02014微分幾何高綱1679-江蘇教育考試院

1、高綱1679江蘇省高等教育自學考試大綱02014微分幾何江蘇第二師范學院編 （2017年）江蘇省高等教育自學考試委員會辦公室課程性質與課程目標主要包括以下內容：一、課程性質和特點 本課程在考生具備常微分方程、 解析幾何、 高等代數(shù)和數(shù)學分析知識的基礎上， 學習和掌握三維歐氏空間中曲線和曲面的局部理論、 培養(yǎng)考生幾何直觀和圖形想象能力， 以及運用 數(shù)學分析、線性代數(shù)等工具來研究、解決幾何問題的能力。二、課程目標 課程設置的目標是鼓勵考生：1.熟悉三維歐氏空間中常見曲線和常見曲面的方程和形狀。2.掌握三維歐氏空間中曲線和曲面的各種曲率的計算。3.理解三維歐氏空間中曲線和曲面微分幾何的基本理論和基本

2、方法。4.了解曲面內蘊微分幾何的意義、基本概念和理論等。5.進一步提高邏輯推理和空間想象能力。三、與相關課程的聯(lián)系與區(qū)別 本課程適合在考生具備高等代數(shù)、數(shù)學分析、解析幾何、常微分方程等課程知識后學 習的一門課程。 旨在培養(yǎng)考生用微分的觀點來看待幾何學， 加深對幾何學的理解， 能用所學 的曲線和曲面的基本理論去解決實際問題。四、課程的重點和難點本課程的 重點 是曲線的曲率、撓率的計算公式，伏雷內公式，曲面的第一基本形式， 曲面的第二基本形式，曲面的主曲率、 高斯曲率； 次重點 是空間曲線的密切平面，空間曲線 論的基本定理， 曲面的切平面和法線， 曲面的漸近方向和共軛方向， 曲面的主方向和曲率線，

3、 可展曲面。本課程的 難點 是伏雷內公式，曲面的第二基本形式，高斯曲率，曲面的漸近方向和共 軛方向，曲線的主方向和曲率線。n考核目標本大綱在考核目標中， 按照識記、 領會和應用三個層次規(guī)定其應達到的能力層次要求。 三個能力層次是遞升的關系。各能力層次的含義是：識記（I）:要求考生能夠識別和記憶本課程中有關微分幾何概念及各種計算公式（如 定義、定理、公式、重要結論、方法等） ，并能夠根據(jù)考核的不同要求，做正確的表述、計 算和證明。領會（n）：要求考生能夠領會本課程中一些重要的概念及計算公式的推導，理解相關 知識的區(qū)別和聯(lián)系， 并能根據(jù)考核的不同要求對微分幾何問題進行邏輯推理和論證， 做出正 確的

4、計算、推導和證明。應用（川）：要求考生能夠根據(jù)書上的計算公式對各種常見曲線和曲面的相關量進行計 算（如曲線的曲率、撓率、曲面的切平面、法線、曲面的第一基本形式和第二基本形式、曲 面的主曲率、 高斯曲率等） ，根據(jù)已有的理論對一些常見曲線和曲面進行相關的理論推導等。皿 課程內容與考核要求第一章 曲線論一、學習目的與要求1了解曲線在一點鄰近的結構；2.熟悉向量的運算法則和性質，弧長公式和弧長參數(shù)，曲線論的基本定理；3.掌握曲線的概念和參數(shù)表示，曲線弧長的計算、曲線的切線、法面、密切平面、從 切平面、主法線、副法線方程的計算；4.熟練掌握曲線的曲率的計算、曲線的單位切向量、主法向量、副法向量、伏雷

5、內公式和撓率的計算。二、課程內容第一節(jié) 向量函數(shù)第二節(jié) 曲線的概念第三節(jié) 空間曲線三、考核知識點與考核要求1.向量函數(shù)的運算 識記：數(shù)乘向量的導數(shù)公式；向量相加的導數(shù)公式；向量積的導數(shù)公式； 數(shù)量積的導數(shù)公式；混合積的導數(shù)公式。領會：向量函數(shù)具有固定長度的條件；單位向量函數(shù)關于變量的旋轉速度。 應用：向量函數(shù)具有固定方向的條件；向量函數(shù)平行于固定平面的條件。2.曲線的切線、法面和自然參數(shù) 識記：簡單曲線段；曲線的參數(shù)表示；光滑曲線；正常點；正則曲線；切向量。 領會：曲線的自然參數(shù)；曲線的向量參數(shù)表示。應用：切線方程；法平面方程；曲線的弧長。3.空間曲線的曲率、撓率和伏雷內公式 識記：基本三棱形

