平面向量四心問題(最全)

1、近年來，對于三角形的"四心”問題的考察時有發(fā)生，尤其是和平面向量相結(jié)合來考A .外心B. 內(nèi)心C. 重心D .垂心解析：由即-''' ；1 .- 1 f'則“丨4；1 廠所以P為一二的垂心.故選D.點評：本題考查平面向量有關(guān)運算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識巧妙結(jié)合三、 內(nèi)心問題三角形“內(nèi)心”是三角形三條內(nèi)角平分線的交點，所以“內(nèi)心”就在內(nèi)角平分線線上例3已知P是厶ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點 P滿足則動點P 一定過 ABCFA、重

2、心B、垂心C、外心D、內(nèi)心解析：如圖2所示，因為I是向量匸丄的單位向量設(shè)上-與二一方向上的單位向量Ii I+|分別為刊，又 丿-上 丄，則原式可化為 4,由菱形的基本性質(zhì)知AP平分一二七L'，那么在 一匚 中，AP平分dW，則知選 B.AB點評：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、陌生”，首先 MT是什么？想想一個非零向 量除以它的模不就是單位向量？此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，這道題就迎刃而解了 四、外心問題三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點，所以“外心”就在垂直平分線

3、 線上例4已知0是厶ABC內(nèi)的一點，若 "=0占，貝U O是厶ABC的.A .重心B.垂心C.外心D.內(nèi)心解析：可旨刃厲方呂秀|冼旨元刃冃方冃元由向量模的定義知0到的三頂點距離相等.故。是的外心，選C.點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合三角形的“四心”與平面向量向量本身是一個幾何概念， 具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法，易于數(shù)形結(jié)合，而且向量問題在進行數(shù)形結(jié)合時具有新形式、新特點，因此可稱為高中數(shù)學(xué)的一個交匯點。三角形的“四心”(外心、內(nèi)心、重心、垂心)是與三角形有關(guān)的一些特殊點，各自有一些特 殊的性質(zhì)。在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的

4、“四心”進行考查。這就需要我 們在熟悉向量的代數(shù)運算的基礎(chǔ)上讀懂向量的幾何意義。與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見的重要的向量關(guān)系式有： 設(shè)0, 設(shè)0,，則向量，則向量“ AB AC、()必平分/ BAC,該向量必通過 ABC的內(nèi)心;AB ACAB AC()必平分/ BAC的鄰補角AB AC設(shè) 0,的垂心,則向量ABAB cosBACAC cosC）必垂直于邊BC,該向量必通過 ABC ABC中ABAC 一定過bC的中點，通過 ABC的重心 點0是厶ABC的外心2 2 2OA OB 0C 點0是厶ABC的重心+bOA OB OC 0點O是厶ABC的垂心OA Ob Ob Oc Oc OA點O是厶A

5、BC的內(nèi)心a OA b OB c OC 0 (其中 a b、cabc 三邊) ABC的外心O、重心G、垂心H共線，即OG / OH 設(shè)OABC所在平面內(nèi)任意一點,G ABC的重心，I ABC的內(nèi)心,則有 OG 1(OA OB OC)3OIaOA bOB cOCabc并且重心G (Xa+X b+XcYa+Y b+Y c內(nèi)心IaXA+ bX b+ cXa+b+cayA+ byB+ cyca+b+c例1: (2003年全國高考題)O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三點，動點P滿足OP OAAB(AB AC )AB AC，0,，則動點P的軌跡一定通過厶ABC的()(A)外心(B)內(nèi)心(C)重

6、心(D)垂心事實上如圖設(shè)AEAB ALAB,AC都是單位向量ACETC易知四邊形AETF是菱形故選答案B例2 : ( 2005年北京市東城區(qū)高三模擬題)O ABC所在平面內(nèi)一點，如果OA OB OB OC OC OA，則 O 必為 ABC 的( )(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心 (D)垂心事實上 OA OB OB OC (OA OC) OB 0 CA OB 0 OB 丄 CA故選答案D例3:已知0為三角形ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足0A2 2BC0b2 2 2 2CA OC AB ，則點0是三角形ABC 的（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心事實上由條件可推出 OA OB OB OC OC

7、 0A故選答案D例4：設(shè)O是平面上定點，A、B、C是平面上不共線的三點,動點P滿足OP OAABAC0,，則動點P的軌跡一定通AB cosBAC cosC過厶ABC的（）（A）外心(B)內(nèi)心（C）重心（D）垂心事實上 （ABAC)?BC ( BC BC) 0故選答案DAB cos BAC cosCOpf.OP.Op!滿 足條件op1例 5、 已知向量|0P| |0| |03| 1，求證： PP2P3是正三角形. oPi i0p2i i0p3i 1，容易想到，Op1 Or； Op! 0 表明，點0是厶RP2P3的重心.分析對于本題中的條件I外心，而另一個條件OF2點0是厶PP2P3的故本題可描述

