第二章1信號與系統(tǒng),課后答案

1、第二章2.1 已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始狀態(tài)如下，試求其零輸入相應(yīng)（1）y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t), y(0-)=1, y(0-)=-1解：微分方程對應(yīng)的特征方程為 2+5+6=0其特征根為1=-2，2=-3,系統(tǒng)的零輸入 響應(yīng)可寫為yzi (t)=C1e-2t+C2e-3t又yzi (0-)=y(0-)=1, yzi(0-)=y(0-)=-1,則有 1=C1+C2 -1=-2 C1-3C2由以上兩式聯(lián)立，解得 C1 =2，C2=-1即系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yzi(t)=2e-2t -e-3t,t0(2)yt+2yt+5yt=ft, y(0-)=2,y0-=-2微分方程的特征方程

2、為 2 +2+5=0其特征根 12=-1j2, 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為 yzit=C1e-tcos2t+C2e-tsin2t又yzi0-= y(0-)=2, yzi(0-)= y(0-)=-2,則有yzi(0-)=C1=2yzi0-=C1+2C2=-2以上兩式聯(lián)立，解得C1=2，C2=0因此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yzit=2e-t cos2t，t0(3) yt+2yt+yt=ft ,y(0-)=1,y0-=1微分方程對應(yīng)的特征方程為2 +2+1=0其特征根為1,2=-1，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為yzit=(C1+C2t)e-t又yzi(0-)= y(0-)=1, yzi(0-)= y0-=1,則有y

3、zi(0-)= C1=1 ，yzi(0-)=- C1+C2=1以上兩式聯(lián)立，解得C1=1，C2=2因此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yzit=1+2te-t, t0(4) yt+yt=ft ,y(0-)=2,y0-=0微分方程對應(yīng)的特征方程為2 +1=0其特征根為1,2=j. 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為yzit=C1 cost+C2sint又yzi(0-)= y(0-)=2, yzi(0-)= y0-=0,則有yzi(0-)= C1=2 yzi(0-)=C2=0因此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yzit=2cost,t0(5)yt+4yt+5yt+2yt=ft,y0-=0,y0-=1,y0-=-1 微分方程對應(yīng)的特征方程

4、為3+42 +5+2=0其特征根為1,2=-1,3=-2, 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)可寫為yzit=(C1t+C2) e-t+C3e-2t又yzi(0-)= y(0-)=0, yzi(0-)= y0-=1,yzi(0-)=y(0-)=-1,則有yzi(0-)= C2+C3=0yzi(0-) =C1-C2-2C3=1yzi(0-)=-2C1+C2+4C3=-1 以上三式聯(lián)立，解得C1=2，C2=-1，C3=1因此系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yzit=2t-1e-t+e-2t,t02.2已知描述系統(tǒng)的微分方程和初始態(tài)度如下，試求其0+值y0+和y(0+) (1) yt+3yt+2yt=ft ,y(0-)=1,y0-

5、=1,ft=(t)輸入ft=t，則方程右端不含沖激函數(shù)項，則f(t)及其導(dǎo)數(shù)在t=0處均不發(fā)生躍變，即y0+=y0-=1, y0+=y0-=1(2) yt+6yt+8yt=ft ,y(0-)=1,y0-=1,ft=(t) 將ft=(t)代入微分方程，有yt+6yt+8yt=(t) 由于方程右端含有(t)項，則yt中含有(t)，設(shè)yt=at+b(t)+ ct+r1t 其中r1t不含t及其導(dǎo)數(shù)項。對式兩邊從-到t積分，得yt=a(t)+b t+r2t 其中r2t=c t+r1(-1)(t)，而r1(-1)(t)=-tr1()d,故r2t 不含t及其導(dǎo)數(shù)項。同理，對式兩邊從-到t積分，得yt=a t

6、+r3t 其中r3t=b t+r2-1t,不含t及其導(dǎo)數(shù)項。將式代入 式，整理得at+(6a+b) (t)+(8a+6b+c) t+r1t+6r2t+8r3t=t比較上式兩端t及其 各階導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)，有a=16a+b=08a+6b+c=0以上三式聯(lián)立，解得a=1,b=-6,c=28對兩式兩端從0-到0+積分，得y0+-y0-=c=28 y(0+)-y(0-)=b=-6則有y0+=y0-+28=29y(0+)= y(0-)-6=-5（3）yt+4yt+3yt=ft+f(t) ,y(0-)=2,y0-=-2ft=t 將ft=t 代入微分方程，有yt+4yt+3yt=t+t 由于方程右端含有t項，則

