解三角形應(yīng)用舉例

1、備考方向要明了考 什 么怎 么 考能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.1.考查正、余弦定理在解決與角度、方向、距離及測量等問題有關(guān)的實(shí)際問題中的應(yīng)用2.考查方式既有選擇題、填空題，也有解答題，屬中、低檔題.歸納·知識整合1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等2實(shí)際應(yīng)用中的常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫

2、做方位角方位角的范圍是(0°，360°)方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度例：(1)北偏東m°：(2)南偏西n°：坡角坡面與水平面的夾角設(shè)坡角為，坡度為i，則itan 坡度坡面的垂直高度h和水平寬度l的比探究1.仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？提示：三者的參照不同仰角與俯角是相對水平線而言的，而方位角是相對于正北方向而言的2如何用方位角、方向角確定一點(diǎn)的位置？提示：利用方位角或方向角和目標(biāo)與觀測點(diǎn)的距離即可唯一確定一點(diǎn)的位置自測·牛刀小試1從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為

3、，則與的關(guān)系為()A>BC90° D180°解析：選B根據(jù)仰角和俯角的定義可知.2.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10° B北偏西10°C南偏東80° D南偏西80°解析：選D由條件及圖可知，AB40°，又BCD60°，所以CBD30°，所以DBA10°，因此燈塔A在燈塔B南偏西80°.3.如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、

4、B間距離的是()A，a，bB，aCa，b，D，b解析：選A選項(xiàng)B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項(xiàng)C中可由余弦定理確定AB.選項(xiàng)D同B類似4(教材習(xí)題改編)海上有A，B，C三個(gè)小島，測得A，B兩島相距10海里，BAC60°，ABC75°，則B，C間的距離是_海里解析：由正弦定理，知.解得BC5海里答案：55(教材習(xí)題改編)如圖，某城市的電視發(fā)射塔CD建在市郊的小山上，小山的高BC為35 m，在地面上有一點(diǎn)A，測得A，C間的距離為91 m，從A觀測電視發(fā)射塔CD的視角(CAD)為45°，則這座電視發(fā)射塔的高度CD為_m.解析：AB84，tanCAB.由

5、tan(45°CAB)得CD169.答案：169測量距離問題例1隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的C、D兩點(diǎn)，同時(shí)，測得ACB75°，BCD45°，ADC30°，ADB45°(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離自主解答如圖，在ACD中，ACD120°，CADADC30°，所以ACCD.在BCD中，BCD45°，BDC75°，CBD60°，由正弦定理知BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22AC·BC·cosACB()222&

6、#215;××cos 75°325，所以AB km，所以A，B兩目標(biāo)之間的距離為 km.若將本例中A、B兩點(diǎn)放到河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50 m，ACB45°，CAB105°后，求A、B兩點(diǎn)間的距離解：由正弦定理，得，故AB50 m.即A、B兩點(diǎn)間的距離為50 m求距離問題的注意事項(xiàng)(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.1如圖所示，某

7、河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A，B，觀察對岸的點(diǎn)C，測得CAB75°，CBA45°，且AB100 m求該河段的寬度解：CAB75°，CBA45°，ACB180°CABCBA60°.由正弦定理得，BC.如圖，過點(diǎn)B作BD垂直于對岸，垂足為D，則BD的長就是該河段的寬度在RtBDC中，BCDCBA45°，sinBCD，BDBCsin 45°·sin 45°× m，該河段的寬度為 m.測量高度問題例2某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40

8、 m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0°，求塔高自主解答如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD40，此時(shí)DBF45°.過點(diǎn)B作BECD于E，則AEB30°.在BCD中，CD40，BCD30°，DBC135°，由正弦定理，得，則BD20.BDE180°135°30°15°.在RtBED中，BEDB sin 15°20×10(1)在RtABE中，AEB30°，則ABBEtan 30°(3)故塔高為(3) m.處理高度問題的注意事項(xiàng)(1)在

9、處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角(視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角)是一個(gè)關(guān)鍵(2)在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)(3)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成三角形的問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用，若是空間的問題要注意空間圖形和平面圖形的結(jié)合2如圖，山腳下有一小塔AB，在塔底B測得山頂C的仰角為60°，在山頂C測得塔頂A的俯角為45°，已知塔高AB20 m，求山高CD.解：如圖，設(shè)CDx m，則AE(x20) m，tan 60°，則BDx m.在AEC