6、；撓曲線；空間曲線的自然方程；一般螺線。領會：密切平面；單位切向量；主法向量；副法向量；伏雷內標架；從切平面；基本 向量；平面曲線；空間曲線論的基本定理。應用：副法線方程；主法線方程；曲率；撓率；伏雷內公式。四、本章重點、難點 重點：單位切向量；主法向量；副法向量；曲率；撓率；伏雷內公式。 難點：曲率；撓率；伏雷內公式；空間曲線論的基本定理。第二章 曲面論一、學習目的與要求1了解曲面在一點鄰近的結構，可展曲面的例子、曲面為可展曲面的條件、可展曲面 的分類；熟悉曲面的參數(shù)方程、曲紋坐標網(wǎng)、曲面上的曲線族和曲線網(wǎng)、曲面在一點的切方向；掌握曲面的切平面和法線、曲面上曲線的弧長、曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的條

7、件、曲紋坐 標網(wǎng)是共軛網(wǎng)的條件、曲率線、曲紋坐標網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的條件； 熟練掌握曲面的第一基本形式和第二基本形式， 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率。二、課程內容第一節(jié) 曲面的概念第二節(jié) 曲面的第一基本形式第三節(jié) 曲面的第二基本形式第四節(jié) 直紋面和可展曲面三、考核知識點與考核要求1.曲面的參數(shù)表示、曲面的切平面、法線 識記：曲面的參數(shù)表示；曲面的曲紋坐標；曲紋坐標網(wǎng)；光滑曲面；曲面的正常點； 正規(guī)坐標網(wǎng)。領會：曲面的坐標曲線；曲面在一點的切方向；法方向。 應用：切平面方程；法線方程。2.曲面的第一基本量、第一基本形式識記：等距變換；保角變換。 領會：曲面的第一基本量；曲面的坐標網(wǎng)是正交的條件；曲

8、面的內蘊性質；兩曲面可 建立等距對應的條件；內蘊量；兩曲面可建立保角對應的條件。應用：曲面的第一基本形式。3.曲面的第二基本量、第二基本形式 識記：法截面；法截線；橢圓點；雙曲點；拋物點；平點；漸近網(wǎng)；共軛網(wǎng)；臍點； 圓點；曲率線網(wǎng)；極小曲面。領會：曲面的第二基本量；法曲率；Dupin指標線；漸近方向；漸近曲線；共軛方向； 主方向；主方向的判別定理；曲率線；Euler公式。應用：曲面的第二基本形式；曲紋坐標網(wǎng)是漸近網(wǎng)的條件；曲紋坐標網(wǎng)是共軛網(wǎng)的條 件；曲紋坐標網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的條件；主曲率；高斯曲率；平均曲率。4.直紋面、可展曲面 識記：直紋面；曲面上的曲線是曲率線的條件；可展曲面與平面的關系。

9、領會：直紋面的參數(shù)表示；可展曲面；可展曲面的分類。應用：曲面為可展曲面的條件。四、本章重點、難點 重點：曲面的第一基本形式；曲面的第二基本形式；漸近方向；共軛方向；主方向；主曲率；高斯曲率；平均曲率。難點：法曲率；共軛方向；主曲率；高斯曲率；平均曲率。第三章 外微分形式和活動標架（不作要求）第四章 整體微分幾何初步（不作要求）IV關于大綱的說明與考核實施要求一、自學考試大綱的目的和作用（共性部分） 課程自學考試大綱是根據(jù)專業(yè)自學考試計劃的要求，結合自學考試的特點而確定。其目的是對個人自學、社會助學和課程考試命題進行指導和規(guī)定。課程自學考試大綱明確了課程學習的內容以及深廣度，規(guī)定了課程自學考試的

10、范圍和 標準。因此，它是編寫自學考試教材和輔導書的依據(jù)， 是社會助學組織進行自學輔導的依據(jù)， 是自學者學習教材、掌握課程內容知識范圍和程度的依據(jù)，也是進行自學考試命題的依據(jù)。二、課程自學考試大綱與教材的關系（共性部分） 課程自學考試大綱是進行學習和考核的依據(jù)，教材是學習掌握課程知識的基本內容與范圍，教材的內容是大綱所規(guī)定的課程知識和內容的擴展與發(fā)揮。 課程內容在教材中可以體 現(xiàn)一定的深度或難度，但在大綱中對考核的要求一定要適當。大綱與教材所體現(xiàn)的課程內容應基本一致；大綱里面的課程內容和考核知識點，教材 里一般也要有。反過來教材里有的內容，大綱里就不一定體現(xiàn)。 （注：如果教材是推薦選用 的，其中

11、有的內容與大綱要求不一致的地方，應以大綱規(guī)定為準。 ）三、關于自學教材微分幾何 （第四版），梅向明、黃敬之編，高等教育出版社，2008年版。四、關于自學要求和自學方法的指導 本大綱的課程基本要求是依據(jù)專業(yè)考試計劃和專業(yè)培養(yǎng)目標而確定的。課程基本要求 還明確了課程的基本內容， 以及對基本內容掌握的程度。 基本要求中的知識點構成了課程內 容的主體部分。 因此， 課程基本內容掌握程度、 課程考核知識點是高等教育自學考試考核的 主要內容。為有效地指導個人自學和社會助學，本大綱已指明了課程的重點和難點，在章節(jié)的基 本要求中一般也指明了章節(jié)內容的重點和難點。根據(jù)學習對象成人在職業(yè)余自學的情況，作者可結合自

