異面直線所成角求法

1、異面直線所成的角一、平移法：常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點）：補形平移法：“補 形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉化為易于研究的幾何體來處 理，利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空間四邊形 ABCD中，AD= BO 2, E, F分別為AB CD的中點，EF=忑，求AD BC所 成角的大小.解：設BD的中點G 連接FG EG 在厶EFG中EF =典FG = EG= 1/ EGM 120°二 AD 與 BC成 60° 的角。2正 ABC的邊長為a，S為 ABC所在平面外的一點，S心S吐SO a

2、，E, F分別是SC和 AB的中點求異面直線SA和EF所成角.答案：45°3. S是正三角形ABC所在平面外的一點，如圖 S心S吐SC，且 ASA BSC= CSA= y，M N分別是AB和SC的中點求異面直線SM與 BN所成的角的余弦值.證明：連結CM設Q為CM的中點，連結QN則QN/ SM / QNB是 SM與 BN所成的角或其補角連結BQ 設SO&,在厶BQN中BN= a NQ = SM=丄 a BQ =a2244 COS QN圧2 2 2BN2 NQ2 BQ22BN NQ105AB4.如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，/ BCAf90°，M N分別是Ai

3、Bi和AC的中點，若BOCA= CC,求BM與 AN所成的角.解：連接MN作NG/ BM交BC于G連接AG 易證/ GNA就是BM與 AN所成的角.貝U AG= AN= 5 , GN= BM= .6 ,.30010設：BC= CA= CG= 2,cos/GNAf 6 5 52,655. 如圖，在正方體 ABCD AiBiCiDi中，E、F分別是BBi、CD的中點.求AE與DiF所成的 角。證明：取AB中點G連結AG FG因為F是CD的中點，所以GF£AD又 AiXAD 所以 GF£AD ,故四邊形GFDAi是平行四邊形，AG/DF。設AiG與AE相交于H,則/A iHA是A

4、E與DF所成的角因為 E 是 BB 的中點，所以 Rt AiAGA ABE, / GAA=/ GAH 從而 /A iHA=90 , 即直線AE與DF所成的角為直角。6. 如圖i 28的正方體中，E是A D的中點(1) 圖中哪些棱所在的直線與直線BA成異面直線(2) 求直線BA'和CC所成的角的大?。?3) 求直線AE和CC所成的角的正切值；(4) 求直線AE和BA所成的角的余弦值解： A?平面BC，又點B和直線CC都在平面BC內(nèi)，且B?CC ,直線BA與CC是異面直線同理，正方體i2條棱中的C D'、DD、DC AD B ' C所在的直線都和直線BA成異 面直線(2)

5、t CC' / BB，二BA '和BB所成的銳角就是BA和CC所成的角-/ A ' BB =45° 二 BA '和 CC 所成的角是 45° t AA ' / BB / CC，故AE和AA所成的銳角/ A ' AE是AEffiCC所成的角在Rt AA E中，tan / A AE=生=1 ,所以AE和CC所成角的正切值是-AA 22/ /取B' C 的中點F,連EF、BF，則有EF= A?B4 AB,/ ABFE是平行四邊形，從而 BF= AE,即BF/ AE且BF=AE. BF與BA所成的銳角/ A' BF就是

6、AE和BA所成的角（圖 1 29）設正方體各棱長為2,連A F,利用勾股定理求出 A BF的各邊長分別為 A' B= 2 2 , A' F= BF= 5，由余弦定理得： cos/A BF=(疵)2(回2陽2紜2 2詔2<557. 長方體ABCABCD中，若AB=BC=3 AA=4,求異面直線BiD與BC所成角的大小。解法一：如圖，過B點作BiE/ BG交CB的延長線于E點。則/DBE或其補角就是異面直線 DB與BC所成角，連結DE交AB于M DE=2DM=35 ,cos / DBE=7 34 /.Z DBE=arc cos 7'34170170A,A解法二：如圖，

7、在平面DDBB中過B點作BE/ DB交DBi的延長線于E,貝UZCBE就是異面直線DB與BC所成的角，連結 GE,在ABiCE中，ZCiBiE=135，CE=3j5，cos ZCiBE=34，/ZC iBE=arc cos。170i70練習：8. 如圖，PA 矩形ABCD已知PA=AB=8 BC=10求AD與PC所成角的余切值為。9.在長方體 ABCDABCD中,B和AC所成角的余弦值.中位線平移法：構造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉化為 平面問題，解三角形求之。解法一：如圖連結BC交BC于0，過0點作OE/ DB,貝U/ BOE為所求的異面直線 DB與BC所成的角

