三角恒等變換知識(shí)總結(jié)

1、三角恒等變換知識(shí)點(diǎn)總結(jié)2014/10/24、基本內(nèi)容串講1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下:sin()sin cos cos sin ; cos()cos cos msin sintan(tan tan1 mta n tana tan B )，有時(shí)應(yīng)用該公式比較方便。對其變形：tan a+ tan B =tan( a +B )(1- tan2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：si n2ta n2要熟悉余弦2 2 2 2sin cos . cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin2ta n1 tan2“倍角”與“二次”的關(guān)系(升角一降次，降角一升次).特別注意公式的三角表達(dá)

2、形式，且要善于變形，cos21 cos2 , Sin21 cos2這兩個(gè)形式常用。2 23. 輔助角公式：sinx cosx 、2sin x ；、3sin x cosx 2sin x 4 6a si nx bcosxb2 sin x .4. 簡單的三角恒等變換(1) 變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質(zhì)。(2) 變換目標(biāo)：利用公式簡化三角函數(shù)式，達(dá)到化簡、計(jì)算或證明的目的。(3) 變換依據(jù)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4) 變換思路：明確變換目標(biāo)，選擇變換公式，設(shè)計(jì)變換途徑。5. 常用知識(shí)點(diǎn)：(1)基本恒等式：2 sin2sincos1,t

3、an (注意變形使用，尤其 1的靈活應(yīng)cos用，求函數(shù)值時(shí)注意角的范圍)(2)三角形中的角：A BC ，sinAsin(B C),cosAcos(B C)；r rrr/r r、(3)向量的數(shù)量積:agoab cos(a,b)，r rrrrraX1X2y2， abX1X2y20 a/bx2 X2W 0;、考點(diǎn)闡述考點(diǎn)1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sin20ocos40o cos20osin40o 的值等于(42、若 tan 3, tan ，則 tan( )等于()333、若一,則(1 tan )(1 tan )的值是.44、(1 tan1 )(1 tan2 )(1 tan3 )L (1

4、tan44 )(1 tan45 )考點(diǎn)2二倍角的正弦、余弦、正切公式5、cos cos 的值等于（ ）（提示：構(gòu)造分子分母）5 56 cos20ocos40cos60ocos80o（）3 37、已知 一 A 2 ，且cosA -，那么sin2A等于（）2 5考點(diǎn)3運(yùn)用相關(guān)公式進(jìn)行簡單的三角恒等變換2 18、 已知 tan（ ） - ,tan（）-,則 tan（ ）的值等于（）5444119、 已知 sin sin , cos cos,貝U cos（）值等于（）2310、函數(shù) f（x）cos2（x） sin2（x）1 是（）12 12（A）周期為2的奇函數(shù)（B）周期為2的偶函數(shù)（C）周期為 的奇

5、函數(shù)（D）周期為 的偶函數(shù)4、常見題型及解題技巧（另外總結(jié)）（一）關(guān)于輔助角公式：a sinx bcosxa2 b2 sin x .其中cos , a ,sin , b（可以通過b2來判斷最大最小值）Ja2 b2Ja2 b2如：1.若方程sin x 73cosx c有實(shí)數(shù)解，則c的取值范圍是2. y 2cosx 3si nx 2的最大值與最小值之和為 .卄27 右 tan（） 一，則 tan .4 5（二）三角函數(shù)式的化簡與求值心cos15 sin15n . *一匚丄小。、例 1 1.00 ;2.SIn50 （1 3tan10）；cos150 sin 1503. 求 tan 70o tan 5

6、0o “3ta n70ota n50o 值; ABC 不是直角三角形，求證：tanA tanB tanC tanA?tanB?tanC（三）三角函數(shù)給值求值問題1.已知 cos(a n + Sin a= ；.3，貝y sin( a+ 7n 的值是5 42. 已知cos( ) ,cos ,均為銳角，求sin 的值。13 5c33.350,cos,sin -3. 4445413，求 sin的值.（四）三角函數(shù)給值求角問題1.若sinA= V ,sinB= -10 ,且A,B均為鈍角，求A+B的值.5102.已知，(-)，且 tan ,tan是方程x23. 3x 40的兩個(gè)根，求.3.已知 ，均為銳

7、角，且tan1，tan21，tan51，貝U +的值（8A. n B.n c.nD. 264344.已知tan11,tan,并且 ，均為銳角，求2的值.73（五）綜合問題（求周期，最值，對稱軸，增減區(qū)間等）1.（2010 北京）已知函數(shù) f（x） 2cos 2x sin2x.（1）求f （）的值；（2）求f （x）的最大值和最小值. 32.已知函數(shù) f （x） 2sin（x）cos x .（1）求f （x）的最小正周期；（2）求f （x）在區(qū)間,上的最大值和最小值；（3）求函數(shù)在（，） 6 2的單調(diào)區(qū)間。三、解題方法分析1.熟悉三角函數(shù)公式，從公式的內(nèi)在聯(lián)系上尋找切入點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)中出

8、現(xiàn)的公式較多，要從角名稱、結(jié)構(gòu)上弄清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，做到真正 的理解、記熟、用活。解決問題時(shí)究竟使用哪個(gè)公式，要抓住問題的實(shí)質(zhì)，善于聯(lián)想，靈活運(yùn)用。1 小。3 . n ,2tan13sin 50例 1 設(shè) a cos6si n6,b2 o，co,則有（）2 21 ta n213 2cos 25【點(diǎn)評】：sin cos本題屬于“理解”層次，要能善于正用、逆用、變用公式= sin2 ， cos = sin2 ， cos2sin2cos222si n例如:，迦tan2，1-ta n22 2 212 sin cos (sin cos ),1 cos2 2 cos ,1 cos2 2 sin21 c

