直線的方向向量與平面的法向量

1、直線的方向向量與平面的法向里直線的方向向量與平面的法向量【問(wèn)題導(dǎo)思】圖3211 .如圖321,直線l/m,在直線l上取兩點(diǎn)A、B,在直線m上取兩點(diǎn)C、D,向量AB與CD有怎樣的關(guān)系？【提示】AB/CD.2 .如圖直線1，平面&直線l/m,在直線m上取向量n,則向量n與平面a有怎樣的關(guān)系？nxa直線的方向向量是指和這條直線平行或共線的非零向量,一條直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè).直線1工出取直線l的方向向量a.則向量a叫做平面a的法向量.空間中平行關(guān)系的向量表示設(shè)兩條不重合的直線l,m的方向向量分線線別為a=(ai)bi,ci),b=(a2)b2)C2)平行貝Ul/m?aIIb?(ai.忻，c二

2、)=k(a2,bz,C2)線面平行面面平行設(shè)l的方向向量為a=(ai,bi,ci),a的法向量為u=(a2)b2)c2),則l/a?au=0?aia2+bib2+cic2=0設(shè)&B的法向量分別為u=(ai)bi,ci),v=(a2)b2)c2),貝Uall供u/v?gi_,bi-ci)=k(a2)b2)c2)求平面的法向量圖322已知ABCD是直角梯形，/ABC=90°,SAL平面ABCD,SA1=AB=BC=1,AD=5,試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.(1)求平面ABCD與平面SAB的一個(gè)法向且里.(2)求平面SCD的一個(gè)法向量.【自主解答】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD、AB、AS所在的直線分

3、別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),1d(2,0,0),S(0,0,1).(1),.SAL平面ABCD,AS=(0,0,1)是平面ABCD的一個(gè)法向量.ADLAB,AD±SA?.ADL平面SAB,-1一，一.AD=(2，0,0)是平面SAB的一個(gè)法向量.1一(2)在平面SCD中，DC=G1,0),SC=(1,1,-1).設(shè)平面SCD的法向量是n=(x,v,z),則nLDC,n±SC.nDC=0所以一得方程組nSC=0)x= - 2y；x+y=0x+yz=0.z=y)令y=1得x=2,z=1，n=(2,-1,1)

4、.1 .若一個(gè)幾何體中存在線面垂直關(guān)系，則平面的垂線的方向向量即為平面的法向量.2 .一般情況下，使用待定系數(shù)法求平面的法向量，步驟如下：(1)設(shè)出平面的法向量為n=(x)y,z).(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a=(ai)bi,ci),b=(a2)b2)02).(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組na=0)nb=0.(4)解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量.3 .在利用上述步驟求解平面的法向量時(shí)，na=0)方程組有無(wú)數(shù)多個(gè)解，只需給x,y,nb=0z中的一個(gè)變量賦于一個(gè)值)即可確定平面的一個(gè)法向量；賦的值不同，所求平面的法向量就不同，但它們是共線向量.正方體ABCD

5、AiBiCiDi中，E、F分別為棱AiDi、AiBi的中點(diǎn)，在如圖323所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：圖323(1)平面BDDiBi的一個(gè)法向量.(2)平面BDEF的一個(gè)法向量.【解】設(shè)正方體ABCDAiBiCiDi的棱長(zhǎng)為2,則D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2)(1)連AC,因?yàn)锳CL平面BDDiBi,所以AC=(2,2,0)為平面BDDiBi的一個(gè)法向量.(2)DB=(2,2,0),DE=(1,0,2).設(shè)平面BDEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).nDB=02x+2y=0(nDE=0,x+2z=0,y=-x1z=2x.令x=2得y=2

6、,z=-1.，n=(2,2,1)即為平面BDEF的一個(gè)法向且里.長(zhǎng)方體ABCDAiBiCiDi中，E、F分別是面對(duì)角線B1D1,AiB上的點(diǎn)，且DiE=2EBi,BF=2FAi.求證：EF/ACi.【自主解答】如圖所示，分別以DA,DC,DDi所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)DA=a,DC=b,DDi=c）則得下列各點(diǎn)的坐標(biāo)：A(a,0,0),C(0,b,c),E(2a,2b,33c), F(a,3,23c).b, 0- FE=(-|,b,3),ACi=(a,- fE=3AC1.又FE與ACi不共線,- ,直線EF/ACi.利用向量法證明線線平行的方法與步驟:圖324如圖32

