解三角形三類經(jīng)典題型

1、 解三角形三類經(jīng)典類型類型一 判斷三角形形狀類型二 求范圍與最值類型三 求值專題類型一 判斷三角形形狀例1：已知ABC中,bsinB=csinC,且,試判斷三角形的形狀解：bsinB=csinC,由正弦定理得 sinB=sinC， sinB=sinC B=C由 得 三角形為等腰直角三角形例：在ABC中，若=，b=a+c,試判斷ABC的形狀.解:b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=得sinA+sinC=由三角形內(nèi)角和定理知sinA+sin()=,整理得 sin(A+)=1A+,所以三角形為等邊三角形.例3：在ABC中，已知，試判斷ABC的形狀解：法1：由題意得 ，化簡(jiǎn)

2、整理得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B2A=2B或2A+2B= A=B或，三角形的形狀為等腰三角形或直角三角形法2：由已知得結(jié)合正、余弦定理得，整理得 即三角形為等腰三角形或直角三角形例4：在ABC中，（1）已知sinA=2cosBsinC，試判斷三角形的形狀；（2）已知sinA=，試判斷三角形的形狀解：(1)由三角形內(nèi)角和定理得sin(B+C)=2cosBsinC整理得sinBcosCcosBsinC=0即sin(BC)=0 B=C 即三角形為等腰三角形.(2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，結(jié)合正、余弦定理得，化簡(jiǎn)整理得 即三角形

3、為直角三角形例5：在ABC中，（1）已知ab=ccosBccosA，判斷ABC的形狀（2）若b=asinC,c=acosB,判斷ABC的形狀解：（1）由已知結(jié)合余弦定理可得，整理得 ，三角形為等腰三角形或直角三角形（2）由b=asinC可知 ，由c=acosB可知整理得，即三角形一定是直角三角形，A=，sinC=sinBB=C，ABC為等腰直角三角形例6：已知ABC中，且，判斷三角形的形狀解：由題意令，則,由余弦定理得 即ABC為直角三角形7. 在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，則ABC的形狀為_8. 在ABC中，若，則A= 類型二 求范圍與最值1、在中，角所對(duì)的邊分別為滿足，,則

4、的取值范圍是 2、在ABC中，AD為BC邊上的高線，ADBC，角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，則的最大值是_解析因?yàn)锳DBCa，由a2bcsin A，解得sin A，再由余弦定理得cos A，得2cos Asin A，又A(0，)，最大值為 解析幾何或者幾何法1解析幾何法：2幾何法：方程有解，利用判別式求范圍。附例：4、已知中，B=，且有兩解，則邊a的取值范圍是 5、借力打力型求取值范圍附例：鈍角三角形中，若最大邊和最小邊長(zhǎng)的比為m，則m的取值范圍是 ？ 6、 已知ABC中，AB1，BC2，則角C的取值范圍是 BACacb7、在ABC中若,則的取值范圍 8、已知中，B=，且有一解，則邊a的取值

5、范圍是 9、已知中,若該三角形有兩解,則的取值范圍是 10、鈍角三角形ABC的三邊長(zhǎng)為a,a+1,a+2()，則a= 11、在銳角中，則的取值范圍為 .12、設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)，且，則為 14、 在銳角三角形中，則的取值范圍是 15、 在銳角三角形中，C既不是最大角，也不是最小角，求k值取值范圍_. ， 16. 在鈍角三角形中，已知?jiǎng)t的取值范圍為 類型三 求值專題1、在ABC中，若BC=5，CA=7，AB=8，則ABC的最大角與最小角之和是 .2、在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，則sinAsinBsinC_.3、在ABC中，D為BC邊

6、上一點(diǎn)，BC3BD，AD，ADB135°，若ACAB，則BD_.解析：(bc)(ca)(ab)456，設(shè)bc4k，ca5k，ab6k(k0)，解得ak，bk，ck，sinAsinBsinCabc753.答案：7534、鈍角三角形邊長(zhǎng)為a，a1，a2，其最大角不超過120°，則a的取值范圍是_5、在ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大內(nèi)角為120，則a= .6、如果滿足ABC60°，AC12，BCk的三角形恰有一個(gè)，那么k的取值范圍是_7、在ABC中，若C30°，AC3，AB3，則ABC的面積為_解析：由正弦定理得：，sinBsinC·，

7、所以B60°或120°.當(dāng)B60°時(shí)，SAB×AC·3·3；當(dāng)B120°時(shí)，SAB×AC·sin30°.答案：或8、 僅有一個(gè)等式作為方程求解時(shí)，注意整體思想，整體帶入附例：在銳角ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.若6cos C，則的值是_4_9 海上有A、B兩個(gè)小島，相距10海里，從A島望C島和B島成60º的視角，從B島望C島和A島成75º的視角；則B、C間的距離是海里.10 某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)，我海軍艦艇在A處獲悉后，測(cè)得該漁輪在方位角45º、距離為10海里的C處，并測(cè)得漁輪正沿方位角105º的方向、以每小時(shí)9海里的速度向附近的小島靠攏。我海