8、。連結EB,由已知有 BD=34，BC=5，BE二乞？，/ cos Z BOE= 342170/Z BOE=arc cos 7 - 34A.AA.170i n / / L Di/ /-?-：pr/ 1 J /0” / "|(fD. / .'X，. / C解法如圖，連DB AC交于O點，過O點作OE/ DB,過E點作EF/CB,則Z OEF或其 補角就是兩異面直線所成的角，過O點作OM/ DC連結 MF OF。貝U OF73，2cos Z OEF= 34，.異面直線bD與BG所成的角為arc cos 34。170170解法三：如圖，連結DB交DB于O,連結DA,貝U四邊形ABC

9、D為平行四邊形。在平行四邊形ABCD中過點O作EF/ BC交AB DC于E F,則Z DOF或其補角就是異面直線 DB與BC所成的角。在 ADF中 DF= , cos Z DOF=，/Z DOF=arc cos 7。2170170課堂練習10.在正四面體ABCD中，已知E是棱BC的中點，求異面直線 AE和BD所成角的余弦值。補形平移法：在已知圖形外補作一個相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一：如圖，以四邊形 ABC為上底補接一個高為4的長方體ABCD-ACD,連結D2B, 貝U DB/D2B,./C iBD或其補角就是異面直線 DB與BC所成的角，連 GD,則iDQ為Rt, cos/CiBD

10、=匚衛(wèi)4，二異面直線 DB與BC所成的角是arccos7空。170170課堂練習：11.求異面直線AC與BD所成的角的余弦值。在長方體ABCD-A1CD的面BC上補上一個同樣大小的長方體，將AQ平移到BE則ZD 1BE或其補角就是異面直線 AC與BD所成的角，在 BDE中, BD=3, ?J宀八”丿.一一寺二、利用模型求異面直線所成的角模型1引理：已知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為9 1,平面a內(nèi)的一條直線b與斜線a所成的角為9,與它的射影a'所成的角為9 2。求證：cos 9 = cos 9 1 cos 9 2在平面？的斜線a上取一點 連接OB則OBL b.P,過點P分別作直線

11、c、b的垂線PO PB垂足為O B在直角 AOP中,cos在直角 ABC中,cos在直角 ABP中,cos所以 cos 1 cosAOAPABAOABAP .ABAOAOAPcos的斜線，OA是PA在 a上的射影,AB cosAPPOBi(D)A4aA*1F 2所以 cos 1 cos 2證明：設PA是aOBOA竺 AB 1已知三棱柱ABC A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，MPA PA OA 2A在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與C®所成 的角的余弦值為(D )(A)仝4(B)手(C)A.3 b解：設BC的中點為D,連結A D, AD易知三角余弦定理，易知cos

12、cos A1AD cosAAB即為異面直線AB與CG所成的角,由AD AD 3 ,DAB.故選D4A1A AB14.如圖，在立體圖形P-ABCD 中，底面ABCD1 一個直角 梯形,/ BAD=90 , 旦4AD1 -+ EC3 -AE3 - DU】2AC' BDADBD? AC| |bd|bd cos而 BD BA AD4DAFAAB2 AC2 BC2 AD2 AC2 CD2AD2 BC2 AB2 CD22 22BD?ACBA AD ? ACBA? ACAD? AC- DC2ACBDA1D1 + BCj3 -瓦齊晅|因辛75q q g5如圖，在正方體 ABCD-A1GD中，E、F分別

13、是 相鄰兩側面BCGB及CDDC的中心。求AE和BF所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個點 上。作法：連結BE,取BE中點G及AB中點H, 連GHGH 64.6226EAiB1F1) 2(1)2 (2)2 (1)2(2)21)2 2(1)2 ( 1)21 1 AB6 6|EA11 |B QEA1 B1FA.GA1HzCiD有D71CAC AD ACiDD1 AB AC NC21 AD AC AM2AM NCNC 一 一 AM NC| AM | | NC |1 - AD 21 一 11 1 3AM AB AC AB AC NC2 224

