如何教學(xué)抽屜問題

1、如何教學(xué)抽屜問題 抽屜原理是人教版六年級下冊數(shù)學(xué)廣角中的內(nèi)容，它原來是小學(xué)奧數(shù)及至高中數(shù)學(xué)競賽范疇，如今走上了全體學(xué)生學(xué)習(xí)的大眾課堂，這對我們教師來說是一個(gè)挑戰(zhàn)，我們決不可因?yàn)樽约旱牟皇煜ざ鴮W(xué)生敷衍了事個(gè)人認(rèn)為，教材中抽屜問題的教學(xué)需要老師自己完全吃透 這類問題，吃透教材例題。首先，教師自己要吃透抽屜原理。 抽屜原理又稱鴿巢原理， 它是組合數(shù)學(xué)的一個(gè)基本原 理，它最先由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷明確提出來的，因此，也叫狄利克雷原理。它實(shí)際是由淺入深的三條原理。原理1：m個(gè)物體，按任意方式放入n個(gè)抽屜中，（mn m n是非0的自然數(shù)），則至少 有一個(gè)抽屜中含有至少兩個(gè)物體。原理2:m個(gè)物體，按任意方式

2、放入n個(gè)抽屜中，且n=k,p（mn、k、p都是非0自然數(shù)）則至少有一個(gè)抽屜中含有至少k+1個(gè)物件。原理3:無窮多個(gè)物體放入n個(gè)抽屜，則至少有一個(gè)抽屜里有無窮多個(gè)元素?，F(xiàn)行教材中只編排了抽屜原理1、2的教學(xué)。作為教師，先學(xué)為師，自己必須有滿桶水，首先不可不知抽屜原理1與抽屜原理2的關(guān)系：兩種類型的抽屜原理是一致的，第一種類型不過是第二種類型的特例（當(dāng)K=1時(shí)）,第二種類型則是抽屜原理的一般形式。當(dāng)然若知道有抽屜原理3貝U更有助于自己的透徹理解。然后，我們必須理解抽屜原理中的關(guān)鍵詞。抽屜原理只能用來解決存在性問題?！爸辽儆幸粋€(gè)抽屜”的意思是“存在有一個(gè)抽屜”，并要知道滿足要求的抽屜其實(shí)可能有多個(gè)。

3、“至少有2個(gè)物體”的意思是“含有2個(gè)或2個(gè)以上的物體”。“任意放”的意思是不限制把物體放進(jìn)抽屜的方法，也不限制每個(gè)抽屜放物體的個(gè)數(shù)，即允許放物體時(shí)有的抽屜可以是空的。理解了抽屜原理的關(guān)鍵詞后，就必經(jīng)了解抽屜原理的解決辦法及各辦法的優(yōu)劣。方法一：枚舉法。優(yōu)點(diǎn)是利于接受，缺點(diǎn)是受數(shù)量多少的局限，具體說就是當(dāng)物體個(gè)數(shù)多時(shí)，你把問題答案一一列舉，會(huì)感覺到效率低下，浪費(fèi)了寶貴的時(shí)間。方法二：假設(shè)法。它能夠解決一般的問題，缺點(diǎn)是學(xué)生難于用簡練、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言來 表達(dá)。方法三：反證法。方法本身的合理性難于讓小學(xué)生接受。方法四：發(fā)現(xiàn)規(guī)律，滲透平均分的思想，得出列式的方法：至少數(shù)=商加上1（有非0余數(shù)時(shí)）。當(dāng)教

4、師自己理解了抽屜原理，明白了抽屜原理的一般解法后，就可以基本上走向課堂教學(xué)了。為什么說“基本上”呢？因?yàn)檫€必經(jīng)吃透教材的例題及習(xí)題。教材受內(nèi)容的限制，所選例題及習(xí)題并不能讓所有方法都容納其中。且只有例2是以列式的形式解答了。 而且學(xué)生對假設(shè)法及反證法這種需要以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)思維的過 程及結(jié)果的方法停留在接受的基礎(chǔ)上，難于自己獨(dú)立解答。其實(shí)這三個(gè)例題都是可借助算式思考的。（例1：把4枝鉛筆放入3個(gè)文具盒中，不管怎么放，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。可這樣例式：4十3=1,11+仁2。例3:盒子 里有同樣大小的紅球與藍(lán)球各4個(gè)。要想摸出的求一定有2個(gè)同色的，最少要摸出幾個(gè)球？本 題是求

