平面向量的解題技巧A

1、第二講 平面向量的解題技巧金堂中學(xué)劉際成選編【命題趨向】由2012年高考題分析可知：1 .這部分內(nèi)容高考中所占分?jǐn)?shù)一般在10分左右.2 題目類型為一個(gè)選擇或填空題，一個(gè)與其他知識(shí)綜合的解答題.3 .考查內(nèi)容以向量的概念、運(yùn)算、數(shù)量積和模的運(yùn)算為主.【考點(diǎn)透視】“平面向量”是高中新課程新增加的內(nèi)容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以 與其他知識(shí)相結(jié)合在解答題中出現(xiàn)，試題多以低、中檔題為主.透析高考試題，知命題熱點(diǎn)為：1. 向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積.2 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.3 兩非零向量平行、垂直的充要條件.4 圖形平移、

2、線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.5由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾 何、立體幾何等知識(shí)相結(jié)合，綜合解決三角函數(shù)的化簡、求值及三角形中的有關(guān)問題，處理有關(guān)長度、 夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等.6 禾U用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標(biāo)運(yùn)算方面轉(zhuǎn)化，向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的 運(yùn)算等；利用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題.【例題解析】1. 向量的概念，向量的基本運(yùn)算(1) 理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念(2) 掌握向量的加法和減法.(3) 掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的

3、充要條件(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(5) 掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件D為BC邊中點(diǎn)，且20A OB OC =0，那么()c. AO=3ODD. 2AO=OD(6) 掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式 . 例1已知0是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),A. AO =0D B. AO =20D命題意圖：本題考查 能夠結(jié)合圖形進(jìn)行向量計(jì)算的能力例 2.在 YABCD 中，AB =a, AD =b, AN =3NC , M為 BC的中點(diǎn)，貝U MN =命題意圖：本題主要考查向量的加法和

4、減法，以及實(shí)數(shù)與向量的積解：由AN =3NC得4AN =3AC=3(a b) , am =a -b，所以，MN24.(用ab表示)- -1 11(a 亠b) -(ab) a b.24例3. (2006年廣東卷)CD =()(A)-BC 丄BA2(C) BCBA2如圖1所示，D是厶ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量(B)BC-1bA2(D) BCBA2DC命題意圖：本題主要考查向量的加法和減法運(yùn)算能力例4.與向量a= '7 1 迄'2(A)代_315 5(C)空丁一3$=0,7 :的夾解相等，且模為1的向量是()4 3 誠丫 4 3)555 5(D)空_丄誠'I 3 '

5、;3丿2'2(B)2/2 1、"，3命題意圖：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和用平面向量處理有關(guān)角度的問題例5設(shè)向量a與b的夾角為日，且a=(3, 3)， 2b _a=(_1,1)，則cost =.命題意圖：本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積，以及用平面向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度的問題.例6.已知向量 ,1 j, b是不平行于x軸的單位向量，且a b =73，則b =()(A)佔(zhàn)1 )(B)1逅)(C)13、3 (D)(1,0)2丿<2 2丿#,4丿命題意圖：本題主要考查應(yīng)用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積，以及方程的思想解題的能力例7.設(shè)平面向量aT、

6、a、匸的和訂詬+&3=0.如果向量bba、bj，滿足b=2a，且a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30o 后與b同向，其中i =1,2,3，則()-fH.N.fa.a-faM.H(A)-b! b,' b3=0(B)b,b3=0Wb"-*1"-kK!Faai(c) b 也一鳥=0(D) $ +鳥加3 =0命題意圖：本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念點(diǎn)評(píng)：巧妙解法巧在取 &=0，使問題簡單化.本題也可通過畫圖，利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決.2. 平面向量與三角函數(shù)，解析幾何等問題結(jié)合(1)平面向量與三角函數(shù)、三角變換、數(shù)列、不等式及其他代數(shù)問題，由于結(jié)合性強(qiáng)

7、，因而綜合能力較 強(qiáng)，所以復(fù)習(xí)時(shí)，通過解題過程，力爭達(dá)到既回顧知識(shí)要點(diǎn)，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點(diǎn)是 運(yùn)用向量知識(shí)，將所給問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強(qiáng)，難度大例8 .設(shè)函數(shù) f(x)=a-b,其中向量 a=( m,cos2x), b=(1+sin2 x,1), x R且函數(shù) y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(I)求實(shí)數(shù)m的值；(n)求函數(shù)f (x)的最小值及此時(shí)x的值的集合n例 2.設(shè)函數(shù) f (x) = a、b .其中向量 a = (m,cosx), b = (1 sin x,1), x R,且f ( ) = 2. 2(i)求實(shí)

8、數(shù) m的值；(n)求函數(shù)f (x)的最小值.例9已知 ABC的面積為3，且滿足0 < ABAC < 6，設(shè)AB和AC的夾角為二.(I )求二的取值范圍；(II )求函數(shù) f(二)=2sin 2 i n, 3 cos2 v 的最大14丿例10.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A(3,4)、B(0,0)、C (c,0)(1)若c=5，求sin / A的值；(2)若/ A為鈍角，求c的取值范圍；例11 .在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c,tan C = 3. 7 .- 5°)求 cOsC；( 2)若 CBCAS，且 a b“，求 c .例 12.設(shè)函

9、數(shù)彳0)=£,£，其中向量 a=(sinx,-cosx )b =(sinx,-3cosx)c - -cosx,sin x ,x 5R .(i)求函數(shù)f x的最大值和最小正周期；(n)將函數(shù)y=f X的圖像按向量d平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，求長度 最小的d .命題意圖：本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識(shí), 考查推理和運(yùn)算能力.例 13.已知向量 a = (sin 0 , 1), b = (1 , cos 0 )，卡 B (I)若a丄b，求0 ;(D)求丨a + b丨的最大值.命題意圖：本小題主要考查平面向量數(shù)