7、yt中含有t，設(shè)yt=at+b(t)+c t+r1t 其中r1t不含t及其導(dǎo)數(shù)項。對式兩端從-到t積分，得yt=a(t)+b t+r2t 其中r2t=ct+r1(-1)(t),不含t及其導(dǎo)數(shù)項。對式兩端從-到t積分，得yt=a t+r3t 其中r3t=b t+r2-1t，不含t及其導(dǎo)數(shù)項。將 式代入中，整理得at+4a+b(t)+(3a+4b+c) t+r1t+4r2t+3r3t=t+ t比較上式兩端t及其導(dǎo)數(shù)前的系數(shù)，有a=14a+b=03a+4b+c=1以上三式聯(lián)立，解得a=1,b=-4,c=14對兩斷從0-到0+積分，得y0+-y0-=c=14y(0+)-=b=-4則有y0+=y0-+1

8、4= y(0-)12 y(0+)= y(0-)-4=-2(4)yt+4yt+5yt=ft,y0-=1，y(0-)=2,f(t)=e-2t(t）由f(t) =e-2t(t）求得ft=-2e-2tt+e-2t t=-2e-2t+t將上式代入微分方程，得yt+4yt+5yt=-2e-2t+t 由于方程右端含t項，則yt中含t，設(shè)yt=a t+r1t 其中r1t不含t及其導(dǎo)數(shù)項。對式兩端從-到t積分，得y(t)=r3t= r1(-1)(t) 其中r2t=a (t）+r1(-1)(t)，不含t及其導(dǎo)數(shù)項將 與上式代入式，整理得a t+r1t+4r2t+5r3(t)=-2e-2t+t比較上式兩端t前系數(shù)，

9、知a=1對 式兩端從0-到0+積分，得y0+-y0-=a=1y(0+)-y(0-)=0 因此，y0+=y0-+1=3，y(0+)= y(0-)=12.3+如圖所示RC電路中，已知R=1，uc(t)CRus(t)C=0.5F，電容的初始狀態(tài)uc0+=-1V，試求激勵電壓源us(t)為下列函數(shù)時電容電壓的全響應(yīng)uc(t)(1) us(t)=(t) (2) ust=e-t (t)(3) us(t)= e-2t (t) (4) ust=t (t)解：根據(jù)電路列出微分方程，有uct+RCductdt=ust代入元件參數(shù)值，整理得uct+2uct=2ust(1) 當ust= t 時，系統(tǒng)的微分方程為uct

10、+2uct=2(t)由于方程右端不含沖激項，故uc0+=uc0-=-1微分方程的齊次解為ucpt=C1e-2t易求其特解為ucpt=1,t0故微分方程的完全解為 uct=ucht+ucpt=C1e-2t+1，t0代入初始值 uc0+=C1+1=-1故C1=-2因此，電路在ust= t的激勵作用下的全響應(yīng)為uct=-2e-2t+1，t0(2) 當ust=e-t t時，系統(tǒng)的微分方程為uct+2uct=2e-t(t)由于方程右端不含沖激項，故uc0+=uc0-=-1微分方程的齊次解為ucht=C1e-2t易求其特解為ucpt=2e-t，t0故微分方程的完全解為uct=ucht+ucpt=C1e-2

11、t+2e-t，t0代入初始值uc0+=-1，有C1+2=-1，即C1=-3因此電路在ust=e-t t時全響應(yīng)為uct=-3e-2t+2e-t，t0(3) 當ust=e-t t時，系統(tǒng)的微分方程為uct+2uct=2e-2t(t)由于方程右端不含沖激項，故uc0+=uc0-=-1微分方程的齊次解為ucht=C1e-2t易求其特解為ucpt=2te-2t，t0故微分方程的完全解為uct=ucht+ucpt=C1e-2t+ 2te-2t, t0代入初始值uc0+=-1，有uc0+=C1=-1因此電路在ust=e-2t t時全響應(yīng)為uct=-e-2t+2te-2t，t0（4） 當ust=t t時，系統(tǒng)的微分方程為uct+2uct=2t(t)由于方程右端不含沖激項，故uc0+=uc0-=-1微分方程的齊次解為ucht=C1e-2t易求其特解為ucpt=t-0.5，t0故微分方程的完全解為uct=ucht+ucpt=C1e-2t+t-0.5 , t0代入初始值uc0+=-1，有uc0+=C1-0.5=-1,即C1=-0.5因此電路在ust=t t時全響應(yīng)為uct=-