西工大計(jì)算方法試題參考02——08

1、2002-2003第一學(xué)期一計(jì)算及推導(dǎo)（5*8）1已知，試確定近似的有效數(shù)字位數(shù)。2有效數(shù)，試確定的相對(duì)誤差限。3已知，試計(jì)算差商4給出擬合三點(diǎn)和的直線方程。5推導(dǎo)中矩形求積公式6試證明插值型求積公式的代數(shù)精確度至少是n次。7已知非線性方程在區(qū)間內(nèi)有一實(shí)根，試寫(xiě)出該實(shí)根的牛頓迭代公式。8用三角分解法求解線性方程組二給出下列函數(shù)值表0.40.50.60.70.80.389420.479430.564640.644220.71736要用二次插值多項(xiàng)式計(jì)算的近似值，試選擇合適的插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，并說(shuō)明所選用節(jié)點(diǎn)依據(jù)。（保留5位有效數(shù)字）（12分）三 已知方程在內(nèi)有一實(shí)根（1）給出求該實(shí)根的一個(gè)迭代公

2、式，試之對(duì)任意的初始近似迭代法都收斂，并證明其收斂性。（2）試用構(gòu)造的迭代公式計(jì)算的近似值，要求。四 設(shè)有方程組當(dāng)參數(shù)a滿(mǎn)足什么條件時(shí)，雅可比方法對(duì)任意的初始向量都收斂。寫(xiě)出與雅可比方法對(duì)應(yīng)的高斯賽德?tīng)柕健＃?2分）五用歐拉預(yù)估校正法求解初值問(wèn)題取h=0.1，小數(shù)點(diǎn)后保留5位。（8分）六證明求解初值問(wèn)題 的如下單步法是二階方法。（10分）七試證明復(fù)化梯形求積公式對(duì)任意多的積分節(jié)點(diǎn)數(shù)n+1,該公式都是數(shù)值穩(wěn)定的。（6分）2003-2004第一學(xué)期一填空（3*5）1近似數(shù)關(guān)于真值有_-位有效數(shù)字。2的相對(duì)誤差為的相對(duì)誤差的_倍。3設(shè)可微，求根的牛頓迭代公式_。4插值型求積公式的代數(shù)精確度至少

3、是_次。5擬合三點(diǎn)和的常函數(shù)是 _。二已知有如下的數(shù)據(jù)12324123試寫(xiě)出滿(mǎn)足插值條件以及的插值多項(xiàng)式，并寫(xiě)出誤差的表達(dá)形式。三（1）用復(fù)化辛浦森公式計(jì)算為了使所得的近似值有6位有效數(shù)字，問(wèn)需要被積函數(shù)在多少個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值？ （2）取7個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)）用復(fù)化辛浦森公式計(jì)算，小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位。四曲線與在點(diǎn)（0.7，0.3）附近有一個(gè)交點(diǎn)，試用牛頓迭代公式計(jì)算的近似值，要求五 用雅可比方法解方程組是否對(duì)任意的初始向量都收斂，為什么？取，求出解向量的近似向量，要求滿(mǎn)足。六用校正一次的歐拉預(yù)估校正格式求解初值問(wèn)題的解函數(shù)在處的近似值，要求寫(xiě)出計(jì)算格式。（步長(zhǎng),小數(shù)點(diǎn)后保留5位有效數(shù)字）七設(shè)

4、有求解初值問(wèn)題的如下格式如假設(shè)問(wèn)常數(shù)為多少時(shí)使得該格式為二階格式？ 2005-2006第二學(xué)期一填空（3*5）1.設(shè)近似數(shù)都是四舍五入得到的，則相對(duì)誤差_。2.矛盾方程組的最小二乘解為_(kāi)。3.近似數(shù)關(guān)于真值有_位有效數(shù)字.4.取，迭代過(guò)程是否穩(wěn)定？5.求積公式有幾次的代數(shù)精確度？二 取初值，用牛頓迭代法求的近似值，要求先論證收斂性。當(dāng)時(shí)停止迭代。三用最小二乘法確定中的常數(shù)a和b，使該曲線擬合于下面的四個(gè)點(diǎn)（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74）（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后4位）四用乘冪法求矩陣A的按模最大的特征值的第k次近似值及相應(yīng)的特征向量，要求取初值且這里 A=五考

5、察用高斯賽德?tīng)柕ń夥匠探M收斂性，并取，求近似解，使得（i=1，2，3）六已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)的如下數(shù)據(jù) 用插值法求方程在區(qū)間（0.00，1.80）內(nèi)根的近似值。（小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位）七設(shè)有積分 取5個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表（小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位）用復(fù)化的simpson公式求該積分的近似值，并且由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小。八給定初值問(wèn)題寫(xiě)出Euler預(yù)估校正格式取步長(zhǎng)為0.2，計(jì)算在1.4處的函數(shù)的近似值。九設(shè)矩陣A對(duì)稱(chēng)正定，考慮迭代格式對(duì)任意的初始向量是否收斂到的解，為什么？ 2006-2007第一學(xué)期一. 填空1） 近似數(shù)關(guān)于真值有_位有效數(shù)字；2） 設(shè)有