8、為，若存在一個點既是三角形的重心也是外心，則該三角形一 定是正三角形在1951年高考中有一道考題，原題是：若一三角形的重心與外 接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實質(zhì)是相同的.顯然，本題中的條件|OF?| iOp；i iOp!i 1可改為iOP1i iOF；i iOP!高考原題例6、0是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點 P滿Op 0A足0,）.則P的軌跡一定通過厶ABC的（）.A.外心B.內(nèi)心C.重心分析已知等式即aPAB(|aB| |，設(shè)D .垂心,顯然aE,aF都是單位向量,以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形，則結(jié)果為菱形，故AP為ABC的平分線，選B .例7、 A

9、BC的外接圓的圓心為0，兩條邊上的高的交點為H，oH m(oA oB OC)，則實數(shù) m =分析：本題除了利用特殊三角形求解外，純粹利用向量知識推導(dǎo)則比較復(fù)雜,更加重要的一點是缺乏幾何直觀.解法如下，由已知，有向量等式0 ,(0H 0A)|(0C 0B) o,將已知, 有 m(0A 0B 0C) 0A|(0C 0B)0 ,由0是外心，得(m 1)01 BC 0 ,由于 ABC將其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有代 入OB2) (m 1)0m是任意三角形，則OABC不恒為0,故只有m 1恒成立.或者，過點0作OM BC與M，則M是BC的中點，有oM7H是垂心，則AH BC，故aH與0M共線，

10、設(shè)AH12koM，則0H 0A AH 0A -(0B 0C) ,又 0H m(0A 0B 0C)2(m.2，根據(jù)已知式子0H m(0A 0B 0C)中的0A 0B 0C(m 1)0A (mk0，有 m 1 m 0，得 m角形的重心坐標(biāo)公式，設(shè)三角形的重心為G，O是平面內(nèi)任一點，均有T t T0G寧嚴(yán)，由題意，題目顯然敘述的是一個一般的結(jié)論，先作圖使問題直觀化，如圖1,由圖上觀察，很容易猜想到HG 2G0，至少有兩個產(chǎn)生，故可得部分，很容易想到三圖1其二，點/、* 5八、猜想的誘因，其一是，BF,OT均與三角形的邊AC垂直，則BF/OT ;G 是三角形的中線 BT的三等分點此時，會先猜想 BHG

11、TOG，但現(xiàn)在缺少一個關(guān)鍵的條件，即BH 2OT，這樣由兩個三角形的兩邊長對應(yīng)成比例，同時，夾角對應(yīng)相 等可得相似.當(dāng)然，在考試時，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識進行證明.本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理，即設(shè) O、G、H分別是 ABC勺外心、GH= 1 : 2，利用向量表示就是重心和垂心，則 O、G、H三點共線，且 OG：OH 3oG .例8、點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點,滿足 OA|OB o|oC o|oA，則點O是ABC的（）.A.三個內(nèi)角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的交占八、C三條中線的交點D 三條高的交點分析移項后不難得OB（CA Oc|ab OACB 0，點 O 是

12、 ABC 的垂心,C3推廣應(yīng)用題例9 在厶ABC內(nèi)求一點P，使AP2小.BP CP 最分析如圖2,構(gòu)造向量解決取aCA量有*7Jr X設(shè)tbp4a,4XJfx2CP2彳(XJrz1 - -是詁222JraJrx時BP2 CP2 最小，此時，即 Op 1(oA oB oC),則點P為 ABC勺重心.例10已知0為厶ABC所在平面內(nèi)一點，滿足ioAr ibC ioBf |曲局忌，則。為mbcl bC|2 (oC oB)2 OC OB2 2O|oB , |cA|2,|aB|2 也類似展心.分析將|開代入，已知等式與例4的條件一樣.也可移項后，分解因式合并化簡,O為垂心.例 11已知 0 為 ABC的

13、OAsin BOC OB sin AOCOCsi n AOB分析構(gòu)造坐標(biāo)系證明.如圖3,以A為坐標(biāo)原點，B在x軸的正半軸，C在x軸的上1方.Sa aob - X2y。，直線BC的方程是2yx （X2 X3）y X23 0，由于點A與點O必在直線BC的同側(cè)，且畑30 ，因此有Xoy3X3yoX2 yoX230，得c1 ,SA BOC2(X3y0X2 y3 X0 y3 X2 y0) 直線AC的方程是y3X X3y 0，由于點（1,0）與點O必在直線AC的同側(cè),y3X3 0 0，因此有孫3 X3Y0是，容易驗證，Oa0，得 Sa aocSa boc OB2(X0y3 X3y。).OC Sa aob 0 ，Sa aocSa bocSa boa|sin BOC，sin AOB ，Saaoc-21|1|si nAOC，又 |OA| |OB| |oC |，則所證成立.總結(jié)：知識綜述（一）三角形各心的概念介紹1、重心三角形的三條中線的交點；2、垂心三角形的三條垂線的交點；3、內(nèi)心一一三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點（三角形內(nèi)切圓的圓心）；4、外心三角形的三條垂直平分線的交點（三角形外接圓的圓心） 根據(jù)概念，可知各心的特征條件比如：重心將中線長度分成2： 1；垂線與對應(yīng)邊的向量積為 0；角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外心到三角形各頂點的距離相等OA OB OC 0 ；OA OB OB OC