14、 4EG GF -BA 丄 CD BA CD EF BA 丄 CD ? BA 丄 CD 丄求:3333332線BD與AC所成的角的余弦值.一 1 一AB AC AD21 1 1一 1AC -2,7 EF " 1 1 AC - AB2 21 -AD AB ACACAC4 242AD ACFfEDD NFR EA G卩/ 川二J.-JB CC2 PE1-AD2M一 1AC -4(1) AG的長;技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用 i Qii1JL解：(1) | AC1 | AC1 AC1 (AA1 AC)(AA1 AC)(AA1 AB AD)(AA AB AD)| AA1

15、 |2 | AB|2 | AD |2 2AA1 AB 2AA1 AD 2 AB AD由已知得:| AA1 |2 b2,| AB|2 | AD |2 a2AA1, ABAA1, AD120 , AB, AD 901 1AA. AB b acos120ab, AA1 AD b acos120 ab, AB AD 0,1 2 2IAC1I2 2a2 b2 2ab, |AG| 2a2 b2 2ab.(2)依題意得,| AC |2a, AC Ab ADBD1ADBAAA1 AD ABACBD1(ABAD)(AA1 AD AB)ABAAiAD22AA1 AB AD AD2 AB2 AB ADab|BD1

16、|2 BD1 BD1 (AA1 AD AB)(AA1 AD AB)| AA1 |2 | AD|2 | AB |2 2AA1 AD 2 AB AD 2AA1 AB 2a2 b2|BDi| 2a b cos BDi, ACBD1 AC|BD；|AC|b、4a2 2b2 BD與AC所成角的余弦值為bJ4a2 2b2判斷是非：(3) (8)(10) 正確，其余錯；選擇：1(C) ; 2(D) ; 3(D) ; 4(D) .5. (2)相交，(5)平行，其余異面；(6) : (D)，取 AB中點M CC中點N,連BiE和BF; (7)答案：(A)，延長BiAi至M 使AW AD,連MA取 AB中點 N.

17、 8(D) ; 9(E) ; 10(D) ; 11(C);三. 4，取AD中點E,則/ME肚90°3四. 丄，取 AC中點 F,連 EF、BF,求得 BE= AD5，BF= 1 AO 3.2 ;5 22五. L5，分別取AC BG的中點P、Q,貝U PMQ是矩形，設 CC= M3 a,貝U MP= - a;5 2 ?六. 1，取 AC中點 F,連 EF、BF,貝U EF= 4, BE= BF= 3.6異面直線所成的角-作業(yè)班級：、判斷是非(下列命題中，正確的打(1)梯形的四個頂點在同一平面內(nèi)； 平行于同一直線的兩直線平行； 兩條直線確定一個平面； 無公共點的兩直線異面； 兩異面直線可

18、以同時平行于一直線；(9)姓名：學號:，錯誤的打“X”)(2)(4)(8)(10)(12)(11)不同在一個已知平面內(nèi)的兩直線異面； 二、選擇題1. 沒有公共點的兩條直線的位置關系是()(A)平行(B)異面(C)平行或異面2. 分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關系是 ()(A)異面(B)平行(C)平行或異面對邊相等的四邊形是平行四邊形； 垂直于同一直線的兩直線平行； 經(jīng)過三點可以確定一個平面； 兩異面直線無公共點；兩異面直線可以同時垂直于一直線； 互相垂直的兩條直線必可確定一平面(D)(D)不能確定平行或異面或相交3. 兩條異面直線指的是()(A)在空間不相交的兩條直線(B)某一平面內(nèi)的一條

19、直線和這個平面外的一條直線(C)分別位于兩個不同平面的兩條直線(D)不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4. a、b是異面直線，b、c也是異面直線，那么a、c的位置是()(A)異面 (B)異面或平行(C)異面或相交(D) 相交、平行或異面5.說出正方體中各對線段的位置關系：1A和 CB;1 和 DC.(1) ABA和CC;1C 和 CB;(2)A 1C和 BD;(5)A 1B1 和 DC(3)A(6)BD葺LA+-1觀6.CN所成角的余弦值是()(嗚晉(C)5(d)257.如圖，ABCiABC是直三棱柱(三側面為矩形)，/ BCA=90，的中點 若BC=CA=CC則BD與AF1所成角的余弦值是()301(A)(B)-102(O亙15BC 與 AC(B)相交但不垂直8. 正方體ABCABCD中，直線(A)相交且垂直(D)異面但不垂直9. 設a、b、c是空間中的三條直線，下面給出