10、量積和平面向量的模的計(jì)算方法、以及三角公式、三角函數(shù)的性 質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.例14如圖，三定點(diǎn)A(2,1), B(0, _1),C(_2,1);三動(dòng)點(diǎn)D、E、M滿足 AD 二tAB,BE 二tBC, DM 二tDE ,t 三0,1.(I )求動(dòng)直線DE斜率的變化范圍；(II )求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。命題意圖：本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、三角公式、 三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像和圓錐曲線方程的求法等基本知識(shí), 考查推理和運(yùn)算能力例15.已知拋物線 x2= 4y的焦點(diǎn)為F, A B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 AF =入FB (入0) 過A、B 兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M.(I)證

11、明"Fm Kb為定值；()設(shè)厶ABM勺面積為S,寫出S= f(入)的表達(dá)式，并求 S的最小值.命題意圖：本小題主要考查平面向量的計(jì)算方法、和圓錐曲線方程，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識(shí),考查推理和運(yùn)算能力.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測2】一、選擇題1 已知 a =(2,3),b =(4,x),且a/b,則x的值為()88A. 6B.6C.D.332. 已知 ABC中,點(diǎn) D在 BC邊上，且 CD =2DB,cD =rAB+sAC,則 r + S的值是()24A.B.-C. 3D. 0333.把直線x_2y=0按向量a =(_1,-2)平移后，所得直線與圓x2 - y2 2x4y相5切，則實(shí)數(shù)

12、的值為(A )A. 39B. 13C. 21D. 39卜1>Tf-F-+k4. 給出下列命題： a b=0，貝U a=0或b=0. 若e為單位向量且 a/ e,則a=| a| e.a a a=| a| .若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.其中正確的個(gè)數(shù)是()A. 0B. 1C. 2D. 35. 在以下關(guān)于向量的命題中，不正確的是()A. 若向量 a=(x, y)，向量 b=( y, x)( x、滬 0)，貝U a丄bB. 四邊形 ABCD菱形的充要條件是 AB = dc，且I AB |=| AD |C. 點(diǎn)6是厶ABC的重心，貝U GA + GB+CG=OD. ABC中, AB和C

13、A的夾角等于180° A6. 若O為平行四邊形 ABC啲中心，AB = 4 e1,= 6 e2,則3® 2e1等于()A. AOB.BOC.COD.DO7將函數(shù)y=x+2的圖象按a= (6, 2)平移后，得到的新圖象的解析式為()A. y=x+10B. y=x 6 C.y=x+6D.y=x108. 已知向量m=(a,b)，向量 ml n且| m|=| n|,則n的坐標(biāo)為A. ( a, b)B.( a,b)C.( b, a)D.( b, a)9. 給出如下命題：命題(1)設(shè)e1、e2是平面內(nèi)兩個(gè)已知向量，則對(duì)于平面內(nèi)任意向量a,都存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、y,使a=xe1+ye2

14、成立；命題(2)若定義域?yàn)?R的函數(shù)f (x)恒滿足丨f ( x) | = | f(x) | ,則f(x)或?yàn)槠婧瘮?shù)，或?yàn)榕己瘮?shù).則下述判斷正確的是()A.命題(1) (2)均為假命題B.命題(1) (2)均為真命題C.命題(1)為真命題，命題(2)為假命題D.命題(1)為假命題，命題(2)為真命題10 .若|a+b|=|a-b| ，則向量a與b的關(guān)系是()TTA. a= 0 或 b= 0B.|a|=|b| C. a?b=0 D. 以上都不對(duì)11 . O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P滿足OP =OA扎0 七9 貝U P 的軌跡一定通過 ABC的()'|AB

15、| |AC ''A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心12. 若a =2, bn2,0,3, cn0,2,2，則 a b c =()A. 4B.15C. 7D. 3二、填空題1 .已知| AB| =3,1 AC |=4,AB與AC的夾角為60°,則ab與ab ac的夾角余弦為 .TTT T2. 已知 a =( 4,2,x ), b = (2,1,3), 且 a 丄 b，則 x =.3. 向量(a 3b) _ 7a _ 5b , a _ 4b _ 7a _ 2b，則 a和 b所夾角是4. 已知 A(1,0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1),點(diǎn) D 滿足

16、條件：DBL AC, DC丄 AB, AD=BC, 則 D的坐標(biāo)為.5 . 設(shè)a,b是直線，是平面，a_，b_1 ,向量a1在a上，向量b|在b上，a“ =1,1,1, b -3,4,0，則:所成二面角中較小的一個(gè)的大小為 .三、解答題1. ABC中，三個(gè)內(nèi)角分別是 A、B、C,向量 an-osCcosB),當(dāng)tanAtanB2 2 21 '時(shí)，求| a |.92. 在平行四邊形 ABCD中，A (1 , 1), AB = (6,0)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，線段 CM與 BD交于點(diǎn)P.(1) 若 AD =(3,5),求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)|AB|=|AD|時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡.3. 平面內(nèi)三個(gè)力F1,F2,F3作用于同丄點(diǎn)O且處于平衡狀態(tài)，已知F1,F2的大小分別為1kg ,62 kg, F1、F2的夾角是45°,求F3的大小及F3與F1夾角的大小.24. 已知a, b都是非零向量，且 a+3b與7a 5b垂直，a 4b與7a 2b垂直，求a與b的