5、物體個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理2進(jìn)行逆推，可這樣列式：2-1=1（至少數(shù)-1=商），1X2+仁3,（商X抽屜數(shù)+1=物體個(gè)數(shù)）。在列算式的基礎(chǔ)上，再用假設(shè)法表達(dá)思維過程及結(jié)果，學(xué)生會(huì)覺得抽屜問題也不是太深?yuàn)W的。教材例題還有一個(gè)問題要注意，那就是例1、2中余數(shù)剛好都是1,教學(xué)時(shí)要強(qiáng)調(diào)“至少數(shù)=商加1”不能理解成商加余數(shù)，并要結(jié)合余數(shù)不是1的情況，在對比、辨析中幫助學(xué)生更好的理解“商加1”中“1”的含義。再就是教材中竟沒有涉及到余數(shù)為0的情況，注意，這時(shí)至少數(shù)等于商。其實(shí)還可完善抽屜原理的另一種情況：物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)少的時(shí)候，總有一個(gè)抽屜至少有1個(gè)物體。作為教者，要明白的是，解決抽屜問題時(shí)，只要求指明存

6、在。個(gè)人認(rèn)為，簡單數(shù)字可先 用枚舉法得出結(jié)果， 再組織學(xué)生探討歸納出列式解決問題的方法，再學(xué)習(xí)用假設(shè)法、 反證法來思考解決問題，以發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，這樣的順序可讓學(xué)生逐步理解解決抽屜原理 的辦法。在教會(huì)學(xué)生理解抽屜原理后，運(yùn)用抽屜原理解決問題時(shí)，還會(huì)遇到困難，那就是不知道誰是抽屜，抽屜個(gè)數(shù)也不知道。這要靠多練習(xí)，一般來說，“制造抽屜”的基本思路是分類， 而確定抽屜的個(gè)數(shù)則需要運(yùn)用計(jì)數(shù)的基本方法與原理。舉例說明一下：例1:任意給出4個(gè)不同的自然數(shù)（不能為0）其中必有兩個(gè)數(shù)的差是3的倍數(shù)，請說說理 由。（湖南少年兒童出版社出版的義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)訓(xùn)練之?dāng)?shù)學(xué)練習(xí)冊第12冊第32頁第9題）分析

7、講解：應(yīng)用抽屜原理解題，先要找到抽屜數(shù)。因?yàn)槿我庖粋€(gè)非0自然數(shù)除以3的余數(shù) 有三種情況：余數(shù)是0（即整除）、1、2，把這3中情況看作3個(gè)抽屜，任意4個(gè)不同的自然數(shù) 放入這3個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理1,必有一個(gè)抽屜中至少有兩個(gè)數(shù)。這時(shí)，放在同一個(gè)抽屜中的兩個(gè)數(shù)，它們除以3的余數(shù)相同的，所以它們的差可知一定是3的倍數(shù)。例2:某班共有50名學(xué)生，他們都訂閱了A小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)、B小學(xué)生導(dǎo)刊、C小 學(xué)生語文報(bào)這三種報(bào)刊中的一種、兩種或三種。則其中至少有（）位同學(xué)訂閱的報(bào)刊相同。分析講解：學(xué)生訂報(bào)刊共分三類。第一類只訂一種報(bào)刊的分三種情況：訂A、訂B訂C;第二類訂兩種報(bào)刊的也分三種情況：訂AB訂AC,訂BC;第

8、三類訂三種報(bào)刊的分一種情況：訂ABC一共3+3+仁7種情況，把這7種情況看作7個(gè)抽屜。利用抽屜原理2,因?yàn)?0+7=7,1,7+1=8。所以其中至少有8位同學(xué)訂閱的報(bào)刊相同，答案是8。例3:（1947年，匈牙利數(shù)學(xué)家首先把抽屜原理引進(jìn)數(shù)學(xué)競賽中，題如下。）證明：任何六個(gè)人中，一定可以找到三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人，或者三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人。這個(gè)問題乍看起來， 似乎令人匪夷所思。 而運(yùn)用抽屜原理解答則不難：我們用A、B CD E、F代表留個(gè)人，從中隨便找一個(gè)，例如A吧，把其余五個(gè)人放到“與A認(rèn)識(shí)”和“與A不認(rèn)識(shí)”兩個(gè)“抽屜”里去，利用抽屜原理，因?yàn)?+2=2,1,2+仁3,所以一定存在有一個(gè)抽屜中有三個(gè)人。不妨假定在“與A認(rèn)識(shí)”的抽屜里有三個(gè)人，他們分別是B、C、Do如果B、C、D互不認(rèn)識(shí)，那么我們找到了三個(gè)互不認(rèn)識(shí)的人；如果B C、D中有兩個(gè)互相認(rèn)識(shí)，例如B與C認(rèn)識(shí)，那么A、B C成為三個(gè)互相認(rèn)識(shí)的人，不管哪種情況，本題結(jié)論都成生活中也有運(yùn)用抽屜原理分析問題的例子。古人宋代費(fèi)袞把一個(gè)人的出生的年、月、日、時(shí)（八字）作為算命的根據(jù)，把“八字”作為“抽屜”，那么“抽屜”數(shù)是：12X360X60=259200（個(gè)）。天下這么多人，必然有千千萬萬的人進(jìn)同一個(gè)抽屜，這些人“