10、中，x20x，解得x10(3) m，故山高CD為10(3) m.測量角度問題例3如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(1)海里的B處有一艘走私船在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10海里/小時(shí)的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時(shí)間自主解答設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí)，才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船，則CD10t海里，BD10 t海里，在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22AB·ACcos A(1)2222(1)&

11、#183;2·cos 120°6.解得BC.又，sinABC，ABC45°，B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上，CBD90°30°120°，在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD.BCD30°，緝私船沿北偏東60°的方向行駛又在BCD中，CBD120°，BCD30°，D30°，BDBC，即10t.t小時(shí)15分鐘緝私船應(yīng)沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘解決測量角度問題的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意

12、圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用3如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解：如題中圖所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120°，由余弦定理知，BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800BC20.由正弦定理得，sinACB·sinBAC.由BAC120°，

13、知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30°，得cos cos(ACB30°)cosACBcos 30°sinACBsin 30°.1個(gè)步驟解三角形應(yīng)用題的一般步驟2種情形解三角形應(yīng)用題的兩種情形(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解2個(gè)注意點(diǎn)解三角形應(yīng)用題應(yīng)注意的問題(1)畫出示意圖后要注

14、意尋找一些特殊三角形，如等邊三角形、直角三角形、等腰三角形等，這樣可以優(yōu)化解題過程(2)解三角形時(shí)，為避免誤差的積累，應(yīng)盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量. 創(chuàng)新交匯數(shù)形結(jié)合思想在解三角形中的應(yīng)用三角函數(shù)在實(shí)際生活中有著相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，三角函數(shù)的應(yīng)用題是以解三角形、正(余)弦定理、正(余)弦函數(shù)等知識為核心，以測量、航海、筑路、天文等為代表的實(shí)際應(yīng)用題是高考應(yīng)用題的熱點(diǎn)題型求解此類問題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)審題，提煉題目信息，畫出示意圖，利用數(shù)形結(jié)合的思想并借助正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)、不等式等知識求解典例(2013·廣州模擬)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以

15、內(nèi)的海域被設(shè)為警戒水域點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測站A.某時(shí)刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A的北偏東45°且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點(diǎn)A的北偏東(45°)(其中sin ，0°90°)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.(1)求該船的行駛速度(單位：海里/時(shí))；(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛判斷它是否會進(jìn)入警戒水域，并說明理由解如圖所示，AB40，AC10，BAC，sin .因?yàn)?90°，所以cos .BC10.所以船的行駛速度為15海里/時(shí)(2)法一：如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B，C的坐

16、標(biāo)分別是B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)，得x1y1AB40，x2ACcosCAD10·cos(45°)30，y2ACsinCAD10 ·sin(45°)20.所以過點(diǎn)B，C的直線l的斜率k2，直線l的方程為y2x40.又點(diǎn)E(0，55)到直線l的距離d37，所以船會進(jìn)入警戒水域法二：如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.在ABC中，由余弦定理，得cosABC.所以sinABC .在ABQ中，由正弦定理，得AQ40.由于AE5540AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QEAEAQ15.過點(diǎn)E作EPBC于點(diǎn)P，則EP

17、為點(diǎn)E到直線BC的距離在RtQPE中，PEQE·sinPQEQE·sinAQCQE·sin(45°ABC)15×37.所以船會進(jìn)入警戒水域1對于問題(1)，知道兩邊夾一角，由余弦定理求得BC的長，除以行駛時(shí)間即可求得速度；對于問題(2)，延長BC交直線AE于點(diǎn)Q，然后在ABQ中，由正弦定理求得AQ的長、判斷點(diǎn)Q的位置，最后在QPE中結(jié)合已知條件即可作出判斷2解此類問題，首先根據(jù)題意合理畫出示意圖是解題關(guān)鍵；將條件歸納到某一三角形中是基本的策略；合理運(yùn)用正、余弦定理并注意與平面幾何相關(guān)知識結(jié)合有助于問題的解決某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘

18、正在航行的輪船上在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時(shí)，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇，并說明理由解：(1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為s海里，則s.故當(dāng)t時(shí)，smin10，此時(shí)v30，即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最小(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇

