，則R(s)=。由式(387)可以算得各型系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為對于0型單位反饋控制系統(tǒng)，在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差圖示，

34、可參見圖31。顯然，其穩(wěn)態(tài)誤差是希望輸出1與實際輸出K(1十K)之間的位置誤差。習慣上常采用靜態(tài)位置誤差系數(shù)K，表示各型系統(tǒng)在階躍輸入作用下的位置誤差。根據(jù)式(384)，當時，有 式中 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。由式（3-89）及（3-86）知，各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為 如果要求系統(tǒng)對于階躍輸入作用不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用I型及I型以上的系統(tǒng)。習慣上常把系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。因而，0型系統(tǒng)可稱為有(靜)差系統(tǒng)或零階無差度系統(tǒng)，I型系統(tǒng)可稱為一階無差度系統(tǒng)，型系統(tǒng)可稱為二階無差度系統(tǒng)，依此類推。4，斜坡輸人作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù)。將R(s)代入式(387)，得各型

35、系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 通常，式(390)表達的穩(wěn)態(tài)誤差稱為速度誤差。必須注意，速度誤差的含意并不是指系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在速度上的誤差，而是指系統(tǒng)在速度(斜坡)輸入作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在位置上的誤差。此外，式(390)還表明：0型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤斜坡輸入；對于I型單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)輸出速度恰好與輸入速度相同，但存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差，其數(shù)值與輸入速度信號的斜率R成正比，而與開環(huán)增益K成反比；對于型及型以上的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差。如果系統(tǒng)為非單位反饋系統(tǒng)，其H(s)為常數(shù)，那么系統(tǒng)輸出量的希望值為，系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差為 上式表示的關(guān)系，對于下面即將討論的系統(tǒng)在加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計算問題，同樣成立。5加速度輸人作用下的