7、4所示，在正方體ABCDAiBiCiDi中，E、F分別為DDi和BBi的中點(diǎn).求證：四邊形AECiF是平行四邊形.【證明】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DDi為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，不妨1設(shè)正萬(wàn)體的棱長(zhǎng)為1,則A(1,0,0),E(0,0,萬(wàn))，1Ci(0,1,1),F(1,1,2),-AE=(-1,0,1),FC1=(1,0,2),EC1414一一一=(0,1,2),aF=(0,1,2),.aE=fC1,eC=aF,AE/FC1,EC1/AF,又.EAE,F?EC1,.AE/FC1,EC1/AF,，四邊形AEC1F是平行四邊形.利用空間向量證明線面平行圖325如圖325,在正三棱

8、柱ABCAiBiCi中，D是AC的中點(diǎn),求證：ABi/平面DBCi.【自主解答】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a(a>0),側(cè)棱長(zhǎng)為b(b>0),山由a電a則A(0,0,0),B(2a,20),Bi(2a,2,訪，_aCi(0,a,b),D(0,2，0),一73a一43.ABi=(a,2,b),BD=(aQQ),DCi=(0,2,b).設(shè)平面DBCi的一個(gè)法向量為n=(x)y,z),n BD =當(dāng)ax=0,n DCi = 2y+ = 0,x= 0)a不妨令y=2b)則n=(0,2b)a).由于A<Bin=abab=0)因此A<BiLn.又ABi

9、?平面DBCi,.ABi/平面DBCi.利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：方法一：證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一組基底表示.方法二：證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.方法三：先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明方向向量與平面的法向量垂直.在長(zhǎng)方體ABCDAiBiCiDi中，AAi=2AB=2BC,E,F,Ei分別是棱AAi,BBi,A1B1的中點(diǎn).求證：CE/平面CiEiF.【證明】以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DDi所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)BC=1,則C(0,1,

10、0),E(1,0,1),Ci(0,1,2),1F(1,1,1),Ei(1,2,2).設(shè)平面C1E1F的法向量為n=(x,v,z),一1一.CE1=(1,2,0),FC1=(1,0,1),nCTE1=0,nFC1=0,1x=2y)即2取n=(1,2,1).x=z,.CE=(1,1,1),nCE=12+1=0,.oEln,且CE?平面C1E1F.，CE/平面CEF.向量法證明空間平行關(guān)系圖326（12分）如圖326,在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF/AB,EFLFB,AB=2EF,/BFC=90°,BF=FC,H為BC的中點(diǎn).求證：FH/平面EDB.【思路點(diǎn)撥】先通過(guò)

11、推理證明FH工平面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)證明HF、BE、bD共面.【規(guī)范解答】.四邊形ABCD是正方形,/ABXBC,又EF/AB,/EFXBC.又EFLFB,，EFL平面BFC.EFLFH,，ABLFH.2分又BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，.FH±BC.FH工平面ABC.4分以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，HB為x軸正方向，HF為z軸正方向.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)BH=1,則B(1,0,0),D(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1).6分.HF=(0,0,1),BE=(-1,1,1),BD=(2,2,0),設(shè)HF=入BE+BD=M1,1,1)+G2,2,0)=(X-

12、2以，一人一2以，？)8分 .(0,0,1)=(A2%A2內(nèi)兒一21i=0 ，解得|JL=2/=11 .HF=bE2bD10分，向量hF,bE,bD共面.又HF不在平面EDB內(nèi)，/HF/平面EDB.12分【思維啟迪】1.建立空間直角坐標(biāo)系，通常需要找出三線兩兩垂直或至少找到線面垂直的條件.2.證明時(shí)，要注意空間線面關(guān)系與向量關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別，注意所運(yùn)用定理的條件要找全.1 .利用向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)進(jìn)行向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(距離和夾角等)；(3)根據(jù)

13、運(yùn)算結(jié)果的幾何意義來(lái)解釋相關(guān)問(wèn)題.2 .證明線面平行問(wèn)題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系；也可以轉(zhuǎn)化為線線平行，利用向量共線來(lái)證明.1 .若A(1,0,1),B(1,4,7)在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)【解析】AB=(2,4,6)=2(1,2,3).【答案】A2 .下列各組向量中不平行的是()A. a=(1,2,2),b=(-2,-4,4)B. c=(1,0,0),d=(3,0,0)C. e=(2,3,0),f=(0,0,0)D. g=(2,3,5),h=(16,24,40)【解析】b=(2,4