9、os2cos2.2 sin1 cos2,tan a + tan B =tan( a + B )(1- tana ta n B )等。另外，三角函數(shù)式asinx+bcosx是基本三角函數(shù)式之一，引進(jìn)輔助角，將它化為 j b.a2 b2 sin(x)即 asinx+bcosx= . a2 b2 sin(x)(其中 tan )是常用轉(zhuǎn)化手段。a特別是與特殊角有關(guān)的sin cosx， sinx 、3cosx，要熟練掌握其變形結(jié)論。2.明確三角恒等變換的目的，從數(shù)學(xué)思想方法上尋找突破口(1)運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】教材中兩角和與差的正、余弦公式以及二倍角公式的推導(dǎo)都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化

10、歸的思想,應(yīng)用該思想能有效解決三角函數(shù)式化簡、求值、證明中角、名稱、形式的變換問題。例 2.已知 n V B V a V , cos24a B ) =12 , si n (a + B )=-，求 si n2 a 的值.(一1355665(本題屬于“理解”層次，解答的關(guān)鍵在于分析角的特點(diǎn),2 a = ( a B ) + ( a + B)例2解答:例 3.化簡：2si n50 +sin10 ( 1 +、,3ta n10 ) 、: sin2 80【解析】：原式=【點(diǎn)評】：本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用“化切為弦”的方法，再利用兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系式整理化簡化簡時(shí)要求使三角函數(shù)式成為

11、最簡：項(xiàng)數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù) 盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號(hào)內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的盡量求出值來。(2)運(yùn)用函數(shù)方程思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)也是函數(shù)中的一種，其變換的實(shí)質(zhì)仍是函數(shù)的變換。因此，有時(shí)在三角恒等變換中，可以把某個(gè)三角函數(shù)式看作未知數(shù)，禾U用條件或公式列出關(guān)于未知數(shù)的方程求解。例 4： 已知 sin ( a + B) = , sin (aB) =3，求 tan( 2) tan的值.3 4tan tan( )【解析】tan( ) tan tan _tan() tan( )(1 tan tan ) _tan2=21tan tan( )tan tan( )t

12、an【點(diǎn)評】：本題屬于“理解”層次，考查學(xué)生對所學(xué)過的內(nèi)容能進(jìn)行理性分析，善于利用題中的條件運(yùn)用方程思想達(dá)到求值的目的。(3)運(yùn)用換元思想，實(shí)現(xiàn)三角恒等變換【方法點(diǎn)撥】換元的目的就是為了化繁為簡，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，可以利用特定的關(guān)系，把某個(gè)式子用新元表示，實(shí)行變量替換，從而順利求解，解題時(shí)要特別注意新元的范圍。例 5:若 sin sin【解析】：令cos-,求cos cos的取值范圍。COs )22cos t，則(sin sin )2 (cos【點(diǎn)評】：本題屬于“理解”層次，解題的關(guān)鍵是將要求的式子cos cos 看作一個(gè)整體，通過代數(shù)、三角變換等手段求出取值范圍。3關(guān)注三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜

13、合，從知識(shí)聯(lián)系上尋找結(jié)合點(diǎn)【方法點(diǎn)撥】三角函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的聯(lián)系比較廣泛，主要體現(xiàn)在與函數(shù)、平面向量、解析幾何等知識(shí)的 聯(lián)系與綜合，特別是與平面向量的綜合，要適當(dāng)注意知識(shí)間的聯(lián)系與整合。r 廠rr r例 6:已知：向量 a ( - 3, 1) ，b (sin 2x, cos2x)，函數(shù) f (x) a b(1) 若f(x) 0且0 x ，求x的值；X 或12 12(2) 求函數(shù)f (x)取得最大值時(shí)，向量a與b的夾角.【解析】：f (x) a b = 3sin 2x cos2x(2)2si n(2x -) f (x)max 2，當(dāng) f (x) 2 時(shí)，由 a b |a | |b | cos a,b

14、 2r r a brr得 cos a,b-r 1, Q 0 a,b a,b 0|a| |b|【點(diǎn)評】：本題屬于“理解”中綜合應(yīng)用層次，主要考查應(yīng)用平面向量、三角函數(shù)知識(shí) 的分析和計(jì)算能力四、課堂練習(xí)sin 165o =(B .仝 C.22.sin 14ocos16o+s in 76ocos74o的值是()A.-D.23.已知 c4x (,0)， cosx25則 tan2xB.247242474.化簡2sin(n x) sin(n+x)，其結(jié)果是5.A.sin2xB. cos2xC. cos2xD.sin2xsin 3 cos 的值是(12 12A. 0 B、2 C2 sin1226. 1 tan 75的值為2.3tan75A.2、3 B.7 .若 cos-23.，sin52彳，則角的終邊一定落在直線)上。A. 7x 24y OB. 7x 24y0C. 24x 7y 0D.24x 7y 08. coscossinsin9.1 tan151 tan1510. tan20otan40 . 3 tan 20 tan40 的值是.11.求證:cos2cot tan 2 2si n2412已知tan 213 求tan的值.13.已知 0 x,sin(x) ,求一cos2x 的值4 413(、cos( x)47 亠 5s