12、己或他人的教學經(jīng)驗和體會， 提出幾點具有規(guī)律性或代表性的學習方法， 并結合本專業(yè)的要求、 本課程的特點可具體適當 展開寫出，以便更好地指導考生如何進行自學。五、應考指導1.如何學習很好的計劃和組織是你學習成功的法寶。如果你正在接受培訓學習，一定要跟緊課 程并完成作業(yè)。為了在考試中作出滿意的回答，你必須對所學課程內容有很好的理解。使用“行動計劃表” 來監(jiān)控你的學習進展。你閱讀課本時可以做讀書筆記。如有需要重點 注意的內容，可以用彩筆來標注。如：紅色代表重點；綠色代表需要深入研究的領域；黃色 代表可以運用在工作之中?？梢栽诳瞻滋幱涗浵嚓P網(wǎng)站，文章。2.如何考試卷面整潔非常重要。書寫工整，段落與間距

13、合理，卷面賞心悅目有助于教師評分，教 師只能為他能看懂的內容打分。 回答所提出的問題。 要回答所問的問題， 而不是回答你自己 樂意回答的問題！避免超過問題的范圍。3.如何處理緊張情緒 正確處理對失敗的懼怕，要正面思考。如果可能，請教已經(jīng)通過該科目考試的人，問 他們一些問題。做深呼吸放松，這有助于使頭腦清醒，緩解緊張情緒。考試前合理膳食，保 持旺盛精力，保持冷靜。4.如何克服心理障礙 這是一個普遍問題！如果你在考試中出現(xiàn)這種情況，試試下列方法：使用“線索”紙 條。進入考場之前，將記憶“線索”記在紙條上，但你不能將紙條帶進考場，因此當你閱讀 考卷時， 一旦有了思路就快速記下。 按自己的步調進行答卷

14、。 為每個考題或部分分配合理時 間，并按此時間安排進行。六、對社會助學的要求 要針對重點章、次重點章和一般章節(jié)分別提出自學或助學的基本學時建議和要求（如 在章節(jié)后面已有， 這里也可不再闡述） ，在助學活動中應注意的問題。 要強調注意正確引導、 把握好助學方向，正確處理學習知識和提高能力的關系。七、對考核內容的說明1.本課程要求考生學習和掌握的知識點內容都作為考核的內容。 課程中各章的內容均 由若干知識點組成， 在自學考試中成為考核知識點。 因此， 課程自學考試大綱中所規(guī)定的考 試內容是以分解為考核知識點的方式給出的。 由于各知識點在課程中的地位、 作用以及知識 自身的特點不同， 自學考試將對各

15、知識點分別按三個或四個認知 （或叫能力） 層次確定其考 核要求。2.課程分為兩部分， 分別為曲線論、 曲面論， 考試試卷中所占的比例大約分別為：40%、60%。八、關于考試命題的若干規(guī)定1、本大綱各章所規(guī)定的基本要求、 知識點及知識點下的知識細目， 都屬于考核的內容。考試命題既要覆蓋到章，又要避免面面俱到。 要注意突出課程的重點、 章節(jié)重點，加大重點內容的覆蓋度。2、 命題不應有超出大綱中考核知識點范圍的題目，考核目標不得高于大綱中所規(guī)定的 相應的最高能力層次要求。 命題應著重考核自學者對基本概念、 基本知識和基本理論是否了 解或掌握，對基本方法是否會用或熟練。不應出與基本要求不符的偏題或怪題

16、。3、 本課程在試卷中對不同能力層次要求的分數(shù)比例大致為：識記占30%領會占30%應用占40%4、要合理安排試題的難易程度，試題的難度可分為：易、較易、較難和難四個等級。每份試卷中不同難度試題的分數(shù)比例一般為：2:3:3:2。必須注意試題的難易程度與能力層次有一定的聯(lián)系，但二者不是等同的概念。在各個能力層次中對于不同的考生都存在著不同的難度。在大綱中要特別強調這個問題，應告誡考生切勿混淆。5、課程考試命題的主要題型一般有單項選擇題、填空題、計算題、證明題等題型。在命題工作中必須按照本課程大綱中所規(guī)定的題型命制，考試試卷使用的題型可以略 少，但不能超出本課程對題型規(guī)定。附錄題型舉例單項選擇題二、填空題。(填 一2)二、計算題如：計算圓柱面r=dosd：、sinu的第一、第二基本形式。如: 對于向量函數(shù)(t)，若-弋)，則()（填A）A.r(t)具有固定長度B.r (t)具有固定長度C.r (t)具有固定方向D.r (t)具有固定方向如：曲線r=r(t)在t=1處有=2，則曲線在t =1對應的點處的撓率答：乙二-sin 3cosv,0,r; =0,0,1,第一基本量為E= 盒昭,F嘉2=0,G暑；，, 第一基本形式為|= -2d2du2；芯二cos