14、,4)=2(1,2,2)=2a,.'a/b,同理：c/d,e/f.【答案】D3.設(shè)平面a內(nèi)兩向量a=(1,2,1),b=(1,1,2),則下列向量中是平面a的法向量的是()A.(-1,2,5)B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,1,-1)【解析】平面a的法向量應(yīng)當(dāng)與a、b都垂直，可以檢驗(yàn)知B選項(xiàng)適合.【答案】B4.根據(jù)下列各條件，判斷相應(yīng)的直線與直線、平面與平面、直線與平面的位置關(guān)系：(1)直線11,12的方向向量分別是a=(1,3,-1),b=(8,2,2);(2)平面鵬3的法向量分別是u=(1,3,0),v=(3,9,0);(3)直線1的方向向量，平面a的法向量分別是

15、a=(1,4,3),u=(2,0,3).【解】(1).ab=1X8+(3)x2+(1)X2=0,.,.11112.(2) .v=(-3,-9,0)=-3(1,3,0)=-3,a/3(3) .a、u不共線，.不與a平行，也不在a內(nèi).又au=7#0,J與口不垂直.故l與a斜交.一、選擇題1.(2013吉林高二檢測(cè))li的方向向量為vi=(1,2,3),12的方向向量V2=(入4,6),若li/l2,則七()A.1B2C.3D.412【解析】11/12,，V1/V2,則q=4，J入=2.【答案】B2 .(2013青島高二檢測(cè))若循=QD+旌,則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A.相交B.平行C.

16、在平面內(nèi)D.平行或在平面內(nèi)【解析】.aB=就+.aB、cD、CE共面，則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi).【答案】D3 .已知平面a內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)A(2,1,2),a的一個(gè)法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中，在平面a內(nèi)的是()3A.(1,1,1)B.(1,3,2)33C.(1,3,2)D.(1,3,2)1【解析】對(duì)于B,AP=(1,4,一,一1則nAP=(3,1,2)(1；4,2)=0,3/n±AP,則點(diǎn)P(1,3,2)在平面a內(nèi).【答案】B4.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),則平面ABC的一個(gè)法向量的單位向量是()A.(1,1,1)B.C.1(

17、3,13)D.【解析】設(shè)平面ABC的法向量為n = (x,y,z),AB=(0,1,1),BC=(1,1,0),AC=(ABn=y+z=01,0,1),則BCn=-x+y=0，x=y=z,ACn=x+z=0又.單位向量的模為1,故只有B正確.【答案】B圖3275.如圖327,在平行六面體ABCDAiBiCiDi中，點(diǎn)M,P,Q分別為棱AB,CD,BC的中點(diǎn)，若平行六面體的各棱長(zhǎng)均相等，則()AiMIIDiP;AiMIIBiQ;AiM/平面DCCiDi;AiM/平面DiPQBi.以上正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()A.iB.2C.3D41一【解析】aiM=AA+aM=aA+2AB,一一一一1一一一一一DtP

18、=D1D+DP=AiA+2AB,A1M/Dtp,所以A1M/D1P,由線面平行的判定定理可知，AiM/面DCC1D1,A1M/面D1PQB1.正確.【答案】C二、填空題6.(2013泰安高二檢測(cè))已知直線l的方向，一、，一-1向量為(2,m,1),平面a的法向量為(1,2，2),且l/%則m=.【解析】Y/a,M的方向向量與a的法向量垂直，11cC.(2,m,1)(1,22)=2+2m+2=0,.m=8.【答案】87.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,5),點(diǎn)P(x,1,3府平面ABC內(nèi)，則x=【解析】AB=(222),AC=(1,6,8),AP=(x4,2,0),由題意知A

19、、B、C、P共點(diǎn)共面，AP=“+pAC=(2%2N2N+(-%6%80=(-2X-%2Ark6由一2入80.2H6尸一28一4，而x4=一2811=0）尸1）2-山.x=11.【答案】118 .下列命題中，正確的是.（填序號(hào)）若m,n2分別是平面%3的一個(gè)法向量，則mIIn2?allB;若n2分別是平面%3的一個(gè)法向量，貝U？n1n2=0;若n是平面a的一個(gè)法向量，a與平面a共面）則na=0;若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直.【解析】一定正確，中兩平面有可能重合.【答案】三、解答題圖3289 .已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個(gè)點(diǎn)（如圖328所示），并且OE=kgoF=koB,oH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF.求證：（1）A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面;(2)ACIIEG;(3)OG=kOC.【解】(1)由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,知A、B、C、D四點(diǎn)共面，E、F、G、H四點(diǎn)共面.(2)EG=eH+mEF=OH-OE+m(OFOE)=k(OD-OA)+km(OB-OA)=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC).AC/EG.(3)由(2)知OG=EGEO