19、，則v2t2400900t22·20·30t·cos(90°30°)，故v2900.0v30，900900，即0，解得t.又t時(shí)，v30.故v30時(shí)，t取得最小值，且最小值等于.此時(shí)，在OAB中，有OAOBAB20，故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時(shí)，小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1某人向正東方向走x km后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km，那么x的值為()A.B2C.或2D3解析：選C如圖所示，設(shè)此人從A出

20、發(fā)，則ABx，BC3，AC，ABC30°，由余弦定理得()2x2322x·3·cos 30°，整理得x23x60，解得x或2.2.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()Aa km B.a kmC.a km D2a km解析：選B利用余弦定理解ABC.易知ACB120°，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22AC·BC·cos 120°2a22a2×3a2，故ABa

21、.3一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)大噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：選A設(shè)水柱高度是h m，水柱底端為C，則在ABC中，A60°，ACh，AB100，BCh，根據(jù)余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50

22、 m.4(2013·永州模擬)張曉華同學(xué)騎電動(dòng)自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點(diǎn)A處望見電視塔S在電動(dòng)車的北偏東30°方向上，15 min后到點(diǎn)B處望見電視塔在電動(dòng)車的北偏東75°方向上，則電動(dòng)車在點(diǎn)B時(shí)與電視塔S的距離是()A2 km B3 kmC3 km D2 km解析：選B如圖，由條件知AB24×6.在ABS中，BAS30°，AB6，ABS180°75°105°，所以ASB45°.由正弦定理知，所以BSsin 30°3.5如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)

23、的高度為海拔18 km，速度為1 000 km/h，飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°，經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮芨叨葹?精確到0.1 km)()A11.4B6.6C6.5D5.6解析：選BAB1 000×1 000× m，BC·sin 30° m.航線離山頂h×sin 75°11.4 km.山高為1811.46.6 km.6.如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1 m)()A2.7 m B

24、17.3 mC37.3 m D373 m解析：選C在ACE中，tan 30°.AE m.在AED中，tan 45°，AE m，CM10(2)37.3 m.二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7.2012年10月29日，超級風(fēng)暴“桑迪”襲擊美國東部，如圖，在災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個(gè)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點(diǎn)，那么x_.解析：由題知，CBA75°，BCA45°，BAC180°75°

25、45°60°，.x m.答案： m8某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20 m，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是_ m.解析：如圖，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則ABO45°，AOB75°，所以O(shè)AB60°.由正弦定理知，解得AO m.答案：9(2013·銅川模擬)一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向

26、，則這只船的速度是_海里/小時(shí)解析：如圖，依題意有BAC60°，BAD75°，所以CADCDA15°，從而CDCA10.在直角三角形ABC中，可得AB5，于是這只船的速度是10海里/小時(shí)答案：10三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10.如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點(diǎn)進(jìn)行測量已知AB50 m，BC120 m，于A處測得水深A(yù)D80 m，于B處測得水深BE200 m，于C處測得水深CF110 m，求DEF的余弦值解：作DMAC交BE于N，交CF于M，DF10，DE130，EF150.在DEF中，由余弦定理得，cosD

27、EF.11為撲滅某著火點(diǎn)，現(xiàn)場安排了兩支水槍，如圖，D是著火點(diǎn)，A、B分別是水槍位置，已知AB15 m，在A處看到著火點(diǎn)的仰角為60°，ABC30°，BAC105°，求兩支水槍的噴射距離至少是多少？解：在ABC中，可知ACB45°，由正弦定理得，解得AC15 m.又CAD60°，AD30，CD15，sin 105°sin(45°60°).由正弦定理得，解得BC m.由勾股定理可得BD15 m，綜上可知，兩支水槍的噴射距離至少分別為30 m，15 m.12.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且

28、與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值解：(1)依題意，BAC120°，AB12，AC10×220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB×AC×cos BAC1222022×12×20×cos 120°784.解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/小時(shí)(2)法一：在ABC中，因?yàn)锳B12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得.即sin .法二：在ABC中，因?yàn)锳B12，AC20，BC28，BCA，由余弦定理，得cos ，即cos .因?yàn)闉殇J角，所以sin .1為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟解：需要測量的數(shù)據(jù)有：A點(diǎn)到M，N的俯角1，1；B點(diǎn)到M，N的俯角2，2；A，B間的距離d(如圖所示)方案一第一步：計(jì)算AM.在ABM中，由正弦定理，得AM.第二步：