矩陣的有定性及其應(yīng)用

1、資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之處，請聯(lián)系改正或者刪除矩陣的有定性及其應(yīng)用摘要：矩陣的有定性是矩陣論中的一個重要概念，二次型的正定（負定）、半正定（半負定）統(tǒng)稱為二次型及其矩陣的有定性，而在本文中，主要討論闡述的是實矩陣的正定性，半正定性以及它們的實際應(yīng)用.本文在介紹實矩陣的正定性,半正定性的定義及其判別方法后,簡單的舉了一些實例來闡述實矩陣正定性及半正定性的應(yīng)用,全文分三章，第一章，矩陣的正定性及半正定性的定義.在第二章,正定性矩陣和半正定性矩陣的判別方法，第三章，在本文的最后給出了幾個正定性矩陣的應(yīng)用實例.關(guān)鍵字：矩陣實矩陣正定性半正定性應(yīng)用1 / 12資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)之

2、處，請聯(lián)系改正或者刪除一、二次型有定性的概念設(shè)戶是一個數(shù)域，為eP,個文字國,，,項的二次齊次多項式/（$,七，%）=q鬲+2a2xx2+203再再+2即自旗+22工；+加23工2工3+,+2a2nX2Xn+q篇=XEq盧（%=知，'/=1，2,，）/-IJ-I稱為數(shù)域戶上的一個元二次型，簡稱二次型.當(dāng)%為實數(shù)時，稱/為實二次型。當(dāng)今為復(fù)數(shù)時，稱/為復(fù)二次型。如果二次型中只含有文字的平方項,即）（X,%2,，匕）=4%2+d2xl+稱f為標(biāo)準(zhǔn)型.定義1二次型/=（玉,G,天）可唯一的表示成/（占,工2,X“）=fAx其中，X=（X,%2,，xj，A=（%）"X”為對稱矩陣,稱

3、上式二次型的矩陣形式，稱A為二次型的矩陣（都是對稱矩陣），稱A的秩為二次型/的秩.定義2具有對稱矩陣A之二次型f=XrAX,如果對任何非零向量X,都有X，AX>0（或X7X<0）成立，則稱/=X74X為正定（負定）二次型，矩陣A稱為正定矩陣（負定矩陣）.（2）如果對任何非零向量X,都有0（或X，AXVO）成立，且有非零向量X。，使凡/吠0=0,則稱/=X"X為半正定（半負定）二次型,矩陣A稱為半正定矩陣（半負定矩陣）。二次型的正定（負定）、半正定（半負定）統(tǒng)稱為二次型及其矩陣的有定性.不具備有定性的二次型及其矩陣稱為不定的。二次型的有定性與其矩陣的有定性之間具有一一對應(yīng)關(guān)

4、系.因此，二次型的正定性判別可轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的正定性判別.二、矩陣正定性及半正定性的一些判定方法1）矩陣正定性的一些判別方法定理1設(shè)A為正定矩陣，若AgBGA與8合同），則3也是正定矩陣.定理2對角矩陣D=diag（4,公正定的充分必要條件是4>0（/=1,2,。定理3對稱矩陣A為正定的充分必要條件是它的特征值全大于零。定理4A為正定矩陣的充分必要條件A的正慣性指數(shù)p=.定理5矩陣A為正定矩陣的充分必要條件矩陣是:存在非奇異矩陣C,使A=C7co即A與七合同.推論1若A為正定矩陣,貝AI>0。定理6秩為的元實二次型/=X，AX,設(shè)其規(guī)范形為10 / 12主對角線上元素均為正數(shù)的對角