6、插值公式，則=_；（只算系數(shù)）3） 設(shè)近似數(shù)，都是有效數(shù)，則相對(duì)誤差_；4） 求方程的根的牛頓迭代格式為_(kāi)；5） 矛盾方程組與得最小二乘解是否相同_。二. 用迭代法（方法不限）求方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)根的近似值，要求先論證收斂性，誤差小于時(shí)迭代結(jié)束。三. 用最小二乘法中的常數(shù)和，使該函數(shù)曲線擬合與下面四個(gè)點(diǎn)（1，-0.72）(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第四位）四用矩陣的直接三角分解法求解線性方程組五設(shè)要給出的如下函數(shù)表用二次插值多項(xiàng)式求得近似值，問(wèn)步長(zhǎng)不超過(guò)多少時(shí)，誤差小于 。六. 設(shè)有微分方程初值問(wèn)題 1）寫(xiě)出歐拉預(yù)估校正法的計(jì)算

7、格式； 2)取步長(zhǎng)h=0.1，用歐拉預(yù)估校正法求該初值問(wèn)題的數(shù)值解（計(jì)算結(jié)果保留4位小數(shù)）。七. 設(shè)有積分 取11個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)0和1），列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值（小數(shù)點(diǎn)侯保留4位）； 用復(fù)化Simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大?。ㄐ?shù)點(diǎn)侯保留4位）。八. 對(duì)方程組1. 用雅可比迭代法求解是否對(duì)任意初始向量都收斂？為什么？ 2.取初始向量，用雅可比迭代法求近似解，使九. 設(shè)f(x)在區(qū)間a，b上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(a)=f(b)=0，試證明參考答案：1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023 （4） (5) 否2. 方程的等價(jià)形式為 ，迭代格式為

8、。收斂性證明；當(dāng)時(shí)，所以依據(jù)全局性收斂定理，可知迭代格式收斂取迭代初值為，迭代結(jié)果如下00.510.606530.0106520.54524-0.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313. 11.52.02.512.254.06.252.718284.481697.3890612.18249矛盾方程組為 對(duì)應(yīng)的正則方程組為解得 所以擬和曲線方程為4. 由矩陣Doolittle分解的緊湊記錄形式有 回代求解得 , ， 方程組的解向量為.5. 令 可求得£0.2498（或£0.228

9、9）6. 7. 0.6932 8. （1）Jacobi迭代法的迭代矩陣為 譜半徑.此時(shí)Jacobi迭代法對(duì)任意初始向量都收斂.（2）9. 以為插值節(jié)點(diǎn)，做Lagrange插值：其中。故2007-2008第一學(xué)期1 填空（15分）1） 設(shè)近似數(shù)，都是四舍五入得到的，則相對(duì)誤差 _2）擬合三點(diǎn)A(3,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于軸的直線方程為 _.3) 近似數(shù)關(guān)于真值有 _ 位有效數(shù)字.4） 插值型求積公式至少有_次代數(shù)精確度.5) Simpson(辛浦生)求積公式有_次代數(shù)精確度.2.（10分）已知曲線 與在點(diǎn)（1.6,6.9）附近相切，試用牛頓迭代法求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值，當(dāng)誤差小

10、于時(shí)停止迭代。3（10分）用最小二乘法確定中的常數(shù)和，使得該函數(shù)曲線擬合于下面四個(gè)點(diǎn) (1，2.01), (2，7.3), (3,16.9), (4,30.6) (計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后4位)4.(10分) 用乘冪法求矩陣的按模最大的特征值的第k次近似值及相應(yīng)的特征向量。要求取初始向量，且。5（10分）設(shè)有方程組寫(xiě)出與Jacobi迭代法對(duì)應(yīng)的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩陣為：當(dāng)參數(shù)a滿(mǎn)足什么條件時(shí)，Jacobi方法對(duì)任意的初始向量都收斂。6（10分）已知四階連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)的如下數(shù)據(jù)：1205110試求滿(mǎn)足插值條件的三次插值多項(xiàng)式，并寫(xiě)出截?cái)嗾`差的導(dǎo)數(shù)型表達(dá)式（

11、不必證明）。7（15分）設(shè)有積分1）取7個(gè)等距節(jié)點(diǎn)（包括端點(diǎn)1和2），列出被積函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值表（小數(shù)點(diǎn)后至少保留4位）；2）用復(fù)化simpson公式求該積分的近似值，并由截?cái)嗾`差公式估計(jì)誤差大小。8（10分）給定初值問(wèn)題寫(xiě)出歐拉（Euler）預(yù)估-校正的計(jì)算格式；取步長(zhǎng)，求的近似值。9（10分） 用迭代法的思想證明： （等號(hào)左邊有k個(gè)2）。參考答案：1: (1)6.78×105, (2) x=2 (3) 2 （4）n-2 (5) 32. 切線斜率相等：，牛頓迭代格式：取，得3. 矛盾方程組：正則方程組：4. 取初始向量，用乘冪法公式進(jìn)行計(jì)算，且取，得，5.(1)迭代格式為(2)Jacobi迭代法的迭代矩陣為(3)譜半徑.由得此時(shí)Jacobi迭代法對(duì)任意初始向量都收斂.