5、矩陣D,使得A=PDP證明先證必要性.因為A是n階正定實對稱矩陣,由引理1知,它的各階順序主子矩陣也是正定對稱矩陣。又任一正定實對稱矩陣都是非奇異的，所以A的各階順序主子式均不為零并且均大于零.由引理3知，對于對稱矩陣A一定存在特殊下三角方陣P,主對角線上元素均不為零的對角矩陣D,使得A=PDP，并由引理2知D的主對角線上所有元素d)O(i=U,n)再證充分性。假設(shè)對n階實對稱矩陣A,存在一特殊下三角方陣P以及主對角一上元素均為正數(shù)的對角矩陣D,使得A=PDP，則因D的主對角線上元素0(i=l,2,n),從而由引理2知A的各階順序主子式均大一地零，所以知A是一n階正定實對稱矩陣.由此定理可得到

6、一種判定一n階實對稱矩陣A是否正定的方法：將A分解成上述定理中形式，即A=PDP然后，觀察D的主對角線是否全為正數(shù).若是，則A正定；又由引理2知，若D的主對角線上元素全為負數(shù)，貝IJA負定。2)矩陣半正定性的一些判別方法1. n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指數(shù)等于它的秩。2. n階對稱矩陣A是半正定矩陣的充分必要條件是A的特征值全大于等于零，但至少有一個特征值等于零。3. n階對稱矩陣A是負定矩陣的充分必要條件是A的各階主子式全大于等于零,但至少有一個主子式等于零。注：3中指的是主子式而不是順序主子式，實際上，只有順序主子式大于等于零并不能保證A是半正定的.三、矩陣正定性

7、及半正定性的應(yīng)用實矩陣的正定性及半正定性在實際生活中及理論研究中都有著重要的實際應(yīng)用，以下是對實矩陣正定性及半正定性應(yīng)用的一些簡單介紹：1)一些基本例子例1設(shè)M是n階實對稱矩陣,則必存在正實數(shù)t,使得tl+M為正定陣，其中I是單位矩陣.證明：矩陣正定的充要條件：對任意x不等于0向量,有X'MX>0,X*(TI+M)X=TX'X+X'MX,在所有的X中選一個X,使X'MX的值最小，X'MX二一MAX,其中MAX>0,而這時對應(yīng)的X'X的值為K,且K肯定大于0,又K,MAX都是常數(shù),則必存在常數(shù)T,使TK-MAX0,即X'(TI+

8、M)X=TX'X+X'MX)0故TI+M正定。例2設(shè)二次型f=#+4劉+2公心2巧巧+4叼七問丸取何值時,f為正定二次型？解F的矩陣為.1丸-A=242-124F正定的充要條件是A由順序主子式全大于零.事實上,A的順序主子式為：4=1>01A一1A3=442=-4"-44+8=-4(/1-1)(4+2)-124于是,£正定的充要條件是從2>°且網(wǎng)>°。聯(lián)解不等式組：4-匯>0-4(2-1)(2+2)>0可得-2<久v1。當(dāng)一22vl時,f正定.2)在實際問題吊經(jīng)常要遇到求三元以上函數(shù)的極值問題，對此可由

9、二次型的正定性加以解決。定義3設(shè)元函數(shù)/(X)=/a，X2,%)在X=*M2,的某個鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。記vy(x)=-,:、,出。W'(X)稱為函數(shù)/'(X)亞dx2dxn)在點X=(冷冷，/尸處的梯度.定義4滿足W(X。)=。的點X。稱為函數(shù)/(X)的駐點。定義5H岡=編方/(X)dxf</'(X)6，X)dxdx2啊(X)6 吁(X)亞西*巧(X)崗稱為函數(shù)/(X)=/(x，X2,5)在點XeH處的黑塞矩陣。顯然”(X)是由/(X)的3個二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的階實對稱矩陣。定理8(極值存在的必要條件)設(shè)函數(shù)/(X)在點X。=(端,石廣.,石)7處存在一階

10、偏導(dǎo)數(shù),且X。為該函數(shù)的極值點，則w(x°)=0.定理9(極值的充分條件)設(shè)函數(shù)/(X)在點X°eR的某個鄰域內(nèi)具有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且守(X。)/陪，曠,，好=0的dx2dxn)則：(1)當(dāng)”(x。)為正定矩陣時，/(X。)為/(X)的極小值；(2)當(dāng)”(X。)為負定矩陣時，/(X。)為/(X)的極大值；(3)當(dāng)”(X。)為不定矩陣時，/(X。)不是/(X)的極值。應(yīng)注意的問題：利用二次型的正定性來判斷多元函數(shù)的極值雖然是一個很好的方法，但也有一定的局限性,因為充分條件對正定和負定的要求是很嚴格的,若條件不滿足，那結(jié)論就不一定成立。例3求三元函數(shù)/'(&quo

11、t;Z)=x2+23，2+3z2+2x+4y-6z的極值。解先求駐點，由/=2x+2=0'fv=4y+4=0得x=-l,y=-l,z=lX=6z-6=0所以駐點為4(再求(Hessian)黑塞矩陣因為九=2/=。,人=0,/vy=4,/v.=0,/=6,-200-所以=040,可知”是正定的，所以在4點取得極小值：006當(dāng)然，此題也可用初等方法%z）=（x+1尸+2（y+1尸+3（z-1尸6求得極小值-6,結(jié)果一樣。3）控制星統(tǒng)穩(wěn)定性與正定矩陣穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，也是對系統(tǒng)最起碼的要求.1877年Routh,1895年Hunvitz分別研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性與特征方程系數(shù)的關(guān)系，

12、并分別給出了線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)，至今仍有廣泛應(yīng)用.若系統(tǒng)特征方程為0心+%,-4i+$+0=0,則系統(tǒng)的Hunvitz矩陣H由特征方程的系數(shù)按下述規(guī)則構(gòu)成：主對角線上元素為特征方程自如一至。的系數(shù)，每行以主對角線上的系數(shù)為準(zhǔn)，若向左，則系統(tǒng)的注腳號碼一次下降，若向右，系數(shù)的注腳號碼則一次上升，注腳號碼若大于n或者小于零，此時系數(shù)為0。Hurwitz判據(jù)為:系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是an>0的情況下，對角線上所有順序主子式均大于零。當(dāng)系統(tǒng)的Hunvitz矩陣的階數(shù)n較大時，應(yīng)用Hurwitz判據(jù)比較麻煩，故它常應(yīng)用于n較小的場合。在這里我們改進了Hurwitz判據(jù)，避免了計算Hurwi

13、tz矩陣所有的順序主子式，使其對于較大的n也是很方便的.4）正定矩陣在三維空間里的圖形變換應(yīng)用正定矩陣在對三維空間里的圖形進行線性變換時不改變圖形的形狀，這就是它的最大意義例如：任意一個向量x,跟他垂直的超平面把空間分成兩部分，一部分和x在同一側(cè)，即滿足和x的內(nèi)積為正的那側(cè)，一部分在異側(cè)，內(nèi)積為負。由定義，正定的線性變換把任意一個向量x都變到x的同側(cè)。如果它有實特征值，必定是正數(shù)，否則的話它會把這特征向量變到另側(cè)。一個線性變換把一組幺正基el,，en變到另一組向量丫1,。，vn,這n個新向量的端點和原點一起構(gòu)成一個多面體。這多面體的體積就是線性變換的行列式。對正定變換來說，其行列式為正，所以這

14、個多面體非退化，且vl,Vil確定的定向和el,en確定的定向相同。補充：不會保持形狀不變。保持不變的必須是等距,就是說，必須是正交變換O（n）.正定變換一般最常見的情況是正定對稱變換。正定對稱變換最常見的情況是用來定義內(nèi)積。即定義（x,y>=x，Ay為x,y的內(nèi)積©歐氏空間的內(nèi)積用I來定義，即（x,y>=x*y.5）利用半正定二次型的性質(zhì)證明不等式定理10二次型半正定的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)型的所有系數(shù)都是非負的。證明充分性設(shè)Jx,X2,+a2x；+.+anx1.若，外,之。，則/（七,，X”）之。，即二次型是半正定的.必要性若二次型是半正定的，而對于某個，有4<

15、0,則令7=0,%=。，7=1，億=0這時可以找到變量西,，毛的一組適當(dāng)值M，士',匯，使得,x：）=qv0則與此假設(shè)矛盾,所以4N0,i=1,2,，一定理11設(shè)實二次型/（演,±,=，若P為實可逆方陣g（y，刈，）'“）=y7（P'AP）y，則/占,x"）=XAX半正定等價于g（X，為，）'“）=/（4人0）丫半正定；換句話說，經(jīng)過非退化線性變換后，半正定的二次型仍然是半正定的。證明由*=夕丫有丫=P一1*,并且易知XWO等價于于是，對任意的ywo,則xwo,因此片（。72»=（尸-，）?。ㄊ?尸）（。-，）=*7*之0則8（），

16、22，.,此）半正定。反之，vx，o,y=p-xwo,因此，xtax=ryYa（ry）=yt（ptap）y>o.則g（Xl，W，x"）半正定。定義6形如子式的K級子式稱為矩陣A=（%）x的K級主子式，其中1</（</2<<</7o定理11實二次型f（X,占，,%）=££4四七=X"X半正定的充要條件是矩陣A的一r-1j-1切K級主子式非負。證明必要性設(shè)二次型/（.占，%）=££%*%是半正定的，則存在對角矩陣r-iD=C/AC.其中C是變二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的變量變換矩陣，D=diag（a,/,為）.再由

17、定理1知，«,>0.因此，detA=detB1detDdetB=定,。2，a"）（detB）>0。又已知其中B=,同時,若二次型/（玉,勺,4）是半正定的，則所有二次型4（%,）=/（0,0,x-,0,%0,0）都是半正定的，因此所有k級主子式非負.充分性已知A的一切k級主子式非負，設(shè)4為A的/級順序主子式,則對于任意正實數(shù)£,有町+£令aiI.r-la2a22+£Ct2lj、|A+sE=.（204O1）町a(chǎn)i2%+£二£n+qU”+,+q（1</</z）其中4（14攵K/）。由（2.4.1）式知，|

18、4+«目>0,又1«攵<，所以矩陣A+eE的一切順序主子式全都大于零，所以矩陣A+£E是正定矩陣。設(shè)為A的特征值，貝-4=0,所以卜+環(huán)一（/1+£聞=0,所以，2+£是矩陣A+e石的特征值，因為矩陣A+eE是正定矩陣，所以，2十£>0,取3為任意小的正數(shù)，則X20,再根據(jù)定理：矩陣A是半正定的充要條件是4的特征值非負.所以，A為半正定矩陣.6）利用二次型半正定性證明不等式。其證明思路是，首先構(gòu)造二次型,然后利用二次型半正定性的定義或等價條件，判斷該二次型（矩陣）為半正定，從而得到不等式.例3（Cac6y不等式）設(shè)%

19、爾，=12為任意實數(shù)，則（1?也）2<（i>:）x（ix）。r-1r-1/-I證明記/（,%公）=Z（"丙+b4+2（工m）中2+（Z”：）x；因為對于任意彳&，都有/（內(nèi),）之。，故關(guān)于與天的二次型/但,公）是半正定的。因而定理1知，該二次型矩陣的行列式大于或等于0,即Nr-1>（J。i?也ix故得（£他了勺士力力度.。r-lj-1r-1例4證明£>”（£>尸證明記/（司,石,一（£>）2=XAX,其中將矩陣A的第2,3,，列分別加到第一列,再將第2,3,，行減去第1行，得（0-100于是A的特征值為0,由定理可知，A為半正定矩陣，即二次型是半正定的，從而得,土）20，即>結(jié)論得證.j-1r-1例5設(shè)a,A7是一個三角形的三個內(nèi)角,證明對任意實數(shù),V,y,z,都有x2+y2+z2>